浙江省杭州市拱墅区区文晖中学2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试题
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
1．（2024八上·拱墅期中）下列图形中，不是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·拱墅期中）以下列各组数为边，能组成三角形的是（ ）
A．1、3、4 B．2、3、4 C．9、4、4 D．3、6、3
3．（2024八上·拱墅期中）一个三角形三个内角的度数之比为 1：2：3，这个三角形一定是 （ ）
A．任意三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
4．（2024八上·拱墅期中）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，这一做法用到三角形全等的判定定方法是（ ）
A． B． C． D．AAS
5．（2024八上·拱墅期中）下列命题是真命题的为（ ）
A．内错角相等 B．周长相等的两个三角形全等
C．若a＝b，则a2＝b2 D．若x2>0，则x>0
6．（2024八上·拱墅期中）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD
7．（2024八上·拱墅期中）已知下列命题：①两点之间线段最短；②全等三角形的对应边相等；③底角相等的两个等腰三角形全等；④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．其中真命题的个数为( )个.
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024八上·拱墅期中）如图，点AB、BC、CA表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在△ABC ( )
A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上
C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上
9．（2024八上·拱墅期中）在Rt△ABC中，AC=18，BC=12，根据如图所示的尺规作图痕迹，可得AD的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
10．（2024八上·拱墅期中）如图，在AB、BC、CD、DE中是四根长度相同的小木棒，A、C、E三点共线，BC⊥CD于点C，若AC=6，CE=8，则一根小木棒的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2024八上·拱墅期中）比大小 ；
12．（2024八上·拱墅期中）要说明命题“若a+b>0，则a>0，b>0”是假命题，则a = ，b= ．
13．（2024八上·拱墅期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ACD=110°，则∠B= °．
14．（2024八上·拱墅期中）写出命题“对顶角相等”的逆命题 ，其逆命题是 命题（填“真”或”假”）．
15．（2024八上·拱墅期中）如图，在△ABC中，，平分，AC=10，AP：PC=3：2，则点P到AB的距离为 .
16．（2024八上·拱墅期中）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=2，则AB边上的高线长为 ．
三、解答题：本题共8小题，共72分.
17．（2024八上·拱墅期中）用不等式表示下列各式：
（1）0大于-1；
（2）a的5倍超过1；
（3）x减去y小于-3；
（4）a的2倍与1的和是正数；
（5）m与n的差不大于0；
（6）x的6倍加上4是非负数.
18．（2024八上·拱墅期中）（1）在Rt△ABC中，，AC =2，BC=3，求AB的长.
（2）在△ABC中，AC =，BC=，AB=3，判断△ABC的形状，并说明理由.
19．（2024八上·拱墅期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的；
（2）直线l把线段 ；
（3）求△ABC的面积；
（4）在直线l上找一点P，使得的长最小．
20．（2024八上·拱墅期中）如图，在△ABC中，，AE是经过点A的一条线段，于点，于点，BD=AE.
（1）求证：△ABD≌△CAE；
证明过程：
∵BD⊥AE，∠BAC=90°
∴∠1+∠3 =90°，∠2+∠3=90°
∴ ▲ (同角的余角相等）
在△ABD和△CAE中，
∵
∴△ABD≌△CAE( )
（2）若CE=3，BD=9，求DE的长．
21．（2024八上·拱墅期中）（1）在等腰△ABC中，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长.
（2）已知在等腰△ABC中，∠ABC的外角为140°，求△ABC的顶角度数.
22．（2024八上·拱墅期中）如图，已知△ABC≌△ADE．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）当∠BED=50°时，求∠AEC的度数．
23．（2024八上·拱墅期中）如图，在△ABC中，、分别是边、上的高线，取的中点为点F，连结DE，DF，取的中点为点G．
（1）求证：；
（2）当∠A＝60°时，求证：△DEF是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，当BC =4时，求FG的长．
24．（2024八上·拱墅期中）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连结FC．
（1）如图1，求证：∠ABE＝∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连结AM．
求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC＝45°时，且AEBC时，求证：BD=2EF．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】[解答】解：A、图案是轴对称图形，故A不符合题意；
B、图案是轴对称图形，故B不符合题意；
C、图案不是轴对称图形，故C符合题意；
D、图案是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义，分别进行识别，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵则本项无法构成三角形，
B、∵则本项可构成三角形，
C、∵则本项无法构成三角形，
D、∵则本项无法构成三角形，
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此逐项分析即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设三角形三个内角分别为
∴
解得：
∴三个角分别为：30°，60°，90°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和定理即可求解.
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由题意知：两个三角形的三边相等，
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据题意可知这两个三角形的三边相等，进而利用"SSS"即可证明三角形全等，进而即可求解.
5．【答案】C
【知识点】等式的基本性质；三角形全等的判定；真命题与假命题；不等式的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：A、当两直线平行，内错角相等，则本项为假命题，
B、两个三角形全等周长相等，则本项为假命题，
C、若a＝b，则a2＝b2，则本项为真命题，
D、当也成立，则本项为假命题，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质、全等三角形的性质和等式不等式的性质即可求解.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D、添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】由于题干给出了 ∠ABC=∠DCB， 图形中有公共边BC=CB，若用AAS判断△ABC≌△DCB，可以添加∠A=∠D；若用ASA判断△ABC≌△DCB，可以添加∠ACB=∠DBC；若用SAS判断△ABC≌△DCB，可以添加AB=DC，据此逐一判断得出答案.
7．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；真命题与假命题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①两点之间线段最短，该项正确；
②全等三角形的对应边相等，该项正确；
③底角和相等的两个等腰三角形全等，该项错误；
④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，该项正确；
综上所述，其中真命题个数为三个，
故答案为：C.
【分析】根据线段的性质、全等三角形的性质和垂直平分线的性质即可求解.
8．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线
【解析】【解答】解：A、三边中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离为到对边中点的两倍，则本项不符合题意；
B、三内角平分线的交点为三角形的内心，到三边的距离相等，则本项符合题意；
C、三条边高的交点为三角形的垂心，则本项不符合题意；
D、三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，则本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】题目要求它到三条公路的距离相等，即其在三条角平分线的交点上，据此即可求解.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由作图可知：ED垂直平分AB，
∴
设则
在中，
∴
解得：
故答案为：A.
【分析】由作图可知：ED垂直平分AB，则设则在中利用勾股定理列出方程：解此方程即可求解.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：作BG⊥AC，DH⊥CE，如图，
∴
∴
∵
∴
∴
在和中
∴
∴
∵
∴
同理：
∴
在中，
故答案为：A.
【分析】作BG⊥AC，DH⊥CE，利用"AAS"证明，则最后利用勾股定理计算即可.
11．【答案】；
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵
故答案为：，.
【分析】根据实数比较大小的法则直接进行比较即可.
12．【答案】2；-1 (答案不唯一）
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当时，但则原命题为假命题，
故答案为：2，-1.
【分析】令时，代入判断即可.
13．【答案】50
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：50.
【分析】利用三角形外角的性质计算即可.
14．【答案】相等的角是对顶角；假
【知识点】对顶角及其性质；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题为：相等的角是对顶角，该逆命题为假命题，
故答案为：相等的角是对顶角，假命题.
【分析】根据逆命题为将原命题的题设和结论交换位置即可写出其逆命题，进而判断即可.
15．【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PH⊥AB，如图，
∵平分，
∴
∵
∴
故答案为：4.
【分析】过点P作PH⊥AB，根据角平分线的性质得到进而根据据此求出CP的长度即可.
16．【答案】1或或
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；分类讨论
【解析】【解答】解：①当时，
∵
∴
②当时，
则
∴
∴
∴
③当时，
则
∴
综上所述，AB边上的高线长为：1或或，
故答案为：1或或.
【分析】根据题意可知需分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，然后分别根据等腰三角形的性质和解直角三角形分别进行计算即可.
17．【答案】（1）解：0>-1
（2）解：5a>1
（3）解：x-y<-3
（4）解：2a+1>0
（5）解：m-n≤0
（6）解：6x+4≥0
【知识点】列不等式
【解析】【分析】（1）直接列出不等式即可；
（2）根据超过就是大于列不等式即可；
（3）直接列出不等式即可；
（4）根据正数大于0列不等式即可；
（5）直接列出不等式即可；
（6）根据非负数为大于等于0的数列不等式即可.
18．【答案】（1）解：
（2）解：△ABC是直角三角形.理由：
∵AC= ，BC=，AB=3
∴
∴△ABC是直角三角形
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）直接根据勾股定理计算即可；
（2）根据勾股定理逆定理即可判断是否为直角三角形.
19．【答案】（1）解：如图，即为所求.
.
（2）解：∵与为轴对称图形，∴直线l把线段垂直平分，故答案为：垂直平分.
（3）解：的面积为：
（4）解：如图，点P即为所求.
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据轴对称图形的性质分别画出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据轴对称图形的性质即可知直线l把线段垂直平分，进而即可求解；
（3）利用割补法即可求解；
（4）连接BC'，与直线l的交点即可.
20．【答案】（1）解：证明过程：
∵BD⊥AE，∠BAC=90°
∴∠1+∠3 =90°，∠2+∠3=90°
∴∠1=∠2 (同角的余角相等）
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS)
（2）解：∵，
∴
∴.
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；余角
【解析】【分析】（1）根据余角的定义得到：然后利用"AAS"证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到：最后根据线段间的数量关系即可求解.
21．【答案】（1）解：解：设等腰三角形的腰长AB=AC=2x cm，底边长BC=y cm
则 或
解得 或 (不合题意， 舍去)
等腰三角形的底边长为 1 cm .
（2）解：∵∠ABC的外角为140°，
∴①若140°的外角是此等腰三角形的顶角的外角，
∴此顶角为：则其底角为：
②若140°的外角是此等腰三角形的底角的外角，
∴此底角为：则其顶角为：
综上所述，的顶角为40°或100°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；二元一次方程组的应用-几何问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）设等腰三角形的腰长AB=AC=2x cm，底边长BC=y cm，根据题意列出方程组 或 解这两个方程组即可求解；
（2）根据题意分两种情况讨论，①若140°的外角是此等腰三角形的顶角的外角，②若140°的外角是此等腰三角形的底角的外角，分别根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可求解.
22．【答案】（1）证明：∵△ABC≌△ADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE∴∠1＝∠2
（2）解：∵△ABC≌△ADE
∴∠AED=∠C，AC=AE
∴∠AEC=∠C
∴∠AED=∠AEC=(180°-50°)=65°
【知识点】等腰三角形的性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质得到：，进而根据角的运算即可求证；
（2）根据全等三角形的性质得到：，则，最后根据等腰三角形的性质即可求解.
23．【答案】（1）证明：∵BD、CE分别是边AC、AB上的高线，
，
∵F是BC的中点，
∵G是ED的中点
（2）证明：∵BD、分别是边、上的高线．
，
是的中点，BC=4，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形
（3）解：是的中点，是等边三角形，，
【知识点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据题意得到：，进而得到：，最后根据等腰三角形三线合一的性质即可求证；
（2）根据题意可得到：，，进而求出，则，最后根据三角形内角和定理求出的度数，进而即可求证；
（3）根据等边三角形的性质得到：，进而利用勾股定理即可求解.
24．【答案】（1）证明：∵平分，，，，
在和中，，，，
，，
（2）证明：如图，在上截取，连结，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，
∵，∴是等边三角形，∴，
∴，
∵，∴为等边三角形；
（3）证明：如图3，延长、交于，
，，，，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，，即，
，
，
在和中，，
，
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到：，再根据题意可得到：然后利用"SAS"证明，则，进而即可求证；
（2）在上截取，连结，根据全等三角形的性质得到：，然后利用"SAS"证明则，再由等边三角形的性质即可证明为等边三角形；
（3）延长、交于，利用"ASA"证明，则，再证明，则进而即可求证.
浙江省杭州市拱墅区区文晖中学2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试题
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
1．（2024八上·拱墅期中）下列图形中，不是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】[解答】解：A、图案是轴对称图形，故A不符合题意；
B、图案是轴对称图形，故B不符合题意；
C、图案不是轴对称图形，故C符合题意；
D、图案是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义，分别进行识别，即可得出答案。
2．（2024八上·拱墅期中）以下列各组数为边，能组成三角形的是（ ）
A．1、3、4 B．2、3、4 C．9、4、4 D．3、6、3
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵则本项无法构成三角形，
B、∵则本项可构成三角形，
C、∵则本项无法构成三角形，
D、∵则本项无法构成三角形，
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此逐项分析即可.
3．（2024八上·拱墅期中）一个三角形三个内角的度数之比为 1：2：3，这个三角形一定是 （ ）
A．任意三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设三角形三个内角分别为
∴
解得：
∴三个角分别为：30°，60°，90°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和定理即可求解.
4．（2024八上·拱墅期中）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，这一做法用到三角形全等的判定定方法是（ ）
A． B． C． D．AAS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由题意知：两个三角形的三边相等，
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据题意可知这两个三角形的三边相等，进而利用"SSS"即可证明三角形全等，进而即可求解.
5．（2024八上·拱墅期中）下列命题是真命题的为（ ）
A．内错角相等 B．周长相等的两个三角形全等
C．若a＝b，则a2＝b2 D．若x2>0，则x>0
【答案】C
【知识点】等式的基本性质；三角形全等的判定；真命题与假命题；不等式的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：A、当两直线平行，内错角相等，则本项为假命题，
B、两个三角形全等周长相等，则本项为假命题，
C、若a＝b，则a2＝b2，则本项为真命题，
D、当也成立，则本项为假命题，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质、全等三角形的性质和等式不等式的性质即可求解.
6．（2024八上·拱墅期中）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D、添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】由于题干给出了 ∠ABC=∠DCB， 图形中有公共边BC=CB，若用AAS判断△ABC≌△DCB，可以添加∠A=∠D；若用ASA判断△ABC≌△DCB，可以添加∠ACB=∠DBC；若用SAS判断△ABC≌△DCB，可以添加AB=DC，据此逐一判断得出答案.
7．（2024八上·拱墅期中）已知下列命题：①两点之间线段最短；②全等三角形的对应边相等；③底角相等的两个等腰三角形全等；④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．其中真命题的个数为( )个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；真命题与假命题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①两点之间线段最短，该项正确；
②全等三角形的对应边相等，该项正确；
③底角和相等的两个等腰三角形全等，该项错误；
④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，该项正确；
综上所述，其中真命题个数为三个，
故答案为：C.
【分析】根据线段的性质、全等三角形的性质和垂直平分线的性质即可求解.
8．（2024八上·拱墅期中）如图，点AB、BC、CA表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在△ABC ( )
A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上
C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线
【解析】【解答】解：A、三边中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离为到对边中点的两倍，则本项不符合题意；
B、三内角平分线的交点为三角形的内心，到三边的距离相等，则本项符合题意；
C、三条边高的交点为三角形的垂心，则本项不符合题意；
D、三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，则本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】题目要求它到三条公路的距离相等，即其在三条角平分线的交点上，据此即可求解.
9．（2024八上·拱墅期中）在Rt△ABC中，AC=18，BC=12，根据如图所示的尺规作图痕迹，可得AD的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由作图可知：ED垂直平分AB，
∴
设则
在中，
∴
解得：
故答案为：A.
【分析】由作图可知：ED垂直平分AB，则设则在中利用勾股定理列出方程：解此方程即可求解.
10．（2024八上·拱墅期中）如图，在AB、BC、CD、DE中是四根长度相同的小木棒，A、C、E三点共线，BC⊥CD于点C，若AC=6，CE=8，则一根小木棒的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：作BG⊥AC，DH⊥CE，如图，
∴
∴
∵
∴
∴
在和中
∴
∴
∵
∴
同理：
∴
在中，
故答案为：A.
【分析】作BG⊥AC，DH⊥CE，利用"AAS"证明，则最后利用勾股定理计算即可.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2024八上·拱墅期中）比大小 ；
【答案】；
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵
故答案为：，.
【分析】根据实数比较大小的法则直接进行比较即可.
12．（2024八上·拱墅期中）要说明命题“若a+b>0，则a>0，b>0”是假命题，则a = ，b= ．
【答案】2；-1 (答案不唯一）
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当时，但则原命题为假命题，
故答案为：2，-1.
【分析】令时，代入判断即可.
13．（2024八上·拱墅期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ACD=110°，则∠B= °．
【答案】50
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：50.
【分析】利用三角形外角的性质计算即可.
14．（2024八上·拱墅期中）写出命题“对顶角相等”的逆命题 ，其逆命题是 命题（填“真”或”假”）．
【答案】相等的角是对顶角；假
【知识点】对顶角及其性质；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题为：相等的角是对顶角，该逆命题为假命题，
故答案为：相等的角是对顶角，假命题.
【分析】根据逆命题为将原命题的题设和结论交换位置即可写出其逆命题，进而判断即可.
15．（2024八上·拱墅期中）如图，在△ABC中，，平分，AC=10，AP：PC=3：2，则点P到AB的距离为 .
【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PH⊥AB，如图，
∵平分，
∴
∵
∴
故答案为：4.
【分析】过点P作PH⊥AB，根据角平分线的性质得到进而根据据此求出CP的长度即可.
16．（2024八上·拱墅期中）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=2，则AB边上的高线长为 ．
【答案】1或或
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；分类讨论
【解析】【解答】解：①当时，
∵
∴
②当时，
则
∴
∴
∴
③当时，
则
∴
综上所述，AB边上的高线长为：1或或，
故答案为：1或或.
【分析】根据题意可知需分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，然后分别根据等腰三角形的性质和解直角三角形分别进行计算即可.
三、解答题：本题共8小题，共72分.
17．（2024八上·拱墅期中）用不等式表示下列各式：
（1）0大于-1；
（2）a的5倍超过1；
（3）x减去y小于-3；
（4）a的2倍与1的和是正数；
（5）m与n的差不大于0；
（6）x的6倍加上4是非负数.
【答案】（1）解：0>-1
（2）解：5a>1
（3）解：x-y<-3
（4）解：2a+1>0
（5）解：m-n≤0
（6）解：6x+4≥0
【知识点】列不等式
【解析】【分析】（1）直接列出不等式即可；
（2）根据超过就是大于列不等式即可；
（3）直接列出不等式即可；
（4）根据正数大于0列不等式即可；
（5）直接列出不等式即可；
（6）根据非负数为大于等于0的数列不等式即可.
18．（2024八上·拱墅期中）（1）在Rt△ABC中，，AC =2，BC=3，求AB的长.
（2）在△ABC中，AC =，BC=，AB=3，判断△ABC的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：
（2）解：△ABC是直角三角形.理由：
∵AC= ，BC=，AB=3
∴
∴△ABC是直角三角形
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）直接根据勾股定理计算即可；
（2）根据勾股定理逆定理即可判断是否为直角三角形.
19．（2024八上·拱墅期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的；
（2）直线l把线段 ；
（3）求△ABC的面积；
（4）在直线l上找一点P，使得的长最小．
【答案】（1）解：如图，即为所求.
.
（2）解：∵与为轴对称图形，∴直线l把线段垂直平分，故答案为：垂直平分.
（3）解：的面积为：
（4）解：如图，点P即为所求.
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据轴对称图形的性质分别画出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据轴对称图形的性质即可知直线l把线段垂直平分，进而即可求解；
（3）利用割补法即可求解；
（4）连接BC'，与直线l的交点即可.
20．（2024八上·拱墅期中）如图，在△ABC中，，AE是经过点A的一条线段，于点，于点，BD=AE.
（1）求证：△ABD≌△CAE；
证明过程：
∵BD⊥AE，∠BAC=90°
∴∠1+∠3 =90°，∠2+∠3=90°
∴ ▲ (同角的余角相等）
在△ABD和△CAE中，
∵
∴△ABD≌△CAE( )
（2）若CE=3，BD=9，求DE的长．
【答案】（1）解：证明过程：
∵BD⊥AE，∠BAC=90°
∴∠1+∠3 =90°，∠2+∠3=90°
∴∠1=∠2 (同角的余角相等）
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS)
（2）解：∵，
∴
∴.
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；余角
【解析】【分析】（1）根据余角的定义得到：然后利用"AAS"证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到：最后根据线段间的数量关系即可求解.
21．（2024八上·拱墅期中）（1）在等腰△ABC中，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长.
（2）已知在等腰△ABC中，∠ABC的外角为140°，求△ABC的顶角度数.
【答案】（1）解：解：设等腰三角形的腰长AB=AC=2x cm，底边长BC=y cm
则 或
解得 或 (不合题意， 舍去)
等腰三角形的底边长为 1 cm .
（2）解：∵∠ABC的外角为140°，
∴①若140°的外角是此等腰三角形的顶角的外角，
∴此顶角为：则其底角为：
②若140°的外角是此等腰三角形的底角的外角，
∴此底角为：则其顶角为：
综上所述，的顶角为40°或100°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；二元一次方程组的应用-几何问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）设等腰三角形的腰长AB=AC=2x cm，底边长BC=y cm，根据题意列出方程组 或 解这两个方程组即可求解；
（2）根据题意分两种情况讨论，①若140°的外角是此等腰三角形的顶角的外角，②若140°的外角是此等腰三角形的底角的外角，分别根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可求解.
22．（2024八上·拱墅期中）如图，已知△ABC≌△ADE．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）当∠BED=50°时，求∠AEC的度数．
【答案】（1）证明：∵△ABC≌△ADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE∴∠1＝∠2
（2）解：∵△ABC≌△ADE
∴∠AED=∠C，AC=AE
∴∠AEC=∠C
∴∠AED=∠AEC=(180°-50°)=65°
【知识点】等腰三角形的性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质得到：，进而根据角的运算即可求证；
（2）根据全等三角形的性质得到：，则，最后根据等腰三角形的性质即可求解.
23．（2024八上·拱墅期中）如图，在△ABC中，、分别是边、上的高线，取的中点为点F，连结DE，DF，取的中点为点G．
（1）求证：；
（2）当∠A＝60°时，求证：△DEF是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，当BC =4时，求FG的长．
【答案】（1）证明：∵BD、CE分别是边AC、AB上的高线，
，
∵F是BC的中点，
∵G是ED的中点
（2）证明：∵BD、分别是边、上的高线．
，
是的中点，BC=4，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形
（3）解：是的中点，是等边三角形，，
【知识点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据题意得到：，进而得到：，最后根据等腰三角形三线合一的性质即可求证；
（2）根据题意可得到：，，进而求出，则，最后根据三角形内角和定理求出的度数，进而即可求证；
（3）根据等边三角形的性质得到：，进而利用勾股定理即可求解.
24．（2024八上·拱墅期中）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连结FC．
（1）如图1，求证：∠ABE＝∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连结AM．
求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC＝45°时，且AEBC时，求证：BD=2EF．
【答案】（1）证明：∵平分，，，，
在和中，，，，
，，
（2）证明：如图，在上截取，连结，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，
∵，∴是等边三角形，∴，
∴，
∵，∴为等边三角形；
（3）证明：如图3，延长、交于，
，，，，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，，即，
，
，
在和中，，
，
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到：，再根据题意可得到：然后利用"SAS"证明，则，进而即可求证；
（2）在上截取，连结，根据全等三角形的性质得到：，然后利用"SAS"证明则，再由等边三角形的性质即可证明为等边三角形；
（3）延长、交于，利用"ASA"证明，则，再证明，则进而即可求证.
