2024-2025 学年云南省丽江市第一高级中学高二下学期期末检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = 1,0,1,2,3 ，集合 = 0,1,2 ， = 1,0,1 ，则( ) ∩ =
A. 1 B. 0,1 C. 1,2,3 D. 1,0,1,3
2.“2 2 = 0”是“ = 0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设复数 满足(1 ) = 3 + ，则| | =
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
4.我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“势”即
是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个
几何体的体积相等，如图所示，扇形 的半径为 3，圆心角为90 ，若扇形 绕直线 旋转一周，图中
阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 27
5.已知圆 过抛物线 2 = 4 的焦点，且圆心在此抛物线的准线上.若圆 的圆心不在 轴上，且与直线 +
3 3 = 0 相切，则圆 的半径为
A. 6 2 B. 12 C. 7 2 D. 14
6.如图，正方形 与矩形 所在平面互相垂直， = 2， = 1, 在 上且 //平面 ，则
点的坐标为( )
A. (1,1,1) B. 2 , 22 2 , 1 C.
2
3 ,
2 2 2
3 , 1 D. 4 , 4 , 1
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7.函数 = cos ≤ ≤ (其中 为自然对数的底)的大致图象为
A. B. C. D.
8.已知函数 ( ) = + + ln( | | 1)，则( )
A. ( 3 5) > ( 3) > (log 15 4 ) B. ( 3) > (
3 5) > (log 15 4 )
C. (log 15 4 ) > ( 3) > (
3 5) D. (3 5) > ( log 15 4 ) > ( 3)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知由样本数据 , ( = 1,2,3, , 8)组成的一个样本，得到经验回归方程为 = 1.5 0.6 且 = 2，去
除两个异常数据( 2,7)和(2, 7)后，得到的新的经验回归直线的斜率为 3，则( )
A.相关变量 ， 具有正相关关系
B.去除异常数据后，新的平均数 ′ = 2
C.去除异常数据后的经验回归方程为 = 3 4.8
D.去除异常数据后，随 值增加， 的值增加速度变小
10.设 是公比为 的等比数列 的前 项和，且 3, 9, 6成等差数列，则下列说法正确的有( )
A. 3 = 12 B. 3, 9, 6成等差数列
C. 3, 6, 9成等比数列 D. 6, 12, 9成等差数列
11.已知函数 ( ) = 2sin( 23 )
，其中 为常数，且 ∈ (0,6)，将函数 ( )的图象向左平移24个单位所得
的图象对应的函数为偶函数，则以下结论正确的是( )
A. = 2 B. 点( 6 , 0)是 ( )的图象的一个对称中心
C. ( ) [ , 在 6 2 ]上的值域为[ 3, 0] D. ( )
5
的图象在[0, 6 ]上有四条对称轴
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知平面向量 = 1， = 2， 2 + = 2 3，则 在 方向上的射影为 ．
13.已知等差数列 的前三项为 1, + 1,2 + 3，则此数列的通项公式为
2 2
14 .已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的右顶点为 ，若以点 为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆与双
曲线的一条渐近线交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，且线段 交双曲线于点 ， = 3 ，则双曲线的离
心率是 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2
在 中，∠ = 3， 是 上一点， ⊥ 且 = 1．
(1)若 = 3，求 ；
(2) 2 1求 + ．
16.(本小题 15 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中，平面 1 ⊥侧面 1 1，且 1 = = 2
(1)求证： ⊥ ；
(2) 若直线 与平面 1 所成的角为6，求锐二面角 1 的大小．
17.(本小题 15 分)
函数 ( ) = 2 2 + 1 + ln ( ∈ )．
(Ⅰ)若 = 5 时，求函数 ( )的单调区间；
(Ⅱ)设 ( ) = ( ) 2ln 1，若函数 ( )在 ∈ [ , ]上有两个零点，求实数 a 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
2 2
在平面直角坐标系 中，椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1、 2， 为椭圆短轴端点，
若 1 2为直角三角形且周长为 2 2 + 4．
(1)求椭圆 的方程；
2
(2) 若直线 与椭圆 交于 , 两点，直线 ， 斜率的乘积为 2，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
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一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第 0 站、第 1 站、第 2 站、…、第 100 站，共 101 站，设棋子跳到
第 站的概率为 ，一枚棋子开始在第 0 站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次.若掷出奇数点，棋子
向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第 99 站(获胜)或第 100 站(失败)时，游戏结
束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数 1，2，3，4，5，6)．
(1)求 0， 1， 2，并根据棋子跳到第 站的情况，试用 2和 1表示 ；
(2)求证： 1 ( = 1，2，…，100)为等比数列；
(3)求玩该游戏获胜的概率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12
13. = 2 3
14. 2
15.(1)∠ = ∠ ∠ = 2 3 2 = 6，
在 中，由余弦定理可知，
2 = 2 + 2 2 cos∠ = 3 + 1 2 × 3 × 1 × 32 = 1，
所以 为等腰三角形，∴ ∠ = ∠ = 6，
∴ ∠ = 13 ∠ = 6，∴ = sin = 2，∴ = + = 3．6
(2) 1法一：设∠ = ，在 中，tan = = ，
∠ = ∠ = 又 3 ， 2 + ，
在 sin sin∠ 中，由正弦定理知 = ，
sin 3 cos 2 2sin 3 即 1 = ，∴ = cos ，
2 1 2sin
3 sin sin + 3cos sin
+ = cos + cos = cos = 3．
法二：由 + = ，
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1
得2 sin∠ +
1
2 sin∠ =
1
2 sin∠ ，
1 sin∠ sin∠ sin∠
两边同时除以2 ，得 + = (张角定理)，
1 3
1
即 +
2 2 2 1
= 1 ， + = 3．
16.(1)证明：如图，取 1 的中点 ，连接 ，1 分
因 1 = ，则 ⊥ 1 2 分
由平面 1 ⊥侧面 1 1，且平面 1 ∩侧面 1 1 = 1 ，3 分
得 ⊥ 平面 1 ，又 平面 1 ，
所以 ⊥ . 4 分
因为三棱柱 — 1 1 1是直三棱柱，
则 1 ⊥ 底面 ，
所以 1 ⊥ ．
又 1 ∩ = ，从而 ⊥侧面 1 1，
又 侧面 1 1，故 ⊥ . 7 分
(2)解法一：连接 ，由(1)可知 ⊥ 平面 1 ，则 是 在平面 1 内的射影∴ ∠ 即为直线 与平面
1
所成的角，则∠ = 6 8 分
在等腰直角 1 中， 1 = = 2，且点 是 1 中点
∴ = 12 1 = 2，且∠ =
2，∠ =
6
∴ = 2 29 分
过点 作 ⊥ 1 于点 ，连
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由(1)知 ⊥ 平面 1 ，则 ⊥ 1 ，且 ∩ =
∴ ∠ 即为二面角 1 的一个平面角 10 分
且直角 1 =
1 · 2×2 2 2 6中： = 2 3 =1 3
又 = 2，∠ = 2
∴ sin∠ = =
2
2 6 =
3
2 ，且二面角 1 为锐二面角
3
∴ ∠ = 3，即二面角 1 的大小为3 14 分
解法二(向量法)：由(1)知 ⊥ 且 1 ⊥ 底面 ，所以以点 为原点，以 所在直线分别
为 , , 轴建立空间直角坐标系 ，
如图所示，且设 = ，则
(0,2,0)， (0,0,0)， ( , 0,0)， 1(0,2,2)
= ( , 0,0)， 1 = (0,2,2)， = ( , 2,0)， 1 = (0,0,2)9 分
设平面 1 的一个法向量 1 = ( , , )
由 ⊥ 1， 1 ⊥ 1得：
{ = 02 + 2 = 0令 = 1，得 = 0, = 1，则 1 = (0,1, 1)10 分
= 设直线 与平面 1 所成的角为 ，则 6
得 sin = | · 1|6 =
| 2| = 12，解得 = 2，即
= (2, 2,0)12 分
| || 1| 4+ 2 2
又设平面 1 的一个法向量为 2，同理可得， 2 = (1,1,0)
设锐二面角 1 的大小为 ，则
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cos = cos < , > = 1· 2 1 1 2 | 1|| |
= 2，且 ∈ (0, 2 )，得 =2 3
∴锐二面角 1
的大小为3 . 14 分
17.(Ⅰ)当 = 5 时， ( ) = 2 2 5 + 1 + ln 的定义域为 ∈ (0, + ∞)，
1 (4 1)( 1)
′( ) = 4 5 + =
当 ∈ 0, 14 ， ∈ (1, + ∞)时，
′( ) > 0 1，∴ ( )在 0, 4 和(1, + ∞)上单调递增．
1
当 ∈ ( 4 , 1)时，
′( ) < 0，∴ ( ) 1在 4 , 1 上单调递减.
故 ( )的单调增区间为 0, 14 ，(1, + ∞)
1
；单调减区间为 4 , 1
(Ⅱ)因为 ( ) = ( ) 2ln = 2 2 + 1 ln 在 ∈ 1 , 上有两个零点，
等价于 = 2 2 + 1 ln 1在 ∈ , 上有两解，
= 2 + 1 ln
2
令 ( ) = 2 + 1
ln 1 ′
, ∈ , 则 ( ) =
2 2+ln
2
2
令 ( ) = 2 2 2+ ln , ∈ 1 ,
4 +1
则 ′( ) = > 0
∴ ( )在 ∈ 1 , 上单调递增，又 t(1) = 0
∴ ( ) ∈ 1在 , 1 上有 ( ) < 0， ( )在 ∈ (1, ]有 ( ) > 0
∴ ∈ 1 , 1 时，
′( ) < 0， ∈ (1, ]时， ′( ) > 0
h(x) 1在 ∈ , 1 上单调递减，在(1, ]上单调递增．
∴ ( )min = (1) = 3
( 1 ) = 2 + 2 ， ( ) = 2 ，
1 ln 1
由 = 2 + 有两解及 ( ) > ( )可知．
∴ ∈ (3,2 ]
18.(1)因为 1 2为直角三角形，所以 = ， = 2 ，
又 1 2周长为 2 2 + 4，所以 2 + 2 = (2 2 + 2) = 2 2 + 4，故 = 2， 2 = 4， 2 = 2，
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2 2
所以椭圆 ： 4 +
2 = 1．
(2)设 1, 1 ， 2, 2 ，当直线 斜率不存在时，
2
=
1 2
=
1 1
2， 1 =
1
2， 1 = 2，所以 =
1 2 2
=
1 2
，
2 2
又 1 + 1 = 1，解得 24 2 1 = 2，
2
1 = 1， = 1 + = 22 1 2 1 21 = 1．
当直线 斜率存在时，设直线方程为 : = + ，
= +
由 2 2 得 1 + 2 2 2 + 4 + 2 2 4 = 0，
4 + 2 = 1
> 0 得 16 2 2 4 1 + 2 2 2 2 4 > 0
即 2 < 4 2 + 2，
4
1 + 2 = 1+ 2 2 2 2 4 2
2 2 4 , 1 2 = 1 + 2 + = 1 2 + 1 + +
2
2 = 1+ 2 2
1 2 = 1+ 2 2
2 4 2
由 =
1 2 = 1 2 1 2得
1+2
2 = 2，即
2 = 2 2 + 1，
1 2 2 4
1+2 2
2 2所以 = 1
1 2 2 1 2
2 + 1 2 = 2 1 2 = 1+2 2 = 1+2 2 = 1 1+2 2 ∈ [ 1,1)
所以 ∈ [ 1,1]．
19.(1)根据题意可知：每次骰子之间是相互独立的；
棋子开始在第 0 站是必然事件，所以 0 = 1．
棋子跳到第 1 1 1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为2，所以 1 = 2．
1
棋子跳到第 2 站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为2；②前两次掷骰子都出现奇数点，
1 1 1
其概率为2 × 2 = 4，所以 2 =
1+ 1 32 4 = 4．
棋子跳到第 (2 ≤ ≤ 99)站，包括两种情形，①棋子先跳到第 2 站，又掷骰子出现偶数点，其概率为
1 12 2；②棋子先跳到第 1 站，又掷骰子出现奇数点，其概率为2 1．
故 =
1
2 2 +
1
2 1
(2)证明：由(1) = 1知： 2
1
2 + 2 1，
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所以 1 =
1
2 2 1 ．
又因为 1 0 =
1
2 1 =
1
2，
所以 1 ( = 1,2, …, 100)
1 1
是首项为 2，公比为 2的等比数列．
(3) (2) = 1 × 1
1 1
由 得： 1 2 2 = 2 ．
所以 99 = 99 98 + 98 97 + 1 0 + 0
1 99 1 98 1 1
= 2 + 2 + 2 + 1
1 1 99 2 1 2
= + 1
1 12
2 1
= 3 1 2100
2 1
所以玩该游戏获胜的概率为3 (1 2100 )．
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