2024-2025 学年四川省泸州市合江中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1+ .设复数 = ，则 的共轭复数为( )
A. 1 B. 1 + C. 1 D.
2.若向量 = (1,2)， = ( 4,2)，则| | =( )
A. 2 5 B. 5 C. 20 D. 25
3.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = 3, = 3 2, = 45°，则 =( )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 30°或 150°
4 .为了得到函数 = 3 (2 + 6 )的图象．只需把函数 = 3 的图象上所有点的( )
A. 1 横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移6
B. 1 横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移12
C. 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移6
D. 1 横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移12
5.已知 ， ∈ (0, )，且 = 1 47， = 5，则 + =( )
A. 3 2 4 B. 4 C. 6 D. 3
6.如图，在△ 中， 在线段 上，满足 2 = 1， 为线段 上一点，且 = + 3 ，则 的值
为( )
A. 13
B. 79
C. 23
D. 29
7 1 .已知函数 ( ) = sin( 2 6 )，则结论正确的是( )
A. ( ) 5 的图像关于点( 3 , 0)中心对称 B. ( )的图像关于直线 = 3对称
C. ( )在区间( , )内有 2 个零点 D. ( )在区间[ 2 , 0]上单调递增
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8.如图，摩天轮的半径为 40 ，摩天轮的中心点 距地面的高度为 50
摩天轮做匀速转动，每 36 转一圈，摩天轮上点 的起始位置在最
低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点 距离地面超过 70 的时长为( )
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 是虚数单位，下列说法正确的是( )
A.若复数 1 = 3 + 4 ， 2 = 3+ 4 ，则 1 > 2
B. 1 3 若复数 = 1+ ，则复数 的虚部等于 2
C.若复数 = 2 4+ (2 ) ( ∈ )为纯虚数，则 = 2
D. 5 =
10.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列结论正确的是( )
A.若 > ，则 >
B.若 = ，则△ 是等腰三角形
C.若 = ，则△ 是直角三角形
D.若△ 为锐角三角形，则 >
11.已知函数 ( ) = | | + 2 ，则( )
A.对于任意的 ， ( )均为偶函数
B.当 = 1 时， ( )的最小正周期为
C.当 ≤ 1 时， ( ) ≥ 0
D. 2 8 当 > 1 时， ( )在( , )上有 12 个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (1,2)， = ( 3, )，若 // ，则实数 = ______．
13.复数 满足| | = 1，则| 2 |的最大值为______．
14.已知锐角△ 中，内角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，且满足： 2 2 = 0，则角 的取值
范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知 与 是平面内的两个向量，| | = 2，| | = 1， 与 的夹角为4．
(1)求 ；
(2)求| + 2 |；
(3)在平面直角坐标系下，若 = (1,0)，求 在 方向上的投影向量的坐标．
16.(本小题 15 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 2 = 2 + 2 ．
(1)求 ；
(2)若 = 2, + = 2，求△ 的面积．
17.(本小题 15 分)
如图，已知 ( ) = 2 2 + 2 3 + ( > 0)的图象与 轴的交点为(0, 1)，它在 轴右侧
的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为( , 2)和( 0 + 2 , 2)．
(1)求函数 = ( )的解析式；
(2)已知 ( 2 ) = 1, ∈ (0,
4 3
2 )，角 的终边与单位圆交于点 ( 5 , 5 )，求 cos( )的值．
18.(本小题 17 分)
成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然
成为成都新的城市名片.成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长 200 米的直线绿道 一侧规划一
个三角形区域 做绿化，如图，已知∠ = 3，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角
形．
(1)若 = 100 米，求 的长；
(2)绿化完成后，某游客在绿道 的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从 到 ，再从 到 ，然后
从 到 ，最终返回 点拍照.已知∠ = 3，求游客所走路程的最大值．
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19.(本小题 17 分)
定义：非零向量 = ( , )的“特征三角函数”为 ( ) = + ，向量 称为函数 ( )的“特征向
量”．
(1)若 ( ) = 2 ( + 3 ) + 4 (
6 )，求 ( )的“特征向量” 的坐标；
(2)设向量 = (3, 4)的“特征三角函数”为 ( )，若关于 的方程 ( ) + = 0 在[0, ]上有两个不同的实
根，求 的取值范围；
(3)设向量 = ( , )的“特征三角函数”为 ( )，若函数 ( ) = ( ) + 2 的最小值不小于 2，求 的取
值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 6
13. 5
14.( , 6 4 )
15.解：(1) = | || |cos , = 2 × 1 × cos 4 = 1；
2
(2)因为| + 2 |2 = 2 + 4 + 4 = 2 + 4 + 4 = 10，
所以| + 2 | = 10；
(3) 在 方向上的投影向量为 2 =
1 = 1 = (1,0)．| |
16.(1)因为 2 = 2 + 2 ，
2 2 2
则 = + 12 = 2，
则 = 3．
(2)由 2 = 2 + 2 得， 2 = ( + )2 3 ，
因 = 2, + = 2 2 = 4 3 = 2，则 ，即 3，
故 1 1 2 3 3△ = 2 = 2 × 3 × 2 = 6 ．
17.解：(1) ( ) = 2 2 + 2 3 +
= (2 2 1) + 3 2
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= 2 + 3 2
= 2 (2 6 )，
因为图象与 轴的交点为(0, 1)，
2 ( 所以 6 ) = = 1，即 = 1，
它在 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为( , 2)和( 0 + 2 , 2)，
则 = 2 × 2 = ，即 = 1， ( ) = 2 (2
6 )；
(2) 因为 ( 2 ) = 1, ∈ (0,
2 )，
sin( 1 所以 6 ) = 2，即 = 3，
4
角 的终边与单位圆交于点 ( 5 ,
3 ) cos = 45 ，即 5，sin =
3
5，
则 cos( ) = + = 12 ×
4 + 35 2 ×
3
5 =
4+3 3
10 ．
18.(1)在△ 中， = 100 ， = 200 ，∠ = 3，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 × 3
= 1002 + 2002 200 × 200 × 12 = 30000，
所以 = 100 3米；
(2)因为∠ = 3，
在△ 中，可得∠ ∈ (0, 2 3 )，
记∠ = ，
由正弦定理得sin∠ = sin∠ = sin∠ ，
200
即 3 = sin = 2 ，sin( 3 )2
= 400 3 400 3可得 3 ， = 3 sin(
2
3 )，
所以 + 2 = 400 3 2 3 [sin( 3 ) + 2 ]
400 3 5 3
= 3 (2 + 2 )
= 400 213 sin( + )，
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其中 = 32 7 , =
5
2 7，
所以当 sin( + ) = 1 时， + 2 400 21的最大值为 3 米．
400 21
即游客所走路程的最大值为 3 米．
19.解：(1)根据题意可得：
函数 ( ) = 2 ( + 3 ) + 4 (
6 ) = 2( 3 +
3 ) + 4( 6 + 6 )
= + 3 + 2 3 + 2 = 3 + 3 3 ，
那么函数 ( )的“特征向量” = (3,3 3)．
(2) ( ) = 3 4 = 5 ( ) = 4 (0 < < 根据题意可得函数 ，其中 5 2 ).
由于 ( ) + = 0 在[0, ]上有两个不同的实根，
因此 = ( )在[0, ]上有两个不同的实根．
当 ∈ [0, ]时， ∈ [ , ]，
那么 ( ) 在[ 2 + , ]上单调递减，在[0, 2 + )上单调递增，
由于 (0) = 4， ( ) = 4 ， ( 2 + ) = 5，
因此 4 ≤ < 5，即 5 < ≤ 4．
(3)根据题意可得函数 ( ) = + + 2 ．
设函数 = + = 2sin( + 4 ) ∈ [ 2, 2]，
那么 2 = 2 1，因此函数 ( ) = 2 + 1( 2 ≤ ≤ 2).
当 2 ≤ 2，即 ≥ 2 2时，函数 ( )在[ 2, 2]上单调递增，
那么 ( ) = ( 2) = 2 + 1 ≥ 2
3 2
，所以 ≤ 2 ，
由于 ≥ 2 2，因此 ∈ ；
当 2 < 2 < 2，即 2 2 < < 2 2时，
( ) ( 函数 在 2 , 2]
上单调递增，在[ 2, 2 ]上单调递减，
2
那么 ( ) = ( 2 ) =
4 1 ≥ 2，解得 2 ≤ ≤ 2；
当 2 ≥ 2，即 ≤ 2 2时，函数 ( )在[ 2, 2]上单调递减，
3 2
则 ( ) = ( 2) = 2 + 1 ≥ 2，解得 ≥ 2 ，
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因为 ≤ 2 2，所以 ∈ ．
综上， 的取值范围是[ 2,2]．
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