第二章 一元二次函数、方程和不等式（综合测试卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若a＞b，则下列结论正确的是( )
A.ac2＞bc2 B.a2＞b2
C.|a|＞|b| D.a＋c＞b＋c
2.已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若1
A.a－b<0 B.0<<1
C.< D.ab>a＋b
5.不等式2x＋3－x2＞0的解集是( )
A.{x|－3＜x＜1} B.{x|－1＜x＜3}
C.{x|1≤x＜3} D.
6.已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是( )
A. B.3
C. D.1
7.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a的取值范围应是( )
A.90
A. B.－ C. D.－
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9.若x＞y＞0，则下列不等式成立的是( )
A.x2＞y2 B.－x＞－y
C.＜ D.＜
10.3＋5x－2x2>0的充分不必要条件是( )
A.－
A.ab有最大值 B.＋有最小值
C.＋有最小值4 D.a2＋b2有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上．
12.给出四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0．能推得＜成立的是________(填序号)
13.正实数a，b满足＋＝1，则a＋4b的最小值为________
14.已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对一切x∈R 恒成立，求a的取值范围．
16.（14分）设a＞0，b＞0，比较＋ 与 ＋的大小．
17.（16分）已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．
18.（16分）解关于x的不等式：ax2＋(1－a)x－1＞0(a＜0)．
19.（18分）中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设．目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6)．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元(a＞0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
参考答案及解析：
一、单选题
1.D 解析：对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，A错误；对于B，当a＝1，b＝－1时，a2＝b2，B错误；对于C，当a＝1，b＝－1时，|a|＝|b|，C错误；对于D，由于a＞b，所以a＋c＞b＋c，D正确．故选D．
2.A 解析：由a＞6，得a2＞36，所以“a＞6”是“a2＞36”的充分条件；由a2＞36，得a＞6或a＜－6，所以“a＞6”不是“a2＞36”的必要条件，故“a＞6”是“a2＞36”的充分不必要条件．故选A．
3.C 解析：∵－4
5.B 解析：因为2x＋3－x2＞0，所以x2－2x－3＜0，方程x2－2x－3＝0的根为－1，3，所以不等式的解集为{x|－1＜x＜3}．故选B．
6.B 解析：由题意得y＝，∴2x＋y＝2x＋＝＝≥3，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．
7.A 解析：设每个涨价x元，则y表示涨价后的利润与原利润之差，
则y＝(10＋x)(400－20x)－10×400＝－20x2＋200x.
要使商家利润有所增加，则必须使y＞0，即x2－10x＜0，得0＜x＜10.
∴售价a的取值范围为90
二、多选题
9.AC 解析：对于A，当x＞y＞0时，x2＞y2，A成立；对于B，当x＞y＞0时，－x＜－y，B不成立；对于C，当x＞y＞0时，＞，即＜，C成立；对于D，－＝＝，∵x＞y＞0，∴x－y＞0，∴－＞0，即＞，D不成立．故选AC．
10.BC 解析：由3＋5x－2x2>0得－
11.AC 解析：∵a>0，b>0，且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，∴ab有最大值，∴A正确；(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋(a＋b)＝2，∴0<＋≤，∴B错误；＋＝＝≥4，∴＋有最小值4，∴C正确；∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，且ab≤，
∴a2＋b2≥1－2×＝，∴a2＋b2的最小值是，∴D错误．故选AC．
三、填空题
12.答案：①②④ 解析：＜?＜0，所以①②④能使它成立．
13.答案：
解析：由题得a＋4b＝(a＋4b)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当a＝b＝时，取等号，所以a＋4b的最小值为．
14.答案：
解析：由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝．由x2≥0，可得y2∈(0，1]，则x2＋y2＝＋y2＝＝≥×2＝，当且仅当y2＝，x2＝，可得x2＋y2的最小值为．
四、解答题
15.解：①当a＝0时，1≥0恒成立，因此a＝0适合；
②当a≠0时，要使不等式ax2＋2ax＋1≥0对一切x∈R恒成立，则
解得0＜a≤1．
综上所述，a的取值范围是{a|0≤a≤1}．
16.解：因为a＞0，b＞0，所以＋＝＋．
根据均值不等式可得＋≥2，①
＋≥2，②
当且仅当a＝b时，取等号．
由①＋②，得＋＋ ＋≥2（ ＋），即＋≥ ＋．
17.解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
又x>0，y>0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64．
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，∵x＞0，y＞0
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18．
当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18．
18.解：ax2＋(1－a)x－1＞0可得(ax＋1)(x－1)＞0，即(x－1)＜0.
当－＜1时，即a＜－1时，不等式的解为－＜x＜1，
当－＞1时，即－1＜a＜0，不等式的解为1＜x＜－，
当－＝1时，即a＝－1时，不等式的解集为 .
综上所述，当a＜－1时，不等式的解集为；
当－1＜a＜0时，不等式的解集为；当a＝－1时，不等式的解集为 .
19.解：(1)设甲工程队的总造价为y元，
则y＝3＋7 200＝900＋7 200(2≤x≤6)，
900＋7 200≥900×2＋7 200＝14 400，
当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立，
∴当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14 400元．
(2)由题意可得，当2≤x≤6时，900＋7 200＞恒成立，即＞，
∴a＜＝(x＋1)＋＋6．
又∵x＋1＋＋6≥2＋6＝12，当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，
∴a的取值范围为{a|0＜a＜12}．
