辽宁省辽阳市灯塔市2024-2025学年九年级上学期开学数学试题
一、单选题
1．二次根式中字母x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．把直线向下平移3个单位长度得到直线为（ ）
A． B． C． D．
3．不等式x＞2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，量得，则之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题的逆命题正确的是（ ）
A．全等三角形的周长相等
B．全等三角形的对应角相等
C．如果，那么
D．直角三角形的两个锐角互余
6．某个正多边形的一个内角是它的外角的3倍，则该正多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正九边形
7．若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ）
A． B． C．1 D．5
8．已知方程的解是，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．银州区今年7月1日至8日的最高温度（）如下表所示：
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日
最高温度（） 29 28 26 31 32 31 31 26
则最高温度（）的众数和中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．如图，在中，点D是的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线交于点E，连接，若，的周长为9，则的周长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
二、填空题
11．计算： ．
12．若3，5，6，8，x的平均数为5，则x的值为
13．因式分解： ．
14．某电梯从1层（地面）直达3层用了，若电梯的运行是匀速的，则乘坐该电梯从2层直达8层所需要的时间是 ．
15．如图，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交于两点，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，以为端点作射线，在射线上截取线段，则点到的距离为 ．
三、解答题
16．（1）解不等式组：；
（2）解分式方程：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出绕原点旋转后的图形；
(2)是边上一点，将平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的；
(3)将平移，若（2）小题中，点的对应点的坐标为，平移后的和关于点成中心对称，则的坐标为______．（用含，的式子表示）
19．某福利院组织部分小朋友去旅游，由两位职工带队．联系了甲、乙两家服务质量相同且报价相同的旅行社，经过协商，甲旅行社表示可以两位大人全额付款，其余人七五折优惠：乙旅行社表示可以所有人八折优惠，该福利院选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
20．如图，在中，过点D作于点E，点F在上，，连接
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求证：平分．
21．为了选拔一名学生参加全市诗词大赛，学校组织了四次测试，其中甲、乙两名学生的成绩较为优秀，他们在四次测试中的成绩（单位：分）如下表所示：
甲 90 85 95 90
乙 98 82 88 92
(1)分别求出甲、乙两名学生在四次测试中的平均分：
(2)分别求出甲、乙两名学生测试成绩的方差，从方差的角度判断选择谁参加比赛更合适．
22．如图，在平行四边形中，点和点分别在边上，且．求证：四边形是平行四边形．
23．如图，直线过点，交y轴正半轴于点B，且，C从A点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，同时D从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，运动时间为t
(1)求的解析式；
(2)在运动过程中，以为对角线作正方形，除C、D外正方形另外两个顶点中有一个顶点落在坐标轴上，求此时t的值.
24．定义：我们把一次函数（）与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为（，1）．
(1)由定义可知，一次函数的“亮点”为________．
(2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值．
(3)若直线（）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”．
①点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标．
②点Q在直线（）上，若点Q与边上的三点能构成平行四边形，请直接写出n的取值范围．
25．如图，是的中线，，交于点F，且．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，在（1）的条件下，，设对角线交于点O，过点O作交的角平分线于点Q．与交于P点．求证；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长．
参考答案
1．A
解：由题意，得，
解得，．
故选：A．
2．D
根据题意，得
故答案为D.
3．C
解：x>2在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右，
因此，综合各选项，只有C选项符合；
故选：C．
4．B
解：∵C，D是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
5．D
A. 周长相等的三角形是全等三角形，假命题，不符合题意；
B. 对应角相等三角形是全等三角形，假命题，不符合题意；
C. 如果，那么，假命题，不符合题意；
D. 两个锐角互余的三角形是直角三角形，真命题，符合题意；
故选D．
6．C
解：设这个多边形的边数是n，
∵一个内角是它的外角的3倍，
∴该正多边形内角和是其外角和的3倍，
∴，
解得：，
即这个正多边形是正八边形．
故选：C．
7．A
解：去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：，
解得：，
故选：A．
8．C
解：方程的解是，
经过点．
故选：C．
9．D
解：将这组数据从小到大排列：26，26，28，29，31，31，31，32
故众数为31，中位数为
故选：D．
10．C
∵点D是的中点，
∴，
由题意得：是的垂直平分线，
∴，
∵的周长为9，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故选：C．
11．2
解：，
故答案为：．
12．3
解：数据3，5，6，8，的平均数是5，
，
解得．
故答案为：3．
13．
解：，
故答案为：．
14．
解：设电梯每运行一层的时间是，根据题意，由1层到3层用，
得，
解得，
当从2层到8层用时间为，
故答案为：．
15．4
过点M作于点E，
由题意可得：是的角平分线，
则，
∴．
则点到的距离为4，
故答案为：4
16．（1）；（2）
（1）
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集是
（2）
两边同乘以得，，
解方程得，，
当时，，
∴是分式方程的解
17．，
当时，
原式
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）解：根据题意可知和关于原点中心对称，
则可得到，， 关于原点中心对称的对应点分别为、、，描点依次连接，
如图所示，即为所求：
（2）解：根据题意可知，点向右平移4个单位，向上平移2个单位得到点，则向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ，
分别将，，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到对应点、、，描点依次连接，
如图所示，即为所求：
（3）解：根据题意可知，点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，则向右平移个单位，向上平移个单位得到 ，
分别将，，向右平移个单位，向上平移个单位得到对应点、、，
平移后的和关于点成中心对称，且、、，
设对称中心，由题意可知，点为和的中点
那么，
，
．
故答案为：．
19．当旅游人数少于10人时，乙旅行社收费较少；人数恰好为10人时，两家旅行社收费相同；人数多以10人时，甲旅行社收费较少
解：设该公司有x人参加旅游，票价为a元每张，甲旅行社费用为，乙旅行社的费用为，则：
当=时，两家旅行社收费一样：
则
解得：；
当时，乙旅行社收费较少：
则
解得：
当时，甲旅行社收费较少：
则
解得：
答：当旅游人数少于10人时，乙旅行社收费较少；人数恰好为10人时，两家旅行社收费相同；人数多以10人时，甲旅行社收费较少．
20．(1)见解析
(2)见解析.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即平分．
21．(1)90分；90分；
(2)选择甲参加比赛更合适，理由见解析．
（1）解：（分，
（分，
（2）解：选择甲参加比赛更合适，理由如下：
，
，
甲的方差小于乙的方差，
选择甲参加比赛更合适．
22．见解析
解：证明：四边形是平行四边形，
．
在和中，
，
，
．
又，
，即．
又，
四边形是平行四边形．
23．(1)
(2)、或
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴,
在中，根据勾股定理得：，
∴，
设直线得解析式为，
把代入，得，
，
解得，，
∴直线的解析式为；
（2）解：①当E落在x轴上时，如图1，
由题意得，，，
∵四边形为正方形，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，根据勾股定理得：，
∵，
∴，
解得： （舍去）
②当F点落在y轴正半轴上时，如图2，作，，，根据勾股定理可得，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
又，
∴，
又
∴，
∴，
∵，，
∴，，
又
∵，
∴，
解得： ；
③当E 点落在y轴负半轴上时，如图3，作，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
又，，
，
∴，
解得，，
综上：、或
24．(1)
(2)
(3)①或；②或；
（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即
解得，
一次函数的“亮点”为；
（2）解：根据定义可得，点在上，
，
解得，
点又在上，
，
又，
，
解得，
；
（3）①直线上没有“亮点”，
直线与平行，
，
，令，，
令，则，
，
，
设，
，
，
，
，
即或，
解得或，
或；
②由①得：，
而点Q与边上的三点能构成平行四边形，
如图，的临界位置为：，，
∵点Q在直线（）上，
∴当过时，
∴，
解得：；
当过时，
∴，
解得：，
∴的取值范围为：或；
25．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)的长为．
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：过点Q作于M，作于N，连接，如图：
∵平分，
∴，
∴，
，
由（1）得，四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
，
∴，
∴，
即；
（3）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
由（2）得：，
∴，
过C作于K，连接，如图：
∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长为．
