广东省广州市白云区两校联考2024-2025学年八年级上学期数学第一次月考试卷
一、选择题(本大题共10小题，共30分
1．（2024八上·广州月考）下列图形中，不是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·广州月考）已知图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·广州月考）如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，若CB=CD，且∠1=30°，则∠CAD的度数是( )
A．90° B．60° C．30° D．15°
4．（2024八上·广州月考）一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
5．（2024八上·广州月考）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·广州月考）如图，已知AB=DE，∠B=∠DEF，下列条件中不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A．∠A=∠D B．AC//DF C．BE=CF D．AC=DF
7．（2024八上·广州月考）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（ ）
A．90° B．135° C．270° D．315°
8．（2024八上·广州月考）如图，已知点D是△ABC中AC边上的中线，若△ABC的面积是4，则的面积是( )
A．4 B．1 C．2 D．不能确定
9．（2024八上·广州月考）如图，中，，平分，过点D作于E，测得，，则的周长是（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
10．（2024八上·广州月考）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.则下列结论中正确的个数( )
①BP平分∠ABC； ②∠ABC+2∠APC=180°；
③∠CAB=2∠CPB；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分
11．（2024八上·广州月考）△ABC中，已知∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C的外角的度数是 ．
12．（2024八上·广州月考）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且、已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是 ．
13．（2024八上·广州月考）如图，AB//CD，BE⊥EF于E，∠B=25°，则∠EFD的度数是 .
14．（2024八上·广州月考）直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角的度数是
15．（2024八上·广州月考）如图，是内部的一条射线，P是射线上任意一点，．下列条件：，其中能判定是的平分线的有 ．（填序号）
16．（2024八上·广州月考）如图所示的4×4的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= .
三、解答题(本大题共9小题，共72分
17．（2024八上·广州月考）一个多边形，它的内角和比外角和的 倍多 求这个多边形的边数.
18．（2024八上·广州月考）如图，△ACF≌△ADE，AD=12，AE=5，求DF的长.
19．（2024八上·广州月考）如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°.求证AB//CD.
20．（2024八上·广州月考）在△ABC中，AB＝9，AC＝2，并且BC的长为偶数，求△ABC的周长．
21．（2024八上·广州月考）如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE.求证：CD//BE.
22．（2024八上·广州月考）如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC.
（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）在上述的条件下，求证：DE//AC.
23．（2024八上·广州月考）如图，C为线段AB上一点，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE.
（1）求证：△ACD≌△BEC；
（2）判断CF与DE的位置关系 并说明理由.
24．（2024八上·广州月考）如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点.若AC平分猜想线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系并证明.
25．（2024八上·广州月考）如图1，点P、Q分别是等边 上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M.
（1）求证： ；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】[解答】解：A、图案是轴对称图形，故A不符合题意；
B、图案是轴对称图形，故B不符合题意；
C、图案不是轴对称图形，故C符合题意；
D、图案是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义，分别进行识别，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D=50°，
∠C=∠F=72°，
∴∠1=180°-∠F-∠D=180°-72°-50°=58°.
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形的性质可求出∠F，∠D的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠1的度数．
3．【答案】C
【知识点】垂线的概念；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：因为 ，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，
∴∠B=∠D=90°，
在Rt和Rt中：
∵CB=CD，AC=AC，
∴Rt≌Rt，
∴ ∠CAD = ∠1=30°。
故答案为：C.
【分析】根据HL证明Rt≌Rt，可得出∠CAD = ∠1=30°。
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵三角形三个内角的度数之比是，
∴最大的内角的度数为，
∴这个三角形一定是直角三角形；
故答案为：A．
【分析】根据三角形内角和定理及三个内角的度数之比是，即可得出最大的内角的度数为，即可判断 这个三角形一定是直角三角形。
5．【答案】B
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据外角性质“三角形的一个外角等于和它不相同的两个内角之和”得∠1=∠2+60°即可求解．
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A：添加 ∠A=∠D ，满足ASA，可以判定 △ABC≌△DEF ，所以A不符合题意；
B：根据 AC//DF ，可得出∠ACB=∠F，满足AAS，可以判定 △ABC≌△DEF ，所以B不符合题意；
C：根据 BE=CF ，可得出BC=EF，满足SAS，可以判定 △ABC≌△DEF ，所以C不符合题意；
D： AC=DF ，可得出SSA，不能判定 △ABC≌△DEF ，所以D符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据三角形全等的判定，分别进行判断，即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2=360°﹣（∠A+∠B）=360°﹣90°=270°．
故选：C．
【分析】根据四边形内角和为360°可得∠1+∠2+∠A+∠B=360°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠B=90°，进而可得∠1+∠2的和．
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；线段的中点；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵ 点D是△ABC中AC边上的中线，
∴AC=2CD，
设边AC上的高为：h，可得：S△ABC=，=，
∴=，
∵ △ABC的面积是4，
∴=2.
故答案为：C.
【分析】首先根据中点的定义得出AC=2CD，然后设边AC上的高为：h，根据三角形面积计算公式，可得出=，进而即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴
∵，平分，
∴，
∵，，
∴的周长，
故答案为：B．
【分析】首先根据角平分线的性质得出，进而根据三角形周长计算定义得出的周长 =BE+BD+DE，再通过等量代换，即可得出答案。
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过点P作PD⊥AC于点D，
∵ ∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P， 且 ，PM⊥BE，PN⊥BF.∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB，
∴PM=PD=PN，
∴BP平分∠ABC；即①正确；
∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，
∴∠PAC=，∠PCA=，
∴∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°--=，
∴ ∠ABC+2∠APC =∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°；即②正确；
∵ BP平分∠ABC； CP平分∠ACF，
∴∠CBP=，∠ACP=，
∴∠CPB=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠CBP-(∠BCA+∠ACP)=180°--∠BCA-=90°--
∵∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB=2（90°--）=2∠CPB；即③正确；
∵ ∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P， 且 ，PM⊥BE，PN⊥BF.PD⊥AC于点D，
∴PM=PD=PN，
在Rt和Rt中：PM=PD，PA=PA，
∴Rt≌Rt，
∴AM=AD，
同理可证：CD=CN，
∴AC=AM+CN，
又∵S△PAC = 12×AC×PD ， S△MAP=12×AM×PM，S△NCP=12×CN×PN ， ∴即④正确。
故答案为：D.
【分析】如图，过点P作PD⊥AC于点D，根据角平分线的性质定理及判定定理可得出①正确；根据三角形相邻内外角之间的关系及角平分线的定义可得出∠PAC=，∠PCA=，进而根据内角和定理可得出∠APC=，进而根据三角形内角和定理可而出 ②∠ABC+2∠APC=180°；根据三角形内角和及角平分线的定义得∠CPB=90°--，再根据三角形内角和定理得出∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB，进一步变形，即可得出 ③∠CAB=2∠CPB； 再根据HL判定Rt≌Rt，得出AM=AD，同理CD=CN，可得AC=AM+CN，在根据角平分线的性质定理，得出PM=PD=PN，进一步根据三角形面积计算公式可得出综上即可得出答案。
11．【答案】110°
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝60°，
∴与∠C相邻的外角度数为：50°+60°＝110°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
故答案为：110°．
【分析】利用三角形外角的性质求解即可。
12．【答案】SSS
【知识点】线段的中点；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD=，AE=，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
在△ADM和△AEM中，
∴△ADM≌△AEM(SSS)，
故答案为：SSS．
【分析】首先根据中点定义及等式的性质，可得出AD=AE，然后再根据“SSS”即可证得△ADM≌△AEM．故而可得出答案。
13．【答案】65°
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵ BE⊥EF于E，
∴∠E=90°，
∵∠BGF是的一个外角，
∴∠BGF=∠E+∠B=90°+25°=115°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD+∠BGF=180°，
∴∠EFD=180°-115°=65°。
故答案为：65°.
【分析】根据三角形外角的性质可得出∠BGF=115°，再根据平行线的性质，得出∠EFD=180°-115°=65°。
14．【答案】35°
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设较小的锐角为x°，则较大锐角为（x+20）°，
根据题意，得：x+x+20=90，
解得：x=35.
故答案为：35°.
【分析】设较小的锐角为x°，则较大锐角为（x+20）°，根据直角三角形两个锐角互余，即可得出x+x+20=90，解方程即可得出答案。
15．【答案】①②③④
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】
∵，∴是的平分线，故①正确；
∵，
∴是的平分线，故②正确；
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是的平分线，故③正确；
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是的平分线，故④正确；
故答案为：①②③④．
【分析】根据角平分线的定义，由①可直接得出是的平分线 ；根据角平分线的判定定理可直接由②判定是的平分线 ；根据HL可证得，即可得出是的平分线；由④可根据AAS证明，进一步即可得出是的平分线，综上即可得出答案。
16．【答案】315°
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：观察图形，可得：∠1和∠7所在的三角形全等，∠2和∠6所在的三角形全等，∠3和∠5所在的三角形全等，
∴∠1+∠7=90°，∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°，
∵∠4=45°，
∴ ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= 90°×3+45°=315°
故答案为：315°.
【分析】由SAS判定图中3对全等三角形，从而得出∠1+∠7=90°，∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°，又知∠4=45°，进而得出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= 90°×3+45°=315°。
17．【答案】解：多边形外角和为
结合题意得：这个多边形内角和为
∵多边形内角和为
∴
∴n=11
∴这个多边形的边数为：11.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】结合题意，根据多边形外角和等于 ，得到这个多边形内角和的值；再结合多边形内角和公式，通过求解方程，即可得到答案.
18．【答案】解：∵ △ACF≌△ADE，
∴AF=AE=5，
∴DF=AD-AF=12-5=7.
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据三角形全等，可得出AF=AE=5，进而得出DF=7。
19．【答案】证明：∵ ∠B=42°，
∴∠1+∠A=180°-42°=138°，
∵ ∠A+10°=∠1，
∴∠A=64°，∠1=74°，
∵ ∠ACD=64° ， ∠B=42°，
∴∠B+∠BCD=∠B+∠1 +∠ACD=42°+74°+64°=180°，
∴AB∥CD。
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形内角和定理，可求出∠1的度数，然后再通过计算得出∠B+∠BCD=180°，根据平行线的判定，可得出AB∥CD。
20．【答案】解答：根据三角形的三边关系得： 9－2＜BC＜9＋2， 即7＜BC＜11，
∵BC为偶数，
∴AC＝8或10，
∴△ABC的周长为：9＋2＋8＝19或9＋2＋10＝21．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值，从而求得三角形的周长．
21．【答案】证明：∵ C是AB的中点，
∴AC=CB，
在和中：∵AC=CB， AD=CE， CD=BE ，
∴≌，
∴∠ACD=∠B，
∴CD∥BE。
【知识点】平行线的判定；线段的中点；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】根据中点定义，得出AC=CB，再根据DDD判定≌，从而得出∠ACD=∠B，根据同位角相等，即可得出CD∥BE。
22．【答案】（1）解：如图，DE为∠ADB的平分线；
（2）证明：∵∠ADB是 △ACD的一个外角，
∴∠ADB= ∠DAC +∠C，
∵ ∠C=∠DAC.
∴∠ADB= 2∠C，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADB=2∠BDE，
∴∠C=∠BDE，
∴DE∥AC。
【知识点】平行线的判定；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图法，正确作图即可；
（2）首先根据三角形外角的性质，得出∠ADB= 2∠C，再根据角平分线的定义，得出∠ADB=2∠BDE，进而得出∠C=∠BDE，根据同位角相等，即可得出DE∥AC。
23．【答案】（1）证明：∵ AD∥EB，
∴∠A=∠B，
在 △ACD和△BEC中：
∵ AD=BC，∠A=∠B， AC=BE，
∴ △ACD≌△BEC；
（2）解：CF⊥DE，理由如下：
由（1）知：△ACD≌△BEC，
∴CD=EC，
∵ CF平分∠DCE ，
∴CF⊥DE。
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）首先根据平行线的性质，得出∠A=∠B，然后再根据SAS即可得出△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE，由（1）知△ACD≌△BEC，可得出对应边CD=EC，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出CF⊥DE。
24．【答案】解： AE=AB+DE，
在AE上截取AF=AB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC，
在和中：
∵AB=AF，∠BAC=∠FAC，AC=AC，
∴≌，
∴∠ACB=∠ACF，BC=FC，
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠FCE=90°，
∴∠DCE=∠FCE，
∵点C是BD的中点，
∴BC=DC，
∴FC=DC，
在和中：
∵FC=DC，∠FCE=∠DCE，CE=CE，
∴≌，
∴EF=ED，
∴AE=AF+EF=AB+DE.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】AE=AB+DE，在AE上截取AF=AB，可根据SAS构建≌，从而得出∠ACB=∠ACF，BC=FC，进而再根据SAS证得≌，得出EF=ED，进一步即可得出AE=AB+DE。
25．【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
∴ .
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变.
∵ ，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC， ∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°.
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC不变.
∵ ，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得∠ABQ=∠CAP，AB=CA，由点P、Q运动速度相同得AP=BQ，然后由全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，由三角形外角的性质可得 ∠QMC=∠ACP+∠MAC，据此求解；
（3）由全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，由三角形外角的性质可得∠QMC=∠BAQ+∠APM，据此求解.
广东省广州市白云区两校联考2024-2025学年八年级上学期数学第一次月考试卷
一、选择题(本大题共10小题，共30分
1．（2024八上·广州月考）下列图形中，不是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】[解答】解：A、图案是轴对称图形，故A不符合题意；
B、图案是轴对称图形，故B不符合题意；
C、图案不是轴对称图形，故C符合题意；
D、图案是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义，分别进行识别，即可得出答案。
2．（2024八上·广州月考）已知图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D=50°，
∠C=∠F=72°，
∴∠1=180°-∠F-∠D=180°-72°-50°=58°.
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形的性质可求出∠F，∠D的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠1的度数．
3．（2024八上·广州月考）如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，若CB=CD，且∠1=30°，则∠CAD的度数是( )
A．90° B．60° C．30° D．15°
【答案】C
【知识点】垂线的概念；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：因为 ，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，
∴∠B=∠D=90°，
在Rt和Rt中：
∵CB=CD，AC=AC，
∴Rt≌Rt，
∴ ∠CAD = ∠1=30°。
故答案为：C.
【分析】根据HL证明Rt≌Rt，可得出∠CAD = ∠1=30°。
4．（2024八上·广州月考）一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵三角形三个内角的度数之比是，
∴最大的内角的度数为，
∴这个三角形一定是直角三角形；
故答案为：A．
【分析】根据三角形内角和定理及三个内角的度数之比是，即可得出最大的内角的度数为，即可判断 这个三角形一定是直角三角形。
5．（2024八上·广州月考）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据外角性质“三角形的一个外角等于和它不相同的两个内角之和”得∠1=∠2+60°即可求解．
6．（2024八上·广州月考）如图，已知AB=DE，∠B=∠DEF，下列条件中不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A．∠A=∠D B．AC//DF C．BE=CF D．AC=DF
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A：添加 ∠A=∠D ，满足ASA，可以判定 △ABC≌△DEF ，所以A不符合题意；
B：根据 AC//DF ，可得出∠ACB=∠F，满足AAS，可以判定 △ABC≌△DEF ，所以B不符合题意；
C：根据 BE=CF ，可得出BC=EF，满足SAS，可以判定 △ABC≌△DEF ，所以C不符合题意；
D： AC=DF ，可得出SSA，不能判定 △ABC≌△DEF ，所以D符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据三角形全等的判定，分别进行判断，即可得出答案。
7．（2024八上·广州月考）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（ ）
A．90° B．135° C．270° D．315°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2=360°﹣（∠A+∠B）=360°﹣90°=270°．
故选：C．
【分析】根据四边形内角和为360°可得∠1+∠2+∠A+∠B=360°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠B=90°，进而可得∠1+∠2的和．
8．（2024八上·广州月考）如图，已知点D是△ABC中AC边上的中线，若△ABC的面积是4，则的面积是( )
A．4 B．1 C．2 D．不能确定
【答案】C
【知识点】三角形的面积；线段的中点；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵ 点D是△ABC中AC边上的中线，
∴AC=2CD，
设边AC上的高为：h，可得：S△ABC=，=，
∴=，
∵ △ABC的面积是4，
∴=2.
故答案为：C.
【分析】首先根据中点的定义得出AC=2CD，然后设边AC上的高为：h，根据三角形面积计算公式，可得出=，进而即可得出答案。
9．（2024八上·广州月考）如图，中，，平分，过点D作于E，测得，，则的周长是（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴
∵，平分，
∴，
∵，，
∴的周长，
故答案为：B．
【分析】首先根据角平分线的性质得出，进而根据三角形周长计算定义得出的周长 =BE+BD+DE，再通过等量代换，即可得出答案。
10．（2024八上·广州月考）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.则下列结论中正确的个数( )
①BP平分∠ABC； ②∠ABC+2∠APC=180°；
③∠CAB=2∠CPB；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过点P作PD⊥AC于点D，
∵ ∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P， 且 ，PM⊥BE，PN⊥BF.∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB，
∴PM=PD=PN，
∴BP平分∠ABC；即①正确；
∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，
∴∠PAC=，∠PCA=，
∴∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°--=，
∴ ∠ABC+2∠APC =∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°；即②正确；
∵ BP平分∠ABC； CP平分∠ACF，
∴∠CBP=，∠ACP=，
∴∠CPB=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠CBP-(∠BCA+∠ACP)=180°--∠BCA-=90°--
∵∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB=2（90°--）=2∠CPB；即③正确；
∵ ∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P， 且 ，PM⊥BE，PN⊥BF.PD⊥AC于点D，
∴PM=PD=PN，
在Rt和Rt中：PM=PD，PA=PA，
∴Rt≌Rt，
∴AM=AD，
同理可证：CD=CN，
∴AC=AM+CN，
又∵S△PAC = 12×AC×PD ， S△MAP=12×AM×PM，S△NCP=12×CN×PN ， ∴即④正确。
故答案为：D.
【分析】如图，过点P作PD⊥AC于点D，根据角平分线的性质定理及判定定理可得出①正确；根据三角形相邻内外角之间的关系及角平分线的定义可得出∠PAC=，∠PCA=，进而根据内角和定理可得出∠APC=，进而根据三角形内角和定理可而出 ②∠ABC+2∠APC=180°；根据三角形内角和及角平分线的定义得∠CPB=90°--，再根据三角形内角和定理得出∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB，进一步变形，即可得出 ③∠CAB=2∠CPB； 再根据HL判定Rt≌Rt，得出AM=AD，同理CD=CN，可得AC=AM+CN，在根据角平分线的性质定理，得出PM=PD=PN，进一步根据三角形面积计算公式可得出综上即可得出答案。
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分
11．（2024八上·广州月考）△ABC中，已知∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C的外角的度数是 ．
【答案】110°
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝60°，
∴与∠C相邻的外角度数为：50°+60°＝110°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
故答案为：110°．
【分析】利用三角形外角的性质求解即可。
12．（2024八上·广州月考）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且、已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是 ．
【答案】SSS
【知识点】线段的中点；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD=，AE=，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
在△ADM和△AEM中，
∴△ADM≌△AEM(SSS)，
故答案为：SSS．
【分析】首先根据中点定义及等式的性质，可得出AD=AE，然后再根据“SSS”即可证得△ADM≌△AEM．故而可得出答案。
13．（2024八上·广州月考）如图，AB//CD，BE⊥EF于E，∠B=25°，则∠EFD的度数是 .
【答案】65°
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵ BE⊥EF于E，
∴∠E=90°，
∵∠BGF是的一个外角，
∴∠BGF=∠E+∠B=90°+25°=115°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD+∠BGF=180°，
∴∠EFD=180°-115°=65°。
故答案为：65°.
【分析】根据三角形外角的性质可得出∠BGF=115°，再根据平行线的性质，得出∠EFD=180°-115°=65°。
14．（2024八上·广州月考）直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角的度数是
【答案】35°
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设较小的锐角为x°，则较大锐角为（x+20）°，
根据题意，得：x+x+20=90，
解得：x=35.
故答案为：35°.
【分析】设较小的锐角为x°，则较大锐角为（x+20）°，根据直角三角形两个锐角互余，即可得出x+x+20=90，解方程即可得出答案。
15．（2024八上·广州月考）如图，是内部的一条射线，P是射线上任意一点，．下列条件：，其中能判定是的平分线的有 ．（填序号）
【答案】①②③④
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】
∵，∴是的平分线，故①正确；
∵，
∴是的平分线，故②正确；
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是的平分线，故③正确；
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是的平分线，故④正确；
故答案为：①②③④．
【分析】根据角平分线的定义，由①可直接得出是的平分线 ；根据角平分线的判定定理可直接由②判定是的平分线 ；根据HL可证得，即可得出是的平分线；由④可根据AAS证明，进一步即可得出是的平分线，综上即可得出答案。
16．（2024八上·广州月考）如图所示的4×4的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= .
【答案】315°
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：观察图形，可得：∠1和∠7所在的三角形全等，∠2和∠6所在的三角形全等，∠3和∠5所在的三角形全等，
∴∠1+∠7=90°，∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°，
∵∠4=45°，
∴ ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= 90°×3+45°=315°
故答案为：315°.
【分析】由SAS判定图中3对全等三角形，从而得出∠1+∠7=90°，∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°，又知∠4=45°，进而得出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= 90°×3+45°=315°。
三、解答题(本大题共9小题，共72分
17．（2024八上·广州月考）一个多边形，它的内角和比外角和的 倍多 求这个多边形的边数.
【答案】解：多边形外角和为
结合题意得：这个多边形内角和为
∵多边形内角和为
∴
∴n=11
∴这个多边形的边数为：11.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】结合题意，根据多边形外角和等于 ，得到这个多边形内角和的值；再结合多边形内角和公式，通过求解方程，即可得到答案.
18．（2024八上·广州月考）如图，△ACF≌△ADE，AD=12，AE=5，求DF的长.
【答案】解：∵ △ACF≌△ADE，
∴AF=AE=5，
∴DF=AD-AF=12-5=7.
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据三角形全等，可得出AF=AE=5，进而得出DF=7。
19．（2024八上·广州月考）如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°.求证AB//CD.
【答案】证明：∵ ∠B=42°，
∴∠1+∠A=180°-42°=138°，
∵ ∠A+10°=∠1，
∴∠A=64°，∠1=74°，
∵ ∠ACD=64° ， ∠B=42°，
∴∠B+∠BCD=∠B+∠1 +∠ACD=42°+74°+64°=180°，
∴AB∥CD。
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形内角和定理，可求出∠1的度数，然后再通过计算得出∠B+∠BCD=180°，根据平行线的判定，可得出AB∥CD。
20．（2024八上·广州月考）在△ABC中，AB＝9，AC＝2，并且BC的长为偶数，求△ABC的周长．
【答案】解答：根据三角形的三边关系得： 9－2＜BC＜9＋2， 即7＜BC＜11，
∵BC为偶数，
∴AC＝8或10，
∴△ABC的周长为：9＋2＋8＝19或9＋2＋10＝21．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值，从而求得三角形的周长．
21．（2024八上·广州月考）如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE.求证：CD//BE.
【答案】证明：∵ C是AB的中点，
∴AC=CB，
在和中：∵AC=CB， AD=CE， CD=BE ，
∴≌，
∴∠ACD=∠B，
∴CD∥BE。
【知识点】平行线的判定；线段的中点；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】根据中点定义，得出AC=CB，再根据DDD判定≌，从而得出∠ACD=∠B，根据同位角相等，即可得出CD∥BE。
22．（2024八上·广州月考）如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC.
（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）在上述的条件下，求证：DE//AC.
【答案】（1）解：如图，DE为∠ADB的平分线；
（2）证明：∵∠ADB是 △ACD的一个外角，
∴∠ADB= ∠DAC +∠C，
∵ ∠C=∠DAC.
∴∠ADB= 2∠C，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADB=2∠BDE，
∴∠C=∠BDE，
∴DE∥AC。
【知识点】平行线的判定；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图法，正确作图即可；
（2）首先根据三角形外角的性质，得出∠ADB= 2∠C，再根据角平分线的定义，得出∠ADB=2∠BDE，进而得出∠C=∠BDE，根据同位角相等，即可得出DE∥AC。
23．（2024八上·广州月考）如图，C为线段AB上一点，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE.
（1）求证：△ACD≌△BEC；
（2）判断CF与DE的位置关系 并说明理由.
【答案】（1）证明：∵ AD∥EB，
∴∠A=∠B，
在 △ACD和△BEC中：
∵ AD=BC，∠A=∠B， AC=BE，
∴ △ACD≌△BEC；
（2）解：CF⊥DE，理由如下：
由（1）知：△ACD≌△BEC，
∴CD=EC，
∵ CF平分∠DCE ，
∴CF⊥DE。
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）首先根据平行线的性质，得出∠A=∠B，然后再根据SAS即可得出△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE，由（1）知△ACD≌△BEC，可得出对应边CD=EC，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出CF⊥DE。
24．（2024八上·广州月考）如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点.若AC平分猜想线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系并证明.
【答案】解： AE=AB+DE，
在AE上截取AF=AB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC，
在和中：
∵AB=AF，∠BAC=∠FAC，AC=AC，
∴≌，
∴∠ACB=∠ACF，BC=FC，
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠FCE=90°，
∴∠DCE=∠FCE，
∵点C是BD的中点，
∴BC=DC，
∴FC=DC，
在和中：
∵FC=DC，∠FCE=∠DCE，CE=CE，
∴≌，
∴EF=ED，
∴AE=AF+EF=AB+DE.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】AE=AB+DE，在AE上截取AF=AB，可根据SAS构建≌，从而得出∠ACB=∠ACF，BC=FC，进而再根据SAS证得≌，得出EF=ED，进一步即可得出AE=AB+DE。
25．（2024八上·广州月考）如图1，点P、Q分别是等边 上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M.
（1）求证： ；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数.
【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
∴ .
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变.
∵ ，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC， ∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°.
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC不变.
∵ ，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得∠ABQ=∠CAP，AB=CA，由点P、Q运动速度相同得AP=BQ，然后由全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，由三角形外角的性质可得 ∠QMC=∠ACP+∠MAC，据此求解；
（3）由全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，由三角形外角的性质可得∠QMC=∠BAQ+∠APM，据此求解.
