2024-2025 学年黑龙江省哈尔滨市道外区八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. 2 5 B. 0.2 C. 23 D. 12
2.正比例函数 = 2 的图象向上平移 1 个单位后得到的函数解析式为( )
A. = 2 + 1 B. = 2 1 C. = 2 + 1 D. = 2 1
3.下列各点一定在函数 = 4 的图象上的是( )
A. (0,4) B. ( 4,0) C. (4,8) D. (0, 4)
4.在下列各组线段中，能构成直角三角形的是( )
A. 1，2，2 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 5，7，8
5.在四边形 中，点 ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点，并且 = ，则四边形 为( )
A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.梯形
6.已知四边形 是平行四边形，下列条件中，不能判定 为矩形的是( )
A. ∠ = 90° B. ∠ = ∠ C. = D. ⊥
7.如图，在宽为 20 米，长为 32 米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪，
要使草坪的面积为 540 平方米，设道路的宽为 米，则下列方程正确的是( )
A. (32 )(20 ) = 540 B. 32 × 20 20 30 2 = 540
C. 32 × 20 20 30 = 540 D. 32 × 20 20 30 + 2 2 = 540
8.如图，图 1 是第七届国际数学教育大会( 7)的会徽图案，它近似地可以看成是由一串有公共顶点
的直角三角形演化而成的.若图 2 中的 1 = 1 2 = 2 3 = 3 4 = … = 1，按此规律继续演化，则 9的
长为( )
A. 32
B. 3
C. 5
D. 34
9 1.如图，矩形 中，分别以点 和 为圆心，以大于2 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，作直线
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交 于点 ，若 = 12， = 13，则 的长为( )
A. 14
B. 15
C. 18
D. 20
10.如图 1，在矩形 中，动点 从点 出发，沿着 → → → 方向运动至点 处停止，设点 运动的
路程为 ，△ 的面积为 ，图 2 是点 运动时，△ 的面积 随路程 变化的关系图象，则矩形 的
面积为( )
A. 13 B. 20 C. 36 D. 40
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。
11.在函数 = 2中，自变量 的取值范围是______．
12.已知关于 的一元二次方程 2 + = 0 的一个根是 1，则 的值是______．
13.一次函数 = + ( ≠ 0)的图象如图，点 ( 1, 1)，点 ( 2, 2)在函数图象上，
若 1 > 2，则 1______ 2(填“>”“=”或“<”)．
14.对于实数 ， ，规定一种新运算※： ※ = ，例如 2※8 = 2 2 8 = 2 4 2 = 3 2，
则 3※12 =______．
15.如图，在 △ 中，∠ 是直角， 是斜边 上的中线，若∠ = 40°，则∠ 的
度数为______．
16.把一副三角板按如图所示的位置放置，其中∠ = ∠ = 90°，∠ = 45°，
∠ = 30°，斜边 = 12， = 14， 与 相交于点 ，若∠ = 15°，连接 ，
则 的长为______．
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17.如图，一次函数 = + 1 与正比例函数 = 相交于点 ，与 轴交于点 ，则
△ =______．
18.在哈治会期间，某种商品经过连续两次降价后，销售单价由原来的 100 元降到
现在的 81 元，若平均每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为______．
19.已知矩形 ， = 2， = 3，点 在直线 上，若 = 2 ，则 的长为______．
20.如图，在 中， = 2 ，对角线 ， 交于点 ，∠ = 60°， 平分∠ 交 于点 ，交
于点 ，连接 .点 1在 上，连接 ， .下列四个结论：① = 4 ；② = 2 ；③ =
2 ；④当 = 4 时， + 的最小值为 3.其中一定正确的结论是______. (请将正确的结论序号填在
横线上)
三、解答题：本题共 7 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题 7 分)
解一元二次方程：
(1) 2 4 3 = 0；
(2) ( 2) + 2 = 0．
22.(本小题 7 分)
如图 1、图 2 均为 7 × 7 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点，线段
的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图．
(1)在图 1 中，作出以 为边的平行四边形 ，并且平行四边形的面积为 16；
(2)在图 2 中，作出以 为边的△ ，使∠ = 45°；
(3)在图 2 中，画出△ 的中线 . (只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹，画图过程用虚线表示，画
图结果用实线表示)
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23.(本小题 8 分)
阅读下面材料，完成问题：
如果关于某个字母的二次三项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，能出现完全
平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法在数学中是一种非常重要的方
法，能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题．
例如：分解因式 2 + 2 3．
原式= 2 + 2 + 1 1 3
= ( + 1)2 4
= ( + 1)2 22
= ( + 1 + 2)( + 1 2)
= ( + 3)( 1)．
例如：求代数式 2 + 2 + 3 的最小值．
原式= 2 + 2 + 1 1 + 3
= ( + 1)2 + 2
∵ ( + 1)2 ≥ 0，
∴当 = 1 时， 2 + 2 + 3 有最小值，最小值为 2．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式： 2 4 5 =______；
(2)求代数式 2 6 + 12 的最小值；
(3) 若 和 为三角形的两条边长，并且满足 2 2 3 2 = 0，则 =______．
24.(本小题 8 分)
在劳动实践活动中，小亮同学想用木栅栏为班级围一块矩形 形状的花园，花园背靠着学校院墙，购买
了 20 米的木栅栏，如图所示．
(1)若 = ， = ，直接写出 与 的函数关系式；
(2)若要围出的矩形的面积为 50 平方米，求 的长为多少米？
(3)若要围出的矩形的面积为 60 平方米，他的这个想法能实现吗？请说明理由．
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25.(本小题 10 分)
在数学活动课中，小明同学注意到教材 49 第 15 题很有趣，小明同学和小组成员用“特殊到一般”的数学
思想方法研究平行四边形对角线和边的关系，并解决了这个问题.他们在老师的帮助下查阅相关数学资料，
发现数学中很多定理，比如斯特瓦尔特定理、中线长定理、角平分线长定理均属于这类问题.下面是他和小
组成员的研究过程，请你阅读思考，并完成问题：
【特殊化感知】
如图 1，正方形 的边长为 ，则很容易得到 2 + 2 = 4 2；
(1)如图 2，菱形 的边长为 ，则 2 + 2 =______；(用含 的代数式表示)
(2)如图 3，在矩形 中， = ， = ，则 2 + 2 =______；(用含 ， 的代数式表示)
【一般化探究】
(3)如图 4，在平行四边形 中， = ， = ，则 2 + 2 =______；(用含 ， 的代数式表示)
【拓展性延伸】
(4)已知：如图 5，在△ 中，∠ = 2∠ ， = 8， = 12，点 为 的中点，求 的长．
26.(本小题 10 分)
已知：正方形 中，点 在 的延长线上，连接 ，点 在 上，连接 ，∠ = 2∠ ．
(1)如图 1，求证： = ；
(2)如图 2，过点 作 ⊥ ，交 于点 ，交 于点 ，求证： = 2 ；
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(3)如图 3，在(2)的条件下，延长 交 于点 ，若 ： = 1：2， = 2，求 的长．
27.(本小题 10 分)
在平面直角坐标系中， 为坐标原点，直线 = + 8 交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ，且 = 2 ．
(1)如图 1，求直线 的解析式；
(2)如图 2，点 在第一象限的直线 上，过点 作 ⊥ 轴，垂足为 ，过点 作 ⊥ 轴，垂足为 ，点
在线段 上(不与点 ， 重合)，连接 ， ， ，且∠ = 2∠ ，点 的横坐标为 ，△ 的面积
为 ，求 与 的函数关系式；
(3)如图 3，在(2)的条件下，点 在 上， = ，连接 ，交 于点 .若 2∠ + ∠ = 90°，过
点 作 垂直于直线 ，垂足为 ，连接 ，求直线 的解析式．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. ≥ 2
12.2
13.<
14. 5 3
15.50°
16.10
17.14
18.10%
19.2 2或 2 10
20.①②
21.(1) 2 4 3 = 0，
2 4 = 3，
2 4 + 4 = 3 + 4，
( 2)2 = 7，
2 =± 7，
1 = 7 + 2， 2 = 7 + 2；
(2) ( 2) + 2 = 0，
( 2)( + 1) = 0，
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2 = 0 或 + 1 = 0，
1 = 2， 2 = 1．
22.(1)如图 1，平行四边形 即为所求．
(2)如图 2，△ 1和△ 2均满足题意．
(3)如图 2， 1和 2均满足题意．
23.(1) 2 4 5
= 2 4 + 4 4 5
= 2 4 + 4 9
= ( 2)2 32
= ( 2 + 3)( 2 3)
= ( + 1)( 5)；
故答案为：( + 1)( 5)；
(2) 2 6 + 12
= 2 6 + 9 + 3
= ( 3)2 + 3，
∵ ( 3)2 ≥ 0，
∴当 = 3 时， 2 6 + 12 有最小值，最小值为 3．
(3)因为 2 2 3 2 = 0，
所以( 3 )( + ) = 0，
因为 和 为三角形的两条边长，
所以 + > 0，
所以 3 = 0，
即 = 3 ，
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3
则 = = 3．
故答案为：3．
24.(1) = 20 2 ，
∴ 与 的函数关系式为 = 20 2 ．
(2)根据题意，得 = 50，即 (20 2 ) = 50，
经整理，得( 5)2 = 0，
解得 = 5，
当 = 5 时， = 20 2 × 5 = 10．
答： 的长为 10 米．
(3)他的这个想法不能实现．理由如下：
根据题意，得 = 60，即 (20 2 ) = 60，
经整理，得 2 10 + 30 = 0，
= 102 4 × 30 = 20 < 0，
∴该一元二次方程无解，
∴他的这个想法不能实现．
25.(1) ∵四边形 为菱形，
∴ ⊥ ， = 12 ， =
1
2 ，
∴ 2 + 2 = 2 = 2．
∴ 2 + 2 = (2 )2 + (2 )2 = 4( 2 + 2) = 4 2．
故答案为：4 2；
(2) ∵四边形 为矩形，
∴ ∠ = ∠ = 90°， = = ，
∴ 2 = 2 + 2 = 2 + 2， 2 = 2 + 2 = 2 + 2，
∴ 2 + 2 = 2( 2 + 2).
故答案为：2( 2 + 2)；
(3)过点 作 ⊥ 于点 ，过点 作 ⊥ 交 的延长线于点 ，如图，
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∵四边形 为平行四边形，
∴ = = ， // ，
∵ ⊥ ， ⊥ ，
∴四边形 为矩形，
∴ = ， = = = ，
在 △ 和 △ 中，
=
= ，
∴ △ ≌ △ ( )，
∴ = ，
设 = = ，则 = = ， = + = + ，
∴ 2 = 2 + 2， 2 = 2 + 2， 2 = 2 2， 2 = 2 2，
∴ 2 + 2 = 2 2 + 2 + 2 + 2 2
= 2 2 + ( )2 + ( + )2 + 2 2
= 2 2 + 2 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2
= 2( 2 + 2).
故答案为：2( 2 + 2)；
(4)延长 至点 ，使 = = 8，连接 ，如图，
则∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ = 2∠ ，
∵ ∠ = 2∠ ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ ，
∴ = = 12，
∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
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∴ =
，
∴ 812 =
12
，
∴ = 18，
∴ = = 10．
延长 至点 ，使 = ，连接 ， ，
∵ = ，
∴四边形 为平行四边形，
由(3)知： 2 + 2 = 2( 2 + 2)，
∴ 2 + 102 = 2(82 + 122)，
∴ 2 = 2(64 + 144) 100 = 316，
∵ > 0，
∴ = 316 = 2 79，
∴ = 12 = 79．
26.(1)证明：设∠ = ，∠ = 2∠ = 2 ，
在正方形 中，∠ = 90°，∠ = 90° ，
∴ ∠ = 180° ∠ ∠ = 90° ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ．
(2)证明：过点 作 // ，
∵ // ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ = ，
∵ ⊥ ， // ，
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∴ ∠ = ∠ = 90°，∠ + ∠ = 90°，∠ = ∠ = = ∠ ，
∵ = ，
∴ 垂直平分 ．
∴ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 180°，
∵ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ，
∴ = = ，
∴ = 2 = 2 = 2 ．
(3)解：∵ ∠ = ∠ ， // ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ．
∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ = 90°， = ，
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
设 = = = = ，
∵ = 2，
∴ = = 2 + ，
∵ ： = 1：2，
∴ = 2 ，
∴ = = = = 3 ，
∵ 2 + 2 = 2，
∴ (3 )2 + (3 + 2)2 = (3 + + 2)2，
∴ 1 = 0(舍)， 2 = 2，
∴ = 3 = 6，
连接 ，则四边形 是矩形，
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∴ ⊥ ， = = 6， = = = = 2，
∴ = 2 + 2 = 2 10．
27.(1)分别令 = + 8 中 = 0， = 0，
得 = 8 ， = 8．
∵ = 2 ，
∴ | 8| = 2 × 8 ，
解得 = 12，
1
故 AB 的解析式为 = 2 + 4；
(2)由 点作 的垂线交 于 ．
∵ // ，
∴ ∠ = ∠ ．
∵ ∠ = 2∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ 为 的中点，则 为 的中点，
∴ = 12 ．
∵点 的横坐标为 ，
∴ = ，
1
∴ = 2 .
由(1)可知 点的坐标为( 8,0)，
∴ = 8．
把横坐标 代入到直线 的解析式中，
= 12 + 4，
即△ 1的高为2 + 4．
△ 1的底为 + = 8 + 2 ，
△ = (
1 + 4) × (8 + 1 ) × 1 = 1 22 2 2 8 + 3 + 16，
∴ 1与 的函数关系式为 = 28 + 3 + 16；
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(3) ∵ = ，
∴ ( 4, 14 + 2)，
设 的解析式为 = + ，
把点 和点 的坐标代入该解析式可得方程组，
0 = × 2 +
1 ，
2 + 4 = × +
= +8解得 2 ， =
+8
2 ，
故 DF 的解析式为：
= +8
+8
2 ①，
设直线 的解析式为 = + ，
∵ ⊥ ，
∴ +8 × = 1，
解得 = +8，
∵ ( 8,0)，
∴ 的解析式为：
= +8 ( + 8)②，
联立①②式得
( (
2+64) ( 2+24 +128)
4( 2+8 +32) , 4( 2+8 +32) )，
设直线 的解析式为 = + ，
把 点和 点代入该解析式得，
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0 = 2 +
，
4 + 2 = × ( 4) +
1
解得 = 2， = 4，
故 DG 的解析式为：
= 12 +
4，
联立直线 与直线 的方程可得，
= 12 + 4
= 1
，
2 +
4
解得 ( 4 4, 8 + 2)，
设直线 的解析式为 = + ，
把 点的坐标和 点坐标代入该解析式可得；
8 + 2 = (
4 4) +
2 2 ，
( +24 +128) ( +64)4( 2+8 +32) = 4( 2+8 +32) +
= 1
解得： = 4，
故直线 的解析式为 = 4．
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