2024-2025 学年浙江省台州市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.袋子中有 5 个大小质地完全相同的球，其中 2 个红球，3 个黄球，从中随机摸出 1 个球，则摸到红球的
概率为( )
A. 2 35 B. 5 C.
6 19
25 D. 25
2.已知平面向量 = (2,3)， = ( 3,4)，则 2 =( )
A. (1,2) B. (1, 2) C. (7,2) D. (7, 2)
3.已知数据 1， 2， ， 10的平均数为 5，数据 1， 2， ， 8的平均数为 6，则数据 1， 2，…， 10， 1，
2，…， 8的平均数为( )
A. 11 492 B. 5 C. 6 D. 9
4.已知事件 与 相互独立，且 ( ) = 0.7， ( ) = 0.8，则 ( ∪ ) =( )
A. 0.8 B. 0.5 C. 0.56 D. 0.94
5.在空间中，直线 1 ⊥直线 2，直线 3， 4满足： 3 ⊥ 1， 3 ⊥ 2， 4 ⊥ 1， 4 ⊥ 2，则直线 3， 4位置关系为( )
A.垂直 B.平行 C.相交 D.异面
6.在棱长均相等的正四棱锥 中， 是棱 的中点，则 与 所成角的余弦值为( )
A. 510 B.
9
10 C.
3 5
6 D. 6
7.已知虚数 1， 2是方程 3 + 2 = 0 的两个不同的根，则下列说法正确的是( )
A. 1 = 1 B. | 1| = 2 C. 21 + 2 = 0 D. 1 + 2 = 1
8.已知正方体 1 1 1 1的边长为 1， 为 1上的动点， ， 分别是面 和面 1 1上的动点，
则 + + 的最小值为( )
A. 1 + 2 B. 1 + 32 2 C. 2 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数 1， 2， 1 + 2在复平面内对应的点分别为 ， ， ，其中 为坐标原点，则下列选项正确的是( )
A. = + B. | 1 + 2| ≤ | 1| + | 2|
C. | 1 2| = | 1|| 2| D.若 ⊥ ，则 1 2 = 0
10.在对某高中学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样
本数据，只知道抽取了高一 80 人，高二 60 人，高三 60 人，方差分别为 15，10，12，则此样本的方差不
可能为( )
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A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
11.已知在△ 中， 的长为 2，△ 的面积为 2，则下列命题正确的是( )
A. △ 外接圆面积的最小值为
B. 5+1 的最大值为 2
C. △ 5 1内切圆的半径的最大值为 2
D.若△ 5+1的内角满足 = 2，则 = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，各射击一次，且两个人的射击结果互不影响，若甲中靶的概率为
2 3
3，乙中靶的概率为5，则两人都中靶的概率为______．
13.已知平面向量| | = | | = 1 ，且 与 的夹角为3，若 ∈ ，则| +
|的最小值为______．
14 4.已知圆锥的母线长为 2，内切球的表面积为3 ，则圆锥的底面半径为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知平面向量| | = 1，| | = 2， 与 的夹角为4．
(1)求(2 + ) ( 2 )的值；
(2)当实数 为何值时，( + 2 ) ⊥ ( )．
16.(本小题 15 分)
从某小区抽取 100 户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在 50～350 之间，进行恰当
分组后(最后一组为闭区间，其余各组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中 的值；
(2)试估计该小区用户月用电量的平均数．
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17.(本小题 15 分)
已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .给出如下三个条件：
= 2 ① 2 ；
② + = ；
+
③ = + 3 ；
从这三个条件中任选一个作为△ 满足的条件，完成以下问题：
(1)求角 的大小；
(2)若△ 的面积为 3.角 的内角平分线交边 于 ，且 = 3，试判断△ 的形状并证明．
18.(本小题 17 分)
如图，在三棱锥 中，点 在平面 的射影为 ， ⊥ ， ⊥ ，∠ = 60°，二面角 ，
的大小分别为 60°，45°，且 = 2 + 3．
(1)证明： ⊥ ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值；
(3)求三棱锥 的体积．
19.(本小题 17 分)
已知集合 = { | = ( 1, 2, , )}( ≥ 2).对于 = ( 1, 2, , )， = ( 1, 2, , ) ∈ ，给出如下定义：
① 与 之间的第一距离 1( , ) =
=1 | |；
② 与 之间的第二距离 2( , ) =
=1 (
2
) ．
(1)当 = 2 时， (0,0)，若 1( , ) = 2( , ) = 1，求 ；
(2)当 = 2 时，若 1( , ) = 1，求 2( , )的取值范围；
(3)若 ， ， ∈ ，问：“ 1( , ) = 1( , ) + 1( , )”是“ 2( , ) = 2( , ) + 2( , )”的什么条
件，并证明．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.25
13. 32
14.1 3+ 33或 6
15.(1)已知平面向量| | = 1，| | = 2， 与 的夹角为4，
则 = | || |cos 4 = 1，
2
所以(2 + ) ( 2 ) = 2 2 3 2 = 2 3 4 = 5．
(2)由( + 2 ) ⊥ ( )，
2 2
则( + 2 ) ( ) = + (2 1) 2 ，
= + 2 1 4 = 0，
所以 = 53．
16.(1)根据频率分布直方图的性质可知，小长方形面积和为 1，
故(0.0012 + 0.0024 + 0.0036 + + 0.006 + 0.0024) × 50 = 1，解得 = 0.0044；
(2) 50+100 100+150 150+200根据题意可知，居民月用电量的平均数为 2 × 0.0024 × 50 + 2 × 0.0036 × 50 + 2 ×
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0.006 × 50
+ 200+250 250+3002 × 0.0044 × 50 + 2 × 0.0024 × 50 +
300+350
2 × 0.0012 × 50 = 186．
17.(1) 2 2 选①，根据题意可知， = 2 ，得 = 2 ，
即 2 = 2 ，故 2 = 2 ( + ) ，
则 2 = 2( + ) ，
化简得 2 = ，∵ ∈ (0, )，∴ ≠ 0，
= 1 = 故 2，则解得 3；
选②，由已知得sin2 = cos2 cos2 = sin2 sin2 ，
根据正弦定理可得 2 = 2 2，即 = 2 + 2 2，
2+ 2 2 1
根据余弦定理得 = 2 = 2，解得 = 3；
+
选③，由已知得 = + 3 ，
即 + = + 3 ，
∴ sin( + ) + = + 3 ，
化简得 + + = + 3 ，
则 + = 3 ，
∵ ∈ (0, )，∴ ≠ 0，
化简得 + 1 = 3 ，即 3 = 1，得 sin( 6 ) =
1
2，
又 5 6 ∈ ( 6 , 6 )，∴
6 = 6，解得 = 3；
(2) ∵ = 1△ 2 =
1
2
3
2 = 3，故解得 = 4，
又∵ 1 1 △ = △ + △ = 2 sin 2 + 2 sin 2
= 14 ( + ) =
3
4 ( + ) = 3，故解得 + = 4，
∴解得 = = 2，∴△ 是等边三角形．
18.(1)证明：因为 ⊥面 ，
所以 ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ，
所以 ⊥面 ，又 面 ，
所以 ⊥ ；
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(2)因为点 在平面 的射影为 ，又 面 ，所以 ⊥ ，
又易知 ⊥ ，且 ∩ = ，
所以 ⊥面 ，又 面 ，
所以 ⊥ ，所以 是△ 的垂心，
如图，设 ⊥ 于点 ， ⊥ 于 ，
则二面角 ， 的平面角分别为∠ = 60°，∠ = 45°，
设 = = ，则 = 3 ， = ，则3 = 2 ，
因为∠ = 60°，所以∠ = 30°，所以 = 2 ， = 3 ，
所以 = 2 + 2 = 2 + 4 2 = 5 ，
又 ⊥面 ，所以 与面 所成角为∠ ，
所以 sin∠ = = 5 =
5
；
5
(3)因为 = + = (2 + 3 ) ，且∠ = 60°，3
(2+ 3所以 ) = 3 2 3+1 ，3 = 3
所以 = 2 = 4 3+2 ，3
所以 = = 4 3+2 3 = 3+23 3 ，
所以 = 2 = 2( 3+2) ，又3 = 2 + 3，
所以2( 3+2) = 2 + 3，故解得 =
3
3 2
．
1 1
所以三棱锥 的体积为 = 3 2 =
15
8 + 3．
| | + | | = 1,
19.(1) 1 2由定义可知 21 + 22 = 1.
1 = 1, 1 = 1, 1 = 0, = 0,故 = 0,或 = 0, 或 或
1
2 2 2 = 1, 2 = 1.
即 = (1,0)，或( 1,0)，或(0,1)，或(0, 1)．
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(2)因为 = 2 时， 1( , ) = 1，
所以| 1 1| + | 2 2| = 1．
令 = | 1 1|， = | 2 2|，则 = 1 ，
则 2( , ) = 2 + 2 = 2 + (1 )2 = 2 2 2 + 1 = 2(
1 2 1
2 ) + 2，
2
由 ∈ [0,1]，得 2 ∈ [ 2 , 1]．
(3)“ 1( , ) = 1( , ) + 1( , )”是“ 2( , ) = 2( , ) + 2( , )”的必要不充分条件，证明如下：
先证明：当 2( , ) = 2( , ) + 2( , )成立时，则 1( , ) = 1( , ) + 1( , )成立．
记 = ， = ，
则 2( , ) +
2
2( , ) = =1 +
2
=1 ， 2( , ) =
2
=1 ( + ) ，
由 2( , ) = 2( , ) + 2( , )，两边平方可得：
2 2 2 2 2 2 =1 + =1 + 2 ( =1 =1 ) = =1 ( + + 2 )，
故 ( 2 =1
2
=1 ) = =2 ( )，
两边平方可得 2 2 2 =1 =1 = [ =2 ( )] ．
由柯西不等式等号成立的条件可知 = ( = 1,2, , )，
此时( )可以化简为 ( 2 =1 )( =1
2
) =
2
=1 = =1 ，
故 ≥ 0(否则上式左边非负，右边为负数，矛盾)．
故对任意的 1 ≤ ≤ ，| | + | | = | | + | | = (1 + )| | = |(1 + ) | = | + |，
即 1( , ) + 1( , ) =
=1 | | + =1 | | = =1 | + | = 1( , )．
再说明：当 1( , ) = 1( , ) + 1( , )成立时， 2( , ) = 2( , ) + 2( , )不一定成立．
设 (0,0, …, 0), (1, 0, ,0 1 个 0), (1,1, 0, ,0 2 个 0)，
则 1( , ) = 2， 1( , ) = 1( , ) = 1， 2( , ) = 2， 2( , ) = 2( , ) = 1，
所以 1( , ) = 1( , ) + 1( , )，但 2( , ) ≠ 2( , ) + 2( , )．
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