2024-2025 学年福建省泉州市南安市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.下列选项中，是方程的是( )
A. + 1 = 2 B. + C. 3 + 5 = 8 D. + 1 < 3
2.下列窗棂样式结构的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.关于 的一元一次方程 3 + 2 = 5 的解为 = 2，则 的值为( )
A. 12 B.
1
2 C. 2 D. 2
= 6①
4.用代入消元法解方程组 ，将①代入②可得( )
2 = 1②
A. 2 6 = 1 B. 2 ( 6) = 1 C. 2 ( + 6) = 1 D. 2 + + 6 = 1
5.已知一个等腰三角形的两边长分别为 5 和 8，则它的周长为( )
A. 18 或 21 B. 18 C. 21 D. 13
6.关于 的不等式 2 ≤ 1 的解集如图所示，则 的值是( )
A. 3 B. 1
C. 1 D. 3
7.南安九日山以“山中无石不刻字”闻名四方，现存宋代至清代石刻共 78 处，其中祈风石刻数量比纪游石
刻多 12 处.设祈风石刻 处，纪游石刻 处，根据题意可列出方程组为( )
+ = 78 = 78 + = 12 + = 78
A. = + 12 B. = 12 C. = 78 D. = + 12
8.如图，在直角△ 中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是( )
A. ∠ = ∠
B. ∠ = ∠
C. ⊥
D. =
9.如图是公园某一段步行区的示意图，可抽象成长方形 ，长 = 12 ，宽 = 5 .为方便观赏，公
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园特意修建了如图所示的步行小路(图中非阴影部分)，小路的宽均为 1 ，若沿着小路的正中间步行，从入
口 到出口 步行的路线(图中虚线)的长为( )
A. 24 B. 22 C. 20 D. 18
10.如图，在△ 中， 是△ 的角平分线，点 、 分别是 、 上的动点，若∠ = 50°，当 +
的值最小时，∠ 的度数为( )
A. 105° B. 115°
C. 120° D. 130°
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
11.一个三角形的两个内角的度数分别为 30°和 60°，按角分类它是______三角形．
12.“ 与 4 的差不小于 0”用不等式可表示为______．
13.泉州开元寺双塔造于南宋时期，具有鲜明的宋式建筑特点，其每层塔身均为八
边形结构，该八边形的外角和为______°.
14.如图，将△ 绕点 顺时针旋转一定角度可与△ 重合，点 恰好落在边
上.若 = 4， = 10，则 的长为______．
15.2025 年第四届中国青少年足球联赛(福建赛区)暨福建青少年足球联赛男子初中年龄段 13 组比赛，南
安代表队问鼎省级联赛冠军.在本次足球联赛中，常规时间内胜一场得 3 分，负一场得 0 分；若常规时间内
打平，则采取直接互罚球点球的方式决定该场胜负，点球胜一场得 2 分，负一场得 0 分.已知某支球队 7 场
比赛皆取得胜利，总积分是 18 分，则这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数是______．
16.在△ 中，∠ ，∠ 的平分线交于点 ，∠ 的外角平分线
所在直线与∠ 的平分线相交于点 ，与∠ 的外角平分线相交于点
则下列结论一定正确的是______. (填写所有正确结论的序号)
①∠ = 90° + 12∠ ；②∠ =
1
2∠ ；③∠ = ∠ ；
④∠ + ∠ = 90° + ∠ ．
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三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 8 分)
解方程：2 + 3 = 8 3 ．
18.(本小题 8 分)
2 + = 5 ①
解方程组： ．
3 2 = 4 ②
19.(本小题 8 分)
2 + 1 ≤ 3
解不等式组： 2 1
3 < + 1
，并把它的解集在数轴上表示出来．
20.(本小题 8 分)
如图，网格中每个小正方形的边长均为 1，△ 的顶点均在小正方形的格点上．
(1)将△ 向左平移 3 个单位长度得到△ 1 1 1，画出△ 1 1 1；
(2)将△ 关于点 成中心对称得到△ 2 2 2，画出△ 2 2 2．
21.(本小题 8 分)
如图，四边形 中，∠ = ∠ = 90°， 平分∠ 交 于 ， 平分∠ 交 于 ．
(1)若∠ = 130°，则∠ =______°；
(2)探索猜想 与 的位置关系，并说明理由．
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22.(本小题 10 分)
已知有理数 ， ， ．
(1)若 > 0， = 2， + = 0，求 的取值范围；
(2)若 ， ， 都是正整数，且 + + 是偶数，请说明： + 是偶数．
23.(本小题 10 分)
为增强中小学生的归属感与光荣感，营造全社会关心中小学生发展的良好氛围，某省文化单位组织中小学
开展“热爱祖国”主题作品征集评选活动.小学组主题作品类别分为书法类、绘画类、手抄报类；中学组主
题作品类别分为书法类、绘画类、手抄报类和征文类.征集作品统一规定用纸规格，小学组各类别主题作品
各收集 5600 份，中学组各类别主题作品各收集 5800 份.所有作品已于 25 日全部收集完毕，正待整理.各类
别作品需先进行分类整档，再扫描上传以开展网上评审，所有作品务必在规定时间内完成整档，且务必在
网上评审时间开始前完成扫描.具体时间安排如表：
作品分类整档时间 作品类别 网上评审时间
26 日上午 8：00 10：00 小学、中学组书法类 27 日上午 8：00 开始
26 日上午 10：00 12：00小学、中学组绘画类 27 日上午 8：00 开始
26 日下午 14：00 16：00小学、中学组手抄报类 27 日下午 14：00 开始
26 日下午 16：00 18：00中学组征文类 27 日下午 14：00 开始
该单位有一台 型扫描仪和一台 型扫描仪， 型扫描仪每小时可扫描 800 份作品， 型扫描仪每小时可扫描
1200 份作品．
(1)若两台扫描仪同时扫描，则将所有作品扫描完成需要______小时；
(2)列方程或不等式解决下列问题：
①从 26 日下午 14：00 开始扫描作品，若只用 型扫描仪扫描 26 日上午整档的作品，能否在 27 日上午 8：
00 开始评审前将这部分作品扫描好？
②从 26 日下午 14：00 开始同时用两台扫描仪扫描完上午整档的作品后， 型扫描仪出现故障，只有 型扫
描仪在扫描.为确保在 27 日下午 14：00 完成所有扫描任务，则 型扫描仪必须在何时之前修好？若维修人
员上门服务最早时间是 27 日上午 8：30，通常设备的检查、维修、测试运行到能正常使用需要 2.5 小时，
维修人员能否在此前完成维修任务？
24.(本小题 12 分)
在生活中，瓷砖是生活中常见的装饰材料，用瓷砖铺地，要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面全部铺
满.从数学的角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，或者说是用形状、
大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形
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的镶嵌，又称为平面图形的密铺．
【探究一】只用同一种类型的多边形地砖进行密铺，可选择______(填写下列所有可选择的序号)；
【探究二】共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺．
某中学新科技馆拟用正多边形地砖铺设地面.已有正三角形形状的地砖，现打算购买其他种形状不同，但边
长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺.请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，
并列方程来说明理由．
【探究三】若我们可以用边长相等的多种正多边形镶嵌平面.镶嵌时每个顶点处的正多边形有 个，设这 个
正多边形的边数分别为 1， 2， 3，…， ，请说明 与 1， 2， 3，…， 应满足什么关系？
25.(本小题 14 分)
在△ 中，∠ = 90°．
(1)如图 1，当 为△ 内部的一点时，求作线段 分别关于直线 ， 对称的线段 ， ，并说明： ，
， 三点在同一条直线上(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
(2)如图 2，当点 是 的中点时，连接 ，求作△ 关于点 成中心对称的三角形.若 = ， = ，
且 > ，求 的取值范围(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
(3)如图 3，已知∠ = 30°，∠ = 60°，过点 作直线 // .射线 从射线 的初始位置绕点 以每秒 4°
的速度逆时针旋转；同时，直线 从初始位置绕点 以每秒 3°的速度顺时针旋转；射线 始终在直线
初始位置的下方，保持∠ = ∠ .设射线 旋转时间为 秒(0 ≤ ≤ 10)，请直接写出∠ 与∠ 的
数量关系．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.直角
12. 4 ≥ 0
13.360
14.6
15.3
16.①②④
17.解：2 + 3 = 8 3 ，
2 + 3 = 8 3，
5 = 5，
= 1．
18. 2 + = 5 ①解： ，
3 2 = 4 ②
① × 2 得：
4 + 2 = 10③，
② +③得：
7 = 14，
解得： = 2，
把 = 2 代入①中得：
4 + = 5，
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解得： = 1，
= 2
所以原方程组的解为： = 1．
2 + 1 ≤ 3①
19.解： 2 1
3 < + 1
，
②
解：解不等式①得 ≤ 1，
解不等式②得 > 4，
如图，在数轴上表示如下：
，
∴不等式组的解集为 4 < ≤ 1．
20.(1) △ 1 1 1如图所示；
(2) △ 2 2 2如图所示．
21.(1)四边形 的内角和为(4 2) 180° = 2 × 180° = 360°，即∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 130°，
∵ ∠ = ∠ = 90°，∠ = 130°，
∴ ∠ = 360° ∠ ∠ ∠
= 360° 90° 90° 130°
= 270° 90° 130°
= 180° 130°
= 50°，
∵ 平分∠ ，
∴ ∠ = 1 12∠ = 2 × 50° = 25°．
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故答案为：25；
(2) // ，理由如下：
在四边形 中，∠ = ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 360° 90° 90° = 180°，
∵ 平分∠ ， 平分∠ ，
∴ ∠ = 12∠ , ∠ =
1
2∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 1 12 (∠ + ∠ ) = 2 × 180° = 90°，
∵在 △ 中，∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ // ．
22.(1) ∵ = 2， + = 0，
∴ = + = + 2，
∴ = ( + 2) = 2 2，
∵ > 0，
∴ = 2 2 > 2，
∴ > 2；
(2) ∵ ， ， 都是正整数，
∴ 2 ，2 ，2 是偶数，
∴ + = ( + + ) 2 ，
∵ + + 也是偶数，偶数 偶数=偶数，
∴ + 是偶数．
23.(1)(5600 × 3 + 5800 × 4) ÷ (800 + 1200) = 20，
故答案为：20；
(2)①设用 型扫描仪扫描完需要 小时，
则可列方程：1200 = 5600 × 2 + 5800 × 2，
解得 = 19，
∴用 型扫描仪扫描完需要 19 小时，
∵ 26 日下午 14：00 到 27 日上午 8：00 共有 18 小时，19 小时> 18 小时，
∴不能在 27 日上午 8：00 开始评审前将这部分作品扫描好．
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②26 日上午整档的作品共有：5600 × 2 + 5800 × 2 = 22800(份)，
两台扫描仪同时扫描，每小时可扫描：800 + 1200 = 2000(份)，
则 26 日上午整档的作品扫描完成需要时间：22800 ÷ 2000 = 11.4(小时)，
从 26 日下午 14：00 到 27 日下午 14：00 共有 24 小时，
型扫描仪可扫描作品：1200 × 24 = 28800(份)，
型扫描仪故障前已扫描作品：800 × 11.4 = 9120(份)，
∵ 28800 + 9120 = 37920 < 40000，
∴不维修 型扫描仪不能确保在 27 日下午 14：00 完成所有扫描任务．
设维修后 型扫描仪仍需扫描 小时，
根据题意得 28800 + 9120 + 800 ≥ 40000，
解得 ≥ 2.6，
∴维修后 型扫描仪仍需扫描至少 2.6 小时，即 2 小时 36 分钟，
∴ 型扫描仪必须在 11：24 之前修好，
∴根据题意可知，通常情况下维修人员可在(8：30 + 2：30)即 11：00 修好
型扫描仪，
∴通常情况下，维修人员可以在此前完成维修任务．
24.解：【探究一】∵正三角形的内角和是 180°，
∴正三角形能密铺；
∵四边形的内角和是 360°，
∴正四边形能密铺；
∵五边形的内角和是 540°，不能与 360°整除，
∴正五边形不能密铺；
∵正六边形的一个内角的度数是 120°，能与 360°整除，
∴正六边形能密铺；
故答案为：①②④；
【探究二】①正三角形与正方形可以共顶点组合密铺；
设有 个正三角形， 个正方形．
∵正三角形的每一个内角为 60°，正方形的每一个内角是 90°，
若想用 个 60°与 个 90°围成 360°，
则 60 + 90 = 360，即 2 + 3 = 12，这个二元一次方程的正整数解 = 3， = 2，
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∴正三角形与正方形可以共顶点组合密铺；
②正三角形与正六边形可以共顶点组合密铺；
设有 个正三角形， 个正六边形．
∵正三角形的每一个内角为 60°，正六边形的每一个内角是 120°，若想用 个 60°与 个 120°围成 360°，
则 60 + 120 = 360，即 + 2 = 6，这个二元一次方程的正整数解 = 2， = 2 或 = 4， = 1，
∴正三角形与正六边形可以共顶点组合密铺；
③正三角形，正方形与正六边形可以共顶点组合密铺；
设有 个正三角形， 个正方形， 个正六边形，
∵正三角形的每一个内角为 60°，正方形的每一个内角是 90°，正六边形的每一个内角是 120°，
若想用 个 60°、 个 90°与 个 120°围成 360°，
则 60 + 90 + 120 = 360，即 2 + 3 + 4 = 12，这个三元一次方程的正整数解 = 1， = 2， = 1，
∴正三角形、正方形与正六边形可以共顶点组合密铺；
( 2)×180°
【探究三】∵正 边形的每个内角为 ，
∴ ( 1 2)×180° ( 2 2)×180° ( 3 2)×180°边数分别为 1， 2， 3， ， ，的正多边形的每个内角为 ，1
，
2 3
∴ ( 1 2)×180°+ ( 2 2)×180°+ ( 3 2)×180° ( 2)×180° 1 2
+ +
3
= 360°，
∴ 1 2 + 2 2+ 3 2 + + 2 = 2，1 2 3
∴ 1 2 + 1 2 + 1 2 + + 1
2
= 2，1 2 3
∴ 2 2 2 + + + +
2 = 2，
1 2 3
∴ 1 + 1 + 1 1 2 + + = ，1 2 3 2
∴ 1 1 1 1 2与 1， 2， 3， ， 应满足： +1
+
2
+ +
3
= ．
2
25.(1)图形如图所示：
证明：∵ ， 关于 对称，
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∴ ∠ = ∠ ，
∵ ， 关于 对称，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 2∠ + 2∠ = 2(∠ + ∠ ) = 2 × 90° = 180°，
即∠ = 180°，
∴ ， ， 三点在同一条直线上；
(2)如图所示，△ 即为所求所作，
∵△ 与△ 关于点 成中心对称，
∴ = = ， = = ， =
∵ < < + ，
∴ < 2 < + ，
∴ 2 < <
+
2 ；
(3)当 0 ≤ ≤ 6 时，5∠ 2∠ = 30°；
当 6 < ≤ 7.5 时，5∠ + 2∠ = 30°；
当 7.5 < ≤ 10 时，2∠ 5∠ = 30°．
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