2024-2025学年吉林省白山市五校高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题：“，使得”，则命题的否定是( )
A. ，使得 B. ，使得
C. ， D. ，
2.已知一质点的运动方程为，其中的单位为米，的单位为秒，则第秒末的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
3.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中，如果，那么( )
A. B. C. D.
5.已知函数有极值，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数若的最小值为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知，且，当取最小值时，的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，且，若表示不超过的最大整数，例如，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列
B. 等比数列是递增数列，则的公比
C. 若数列的前项和为，则数列是等差数列
D. 若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列
10.已知函数的定义域为，对任意实数，满足：且，当时，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. 为奇函数 D. 为上的减函数
11.已知函数，则( )
A. 当时，函数的减区间为
B. 当时，函数的图象是中心对称图形
C. 若是函数的极大值点，则实数的取值范围为
D. 若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集是 ．
13.曲线的一条切线斜率为，则该切线的切点坐标为 ．
14.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为．
求集合；
设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
求函数的解析式；
当时，求函数的最值．
18.本小题分
已知幂函数在上单调递增，函数．
求的值
当时，记，的值域分别为集合，，设，，若是成立的必要条件，求实数的取值范围
设，且在上的最小值为，求实数的值．
19.本小题分
约瑟夫路易斯拉格朗日是闻名世界的数学家，拉格朗日中值定理就是他发现的定理如下：若函数满足如下条件：
函数在区间上连续函数图象没有间断；
函数在开区间内可导导数存在则在区间内至少存在一点，使得成立，其中称为“拉格朗日中值点”．
求函数在上的“拉格朗日中值点”的个数；
对于任意的实数，，证明：；
已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当时，证明：．
参考答案
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15.【详解】因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解，
即，解得，故集合；
由是的必要不充分条件，可知，
当时，既，解得，此时满足，
当时，如图所示，
故且等号不同时成立，
解得，
综上所述，的取值范围是．
16.【详解】设数列公差为，
由，得，，解得
．
由得，
．
17.【详解】因为，
所以，
由题意可知，，，，
所以，解得，，，
所以函数的解析式为，经检验适合题意，
所以；
由知，
令，则，解得，或，
当时，；当时，；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
当时，取的极大值为，
当时，取得极小值为，
又，，
所以，．
18.【详解】由幂函数的定义得，解得：或，
当时，在上单调递增，符合题意
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去．
综上可知：；
由得，
当时，，即；
当时，因为单调递增，
故，即
由命题是成立的必要条件，则，显然，
则，解得：
所以实数的取值范围为；
根据题意得，的对称轴为，
当，即时，在上单调递增，，
解得：舍去，或，
当时，即，，
解得：或舍去，
当，即时，，
解得：舍去，
综上所述，或．
19.【详解】因为，，
，，所以在上的“拉格朗日中值点”的个数为．
设，有，
易知函数在上满足拉格朗日中值定理的两个条件，
当时，显然有，
当时，不妨设，由拉格朗日中值定理可知，
存在，使得，
有，又由，有，
可得，
由上知，不等式成立．
由，有，
又由，设，
有，
可得函数单调递增，
由拉格朗日中值定理可知，存在，
使得，
同理可知，存在，
使得，
又由和函数单调递增，有，
有，
由化简可得，
故不等式成立．
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