第六章 几何图形初步
一．选择题（共10小题）
1．（2025 绵阳）如图是某几何体的展开图，则此几何体是
A．五棱柱 B．五棱锥 C．六棱柱 D．六棱锥
2．（2025 盂县二模）下列图形为正方体展开图的是
A．
B．
C．
D．
3．（2025 牙克石市一模）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是
A． B．
C． D．
4．（2025 昌邑区校级三模）将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是
A． B． C． D．
5．（2025 江西）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
6．（2025 陕西）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是
A． B．
C． D．
7．（2025 榆林二模）一个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球
8．（2025 中江县模拟）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“五”字所在的面相对的面上标的字是
A．坚 B．持 C．并 D．举
9．（2025 西岗区校级模拟）如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数字1，2，3，，，，相对面上的两个数互为相反数，则
A． B． C．1 D．2
10．（2025 蒲城县一模）下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱的是
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2025 亭湖区一模）一个无盖的长方体包装盒展开后如图所示（单位：，则其容积为 ．
12．（2025 青岛）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块．
13．（2025 吉安一模）如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为 ．
14．（2025 潍坊二模）如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧于点，画射线．若，则的度数为 度．
15．（2025 远安县模拟）小王同学在面临“固定一根细而短的直木条用多少根钉子”问题时，选择的是准备用3根钉子，若你是发货员，从节约和稳固兼顾的角度来讲，可以只发给小王 根钉子．
16．（2025 甘肃模拟）用代数式表示“体积为，高为的长方体的底面积”为： ．
17．（2025 岚山区二模）已知与互为补角，，则 ．
18．（2025 大荔县三模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的．把一副七巧板按如图所示进行①⑦编号，由这幅七巧板拼成的“蝴蝶”的面积是16，那么标号为①的正方形板块面积为
19．（2025 夹江县模拟）已知一个角是，则这个角的余角的度数是 ．
20．（2025 和顺县三模）七巧板起源于中国，又称七巧图、智慧板．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它将正方形分割成七块板（图，而这七块板可以拼成许多图形．实验小组将七块板拼成火箭的形状（图，若图1的大正方形的边长为，则火箭的高度为 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 惠城区模拟）问题情景：七（1）班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒．
操作探究：
（1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒；
（2）图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“卫”字相对的是 ；
（3）如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；
②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积．
22．（2025 榆林二模）如图是一个长为，宽为的长方形纸片，该长方形纸片分别绕长、宽所在直线旋转一周（如图1、图，会得到两个几何体，请你通过计算说明哪种方式得到的几何体的体积大（结果保留
23．（2025 榆阳区三模）如图①，是一个两直角边长分别为，的直角三角形，按如图②以边长为的直角边所在直线为轴旋转一周；按如图③过边长为的直角边所对顶点且与边长为的直角边平行的直线为轴旋转一周，得到两个不同的几何体．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想．，
24．（2025 蒲城县二模）如图，将平面图形甲、乙分别绕轴、旋转一周，可以得到立体图形①、②，图形甲是直角边分别为、的直角三角形，图形乙是边长为的正方形．
（1）立体图形①的名称是 ；
（2）请问立体图形②比立体图形①的体积大多少？（用含和的式子表示，，
25．（2025 石家庄模拟）在小学，我们学习过交换律、结合律以及乘法分配律，利用这些运算律可以使一些数学问题简化．例如：，请利用运算律解决下列问题：
（1）计算：；
（2）如图，点是线段上任意一点，点是的中点，点是的中点，若，计算线段的长度．
第六章 几何图形初步
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 绵阳）如图是某几何体的展开图，则此几何体是
A．五棱柱 B．五棱锥 C．六棱柱 D．六棱锥
【答案】
【考点】几何体的展开图
【专题】几何直观；几何图形
【分析】根据棱柱的定义判断即可．
【解答】解：这个几何体是六棱柱．
故选：．
【点评】本题考查几何体的展开图，解题的关键是理解棱柱展开图的特征．
2．（2025 盂县二模）下列图形为正方体展开图的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【考点】几何体的展开图
【专题】展开与折叠；空间观念
【分析】正方体的展开图有11种情况：型共6种，型共3种，型一种，型一种，由此判定找出答案即可．
【解答】解：、不是正方体展开图，故选项不符合题意；
、有田字格，不是正方体展开图，故选项不符合题意；
、型是正方体展开图，故选项符合题意；
、型不是正方体展开图，故选项不符合题意；
故选：．
【点评】此题考查正方体的展开图，注意识记基本类型，更快解决实际问题．
3．（2025 牙克石市一模）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】几何体的展开图
【专题】展开与折叠；空间观念
【分析】根据几何体的表面展开图可以判断这个几何体是三棱柱．
【解答】解：根据几何体的展开图可知：
这个几何体是：．
故选：．
【点评】本题考查了几何体的展开图，多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
4．（2025 昌邑区校级三模）将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】点、线、面、体
【专题】几何图形；空间观念
【分析】从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体，分别判断各选项是否可得到图中所示的立体图形．
【解答】解：、绕轴旋转一周可得到圆柱，故此选项不合题意；
、绕轴旋转一周，可得到球体，故此选项不合题意；
、绕轴旋转一周，可得到一个中间空心的几何体，故此选项不合题意；
、绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形，故此选项符合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了点线面体，关键是掌握面动成体．点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
5．（2025 江西）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】
【考点】几何体的展开图
【专题】展开与折叠；空间观念
【分析】依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论．
【解答】解：如图所示：
选择标有1或2的位置的空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图，
所以能与阴影部分组成正方体展开图的方法有2种．
故选：．
【点评】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．
6．（2025 陕西）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】点、线、面、体
【专题】几何图形；空间观念
【分析】根据面动成体，图形绕直线旋转是球．
【解答】解：如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是球．
故选：．
【点评】此题考查点、线、面、体的问题，解决本题的关键是得到所求的平面图形是得到几何体的主视图的被纵向分成的一半．
7．（2025 榆林二模）一个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球
【答案】
【考点】几何体的展开图
【专题】投影与视图；空间观念
【分析】根据圆锥的侧面展开图得出答案．
【解答】解：由几何体的表面展开图可知，这个几何体是圆锥．
故选：．
【点评】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．
8．（2025 中江县模拟）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“五”字所在的面相对的面上标的字是
A．坚 B．持 C．并 D．举
【答案】
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字
【专题】空间观念；展开与折叠
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“五”与“并”是相对面．
故选：．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，解题关键是相对的面之间一定相隔一个正方形．
9．（2025 西岗区校级模拟）如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数字1，2，3，，，，相对面上的两个数互为相反数，则
A． B． C．1 D．2
【答案】
【考点】相反数；专题：正方体相对两个面上的文字
【专题】空间观念；展开与折叠；数感
【分析】根据正方体表面展开图的特征判断相对的面，再根据相反数的定义进行计算即可．
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，
“面”与“面2”是对面，
由于相对面上的两个数互为相反数，
所以所表示的数是，
故选：．
【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，相反数，掌握相反数的定义，正方体表面展开图的“相间、端是对面”是正确解答的关键．
10．（2025 蒲城县一模）下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】点、线、面、体
【专题】空间观念；展开与折叠
【分析】根据“面动成体”结合各个选项中图形和旋转轴进行判断，即可解答．
【解答】解：、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是球体，故不符合题意；
、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥，故不符合题意；
、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱，故符合题意；
、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆台，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了点、线、面、体，理解“面动成体”是正确判断的前提．
二．填空题（共10小题）
11．（2025 亭湖区一模）一个无盖的长方体包装盒展开后如图所示（单位：，则其容积为 800 ．
【考点】几何体的展开图
【专题】几何图形
【分析】先用减去求出高为，再用减去求出宽为，再用减去求出长为，再根据长方体的体积公式计算即可求解．
【解答】解：，
，
，
．
答：其容积为．
故答案为：800．
【点评】考查了几何体的展开图，解题的关键是得到长方体的长宽高．
12．（2025 青岛）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 12 块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块．
【答案】12；144．
【考点】展开图折叠成几何体
【专题】展开与折叠；几何直观
【分析】先拼成基础单元，再分析，即可解答．
【解答】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6，则6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6，则需图②的个数：（个；
同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4，3，2的长方体，用个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体，此时需要：（个．
故答案为：12；144．
【点评】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识．先拼成一个基础图形（体，再根据正方形（体的特征，即可解答．
13．（2025 吉安一模）如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为 ．
【答案】．
【考点】角的计算
【专题】运算能力；线段、角、相交线与平行线
【分析】如图：由题意可得，然后根据平角的定义列式计算即可．
【解答】解：，
，即入射光线与反射光线的夹角的度数为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了角的和差，将物理情景转化为数学问题成为解题的关键．
14．（2025 潍坊二模）如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧于点，画射线．若，则的度数为 63.74 度．
【答案】63.74．
【考点】度分秒的换算；角平分线的性质
【专题】运算能力；线段、角、相交线与平行线
【分析】根据题意可得：，从而可得，然后利用度分秒的进制进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了度分秒的换算，角平分线的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．（2025 远安县模拟）小王同学在面临“固定一根细而短的直木条用多少根钉子”问题时，选择的是准备用3根钉子，若你是发货员，从节约和稳固兼顾的角度来讲，可以只发给小王 2 根钉子．
【答案】2．
【考点】直线的性质：两点确定一条直线
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识
【分析】根据两点确定一条直线解答．
【解答】解：根据两点确定一条直线，
小王同学在面临“固定一根细而短的直木条用多少根钉子”问题时，选择的是准备用3根钉子，若你是发货员，从节约和稳固兼顾的角度来讲，可以只发给小王2根钉子．
故答案为：2．
【点评】本题考查了直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键．
16．（2025 甘肃模拟）用代数式表示“体积为，高为的长方体的底面积”为： ．
【答案】．
【考点】认识立体图形；列代数式
【专题】投影与视图；运算能力
【分析】根据长方体的体积底面积高，即可求解．
【解答】解：长方体的体积底面积高，
“体积为，高为的长方体的底面积”为：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是认识立体图形，熟记长方体的体积公式是解题的关键．
17．（2025 岚山区二模）已知与互为补角，，则 ．
【考点】：度分秒的换算；：余角和补角
【专题】66：运算能力；551：线段、角、相交线与平行线
【分析】根据互补即两角的和为解答即可．
【解答】解：与互为补角，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了余角的定义．能够根据余角的关系进行正确计算是解题的关键．
18．（2025 大荔县三模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的．把一副七巧板按如图所示进行①⑦编号，由这幅七巧板拼成的“蝴蝶”的面积是16，那么标号为①的正方形板块面积为 2
【答案】2．
【考点】七巧板
【专题】三角形；几何直观
【分析】根据面积相等可得出大正方形的面积，进而得出大正方形的边长，由此得出②的直角边长，进而求出①的边长．
【解答】解：由图可知，“蝴蝶”的面积等于大正方形的面积，
即，
大正方形的边长为②的斜边长为4，
②的直角边为，
①的边长为，⑤的直角边为，
①对应的面积等于2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查七巧板的知识，熟练利用七巧板中各个图形的边长关系是解题的关键．
19．（2025 夹江县模拟）已知一个角是，则这个角的余角的度数是 ．
【考点】余角和补角
【专题】方程思想；运算能力
【分析】根据互余的两个角和为解答即可．
【解答】解：一个角是，
这个角的余角的度数是，
故答案为：．
【点评】本题考查了余角，掌握互余的两个角和为是解此题的关键．
20．（2025 和顺县三模）七巧板起源于中国，又称七巧图、智慧板．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它将正方形分割成七块板（图，而这七块板可以拼成许多图形．实验小组将七块板拼成火箭的形状（图，若图1的大正方形的边长为，则火箭的高度为 ．
【答案】．
【考点】七巧板
【专题】运算能力；推理能力；线段、角、相交线与平行线
【分析】如图，连接，由题意知，，，，则图2中1的竖直高度为，4的 竖直高度为，3的竖直高度为，7的竖直高度为，然后求和可得火 箭的高度．
【解答】解：如图，连接，
由题意知，，
，
图2中1的竖直高度为 ，
4的竖直高度为 ，
3的竖直高度为 ，
7的竖直高度为 火箭的高度为 ，
故答案为：．
【点评】本题考查了七巧板，正确求解各图形的边长是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 惠城区模拟）问题情景：七（1）班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒．
操作探究：
（1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒；
（2）图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“卫”字相对的是 ；
（3）如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；
②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积．
【答案】（1）；
（2）保；
（3）①，②．
【考点】展开图折叠成几何体
【专题】空间观念；展开与折叠
【分析】（1）无盖正方体有五个面，的组合不能折叠成立方体，据此解答；
（2）将立方体还原，即可解答；
（3）①在现有正方形四个角画出全等的四个小正方形，然后依次虚线连接相邻两个小正方形在大正方形内的顶点；
②长方体的高即为小正方形的边长，长和宽为大正方形边长减去两个小正方形的边长，然后根据长方体的体积公式计算即可．
【解答】解：（1）无盖正方体有五个面，
和不符合题意，
的组合不能折叠成立方体，
不符合题意；
故选：；
（2）还原后的正方体为：
“保”与“卫”相对，
故答案为：保；
（3）①如图：
②
．
【点评】本题主要考查了展开图折叠几何体，题目较为简单，需要学生具备较好的空间想象力．
22．（2025 榆林二模）如图是一个长为，宽为的长方形纸片，该长方形纸片分别绕长、宽所在直线旋转一周（如图1、图，会得到两个几何体，请你通过计算说明哪种方式得到的几何体的体积大（结果保留
【考点】点、线、面、体
【专题】常规题型；平移、旋转与对称
【分析】绕长旋转得到的圆柱的底面半径为，高为，从而计算体积即可；绕宽旋转得到的圆柱底面半径为，高为，从而计算体积进行比较即可．
【解答】解：如图1，绕长边旋转得到的圆柱的底面半径为，高为，体积；
如图2，绕短边旋转得到的圆柱底面半径为，高为，体积．
因此绕短边旋转得到的圆柱体积大．
【点评】本题考查了点、线、面、体的知识，熟记常见平面图形旋转可得到什么立体图形是解决本题的关键，另外要掌握圆柱的体积计算公式．
23．（2025 榆阳区三模）如图①，是一个两直角边长分别为，的直角三角形，按如图②以边长为的直角边所在直线为轴旋转一周；按如图③过边长为的直角边所对顶点且与边长为的直角边平行的直线为轴旋转一周，得到两个不同的几何体．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想．，
【考点】点、线、面、体
【专题】计算题
【分析】猜想图③体积更大，列出两图的体积，然后比较大小即可．
【解答】解：设图2得到的几何体的体积为，图3中得到的几何体的体积为猜想：图③的体积更大，
，，
，
．
【点评】本题考查了面的旋转成体的思想，较为简单．
24．（2025 蒲城县二模）如图，将平面图形甲、乙分别绕轴、旋转一周，可以得到立体图形①、②，图形甲是直角边分别为、的直角三角形，图形乙是边长为的正方形．
（1）立体图形①的名称是 圆锥 ；
（2）请问立体图形②比立体图形①的体积大多少？（用含和的式子表示，，
【答案】（1）圆锥；
（2）立体图形②比立体图形①的体积大．
【考点】列代数式；点、线、面、体
【专题】推理能力
【分析】（1）根据立体图形的定义即可解答；
（2）设图形①、②的体积分别为、，然后分别求得图形①、②的体积，然后作差即可解答．
【解答】解：（1）以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴得到的立体图形为圆锥．
故答案为：圆锥．
（2）设图形①、②的体积分别为、，
则，，
．即立体图形②比立体图形①的体积大．
【点评】本题主要考查了圆锥的定义、圆锥的体积、圆柱的体积等知识点，掌握圆锥的相关知识成为解题的关键．
25．（2025 石家庄模拟）在小学，我们学习过交换律、结合律以及乘法分配律，利用这些运算律可以使一些数学问题简化．例如：，请利用运算律解决下列问题：
（1）计算：；
（2）如图，点是线段上任意一点，点是的中点，点是的中点，若，计算线段的长度．
【答案】（1）；
（2）．
【考点】有理数的混合运算；两点间的距离
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观
【分析】（1）根据有理数的乘法运算律求解即可；
（2）根据线段中点的概念求解即可．
【解答】解：（1）
；
（2）点是的中点，点是的中点，
，
．
【点评】此题考查了有理数的乘法运算律，有关线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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