第1章《三角形》 单元检测卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列几组数中，不能作为三角形的三边长的是（ ）
A．1，1，2 B．2，3，4 C．2，4，5 D．6，8，10
3．是的角平分线，若，，则点到距离为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示的两个三角形全等，∠α的度数是( )
A．52° B．60° C．68° D．70°
5．能将三角形的面积平分的是三角形的（ ）
A．高 B．角平分线
C．某一边的垂直平分线 D．中线
6．下列四个图形中，BE不是△ABC的高线的图是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是（ ）
A．5 B．8 C．11 D．5或11
8．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
9．如图，的外角平分线交于点P，下列结论：①平分；②；③若于点M，于点N，则；④．其中正确的是（ ）
A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③
10．如图，点在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M、P，交于点，连接，．下列结论：①；②；③为等边三角形；④平分．其中结论正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．等腰三角形两条边长为和，则周长为 ．
12．如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为 ．
13．如图，在中，，，垂直平分，垂足是点，若，则的长是 ．
14．如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是 （填写一个即可）．
15．如图，在中，厘米，，厘米，点D为的中点，如果点P在线段上以1.5厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当在某一时刻，则点Q的运动速度为 厘米/秒．
16．如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论：
①的值不变；
②；
③的长度不变；
④四边形的面积不变；
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
17．（8分）如图，已知，，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
18．（8分）如图，点在同一条直线上，，且．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
19．（8分）如图，在三角形中，点是的中点．
(1)作于点、于点（作出图形，不写作法）；
(2)和有怎样的位置和数量关系？为什么？
20．（8分）如图，平分，于点E，于点F，且．
(1)求证：．
(2)若．求的值．
21．（10分）如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且．
求证：
(1)；
(2)是等边三角形．
22．（10分）已知：如图，等腰中，，腰的垂直平分线分别交、于E、D，连接．
(1)若，，求的周长；
(2)若，求的度数．
23．（10分）如图：在中，、分别是、两边上的高．
(1)求证：；
(2)当时，与的位置关系如何，请说明理由．
24．（10分）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ．
像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论．
参考答案
一、单项选择题
1．C
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此即可求得答案．
【详解】解：根据能够完全重合的两个图形叫做全等图形，可知C选项的两个图形为全等图形．
故选：C．
2．A
【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．
【详解】解：A、，不能作为三角形的三边长，则此项符合题意；
B、，能作为三角形的三边长，则此项不符合题意；
C、，能作为三角形的三边长，则此项不符合题意；
D、，能作为三角形的三边长，则此项不符合题意；
故选：A．
3．A
【分析】如图所示，过点D作于E，根据角平分线的性质得到即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
∵是的角平分线，，
∴，
∴点到距离为3，
故选A．
4．C
【分析】根据全等三角形对应角相等即可得出结论.
【详解】解：∵两个三角形全等，是边a，c的夹角，
∴，
故选：C.
5．D
【分析】根据等底同高的两个三角形的面积相等，结合三角形的中线的性质可得答案．
【详解】解：能将三角形的面积平分的是三角形的中线，
故选D．
6．C
【分析】利用三角形的高的定义可得答案．
【详解】解：BE不是△ABC的高线的图是C，
故选：C．
7．A
【分析】根据题意当腰为5或底边为5时，分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：当腰长为5时，底边长为21﹣2×5＝11，三角形的三边长为5，5，11，不能构成三角形；
当底边长为5时，腰长为（21﹣5）÷2＝8，三角形的三边长为8，8，5，能构成等腰三角形；
所以等腰三角形的底边为5．
故选：A．
8．A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，
作，根据角平分线的性质定理得，再证明，，进得出方程，求出解即可．
【详解】解：过点D作，于点H，
∵是的角平分线，，
∴．
在和中，
，
∴，
同理．
设的面积是x，则的面积是x，根据题意，得
，
解得，
所以的面积是11．
故选：A．
9．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，过点P作，根据、的角平分线、交于点，即可证明①；根据条件证明，，即可证明③；根据是的角平分线，平分，可得，可证明④
【详解】解：过点P作，如图，
∵、的角平分线、交于点，
∴，，
∴，
∴平分，①正确；
根据条件无法证明，故②错误；
∵，，是的角平分线，如图，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，③正确；
∵是的角平分线，平分，
∴，
∴，④正确，
故选：B．
10．D
【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理；由等边三角形的性质得出，，，得出，由即可证出；由，得出，根据三角形外角的性质得出；由证明，得出对应边相等，即可得出为等边三角形；由得到和面积相等，且，从而证得点B到的距离相等，利用角平分线判定定理得到点B在角平分线上．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，，
∴，，
在和中，
∴，∴①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，∴②正确；
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，∴③正确；
∵，
∴，，
∴点B到的距离相等，
∴B点在的平分线上，
即平分；∴④正确；
综上，①②③④都正确；
故选：D．
二、填空题
11．或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为和腰长为两种情况，分别求出对应情况下等腰三角形的三边长，再根据构成三角形的条件和三角形周长计算公式讨论求解即可．
【详解】解：当腰长为时，则该等腰三角形的三边长分别为，，，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴该等腰三角形的周长为；
当腰长为时，则该等腰三角形的三边长分别为，，，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴该等腰三角形的周长为；
综上所述，该等腰三角形的周长为或．
故答案为：或．
12．32.5
【分析】本题主要考查了角平分线的判定及性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键．利用角平分线的判定方法判定出平分，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴平分，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
由垂直平分线的性质得到，由等边对等角得，进而根据三角形外角结合含30度角的直角三角形的性质作答即可．
【详解】∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
14．（答案不唯一）
【分析】此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
要使得．由条件可得到，，再加条件，可以用证明其全等．
【详解】解：添加条件；
即：，
，
，
，
，
在和中，
故答案为：（答案不唯一）．
15．2
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形对应边相等求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∵点为的中点，
∴，，
∴点的运动速度为：(厘米/秒)．
故答案为：2．
16．①②④
【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．作于，于，如图所示，根据题中条件，只要证明，，根据三角形全等的性质得到结论，逐项判断即可得到答案．
【详解】解：作于，于，如图所示：
，
，
，
，
，
平分，于，于，
，
在和中，
，
∴ ，
，
在和中，
，
，
，，
，
为定值，故①正确，
∵，设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵ ，
，
定值，故④正确，
在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形，
的长度是变化的，
的长度是变化的，故③错误；
则正确的有①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题
17．（1）证明：，，
，
在和中
，
；
（2）解：，
，
．
18．（1）解： ， ，
，，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
．
19．（1）解：如图，垂线即为所求：
（2）解：，，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴．
20．（1）证明： 平分，，，
．
在和中，
∵
．
（2）解：由（1），得，
．
，，
．
在和中，
∵
，
，
，
．
21．（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形．
22．（1）解：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴的周长；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
，
∴．
23．（1）解：∵、分别是、两边上的高．
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵是两边上的高．
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
24．解：（1）在和中
，
又，
在和中
（2），
理由：如图所示，延长到点，使，连接
，
在和中
，
在和中
