专题06 万有引力与航天
01 万有引力与航天的基本定律和概念
一、开普勒三大定律
定 律 内 容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 ,是一个与行星无关的常量
注意：开普勒行星运动定律的深入理解
（1）行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
（2）由开普勒第二定律可得，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
（3）当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律．
（4）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体质量有关
【跟踪训练】
（2025·云南·高考真题）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（ ）
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．金星与地球的公转轨道之间 B．地球与火星的公转轨道之间
C．火星与木星的公转轨道之间 D．天王星与海王星的公转轨道之间
二、万有引力定律
1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2. 表达式：F＝G
其中G叫做引力常量，。牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G。英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值。R为两质点间的距离
在天体之间的大尺度的问题的研究中，都适用万有引力定律，且把天体间的运动近似的看成匀速圆周运动。
注意：适用条件
①适用于质点间的相互作用；
②两个质量分布均匀的球体可视为质点或者一个均匀球体与球外一个质点，r是两球心间的距离或者球心到质点间的距离；
③两个物体间的距离远远大于物体本身的大小，r为两物体质心间的距离。
【跟踪训练】
（2025·广东·高考真题）一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是（ ）
A．公转周期约为6年
B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C．从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
三、万有引力定律的理解
宏观性 质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，由于粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计。
普适性 万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一。
相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。
在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零； 在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M′）对其的万有引力，即F＝G。
【跟踪训练】
（2025·黑龙江哈尔滨·二模）我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动，运行周期为T，距离地面的高度约为地球半径的倍，已知地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则（ ）
A．虽然宇航员在空间站中漂浮，但仍受到地球的引力
B．空间站绕地球运动的角速度大小约为
C．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍
D．地球的平均密度约为
四、万有引力和重力的关系
如下图所示，在地表上某处，物体所受的万有引力为F=。
由于地球一直在自转，因此物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为 F向=mRcos·ω2，方向垂直于地轴指向地轴，这个力由物体所受到的万有引力的一个分力提供，根据力的分解可得万有引力的另一个分力就是重力mg。
根据以上的分析可得：地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R；
(2)在两极上：G＝mg0；
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
注意：式中R为物体到地球转轴的距离。越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即。
忽略地球自转影响，在地球表面附近，物体所受重力近似等于地球对它的吸引力，即mg＝G，化简可得GM＝gR2，该式称为黄金代换式，适用于自转可忽略的其他星球。
【跟踪训练】
（2025·河北唐山·模拟预测）如图甲，某行星外围有一圈厚度为d的发光带，R为该行星的半径。若发光带是环绕该行星做圆周运动的卫星群，发光带上某卫星绕行星中心的运行速度的二次方与到该行星中心的距离r已知的倒数之间的关系图像如图乙所示（图线中为已知量）。力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．该行星的第一宇宙速度为 B．该行星的第一宇宙速度为
C．该行星表面的重力加速度 D．该行星的质量
五、三大宇宙速度
1. 宇宙速度
（1） 第一宇宙速度:7.9km/s，它是卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度.
【技巧点拨】第一宇宙速度推导
①方法一：
由，
②方法二：由.
【技巧点拨】第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝5 078 s≈85 min.
（2）第二宇宙速度（脱离速度）:11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.
（3）第三宇宙速度（逃逸速度）:16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.
注意：对第一宇宙速度的理解
1.第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星贴近地面运行的速度，即人造地球卫星的最大运行速度．
2.当卫星的发射速度v满足7.9 km/s
宇宙速度 数值(km/s) 意义
第一宇宙速度(环绕速度) 7.9 是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度。
第二宇宙速度(脱离速度) 11.2 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
第三宇宙速度(逃逸速度) 16.7 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
【跟踪训练】
（2025·甘肃·高考真题）如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．若，小星球做匀速圆周运动
B．若，小星球做抛物线运动
C．若，小星球做椭圆运动
D．若，小星球可能与恒星相撞
02 万有引力与航天的理解应用
一、天上人间——不同高度处的重力加速度
1. 天上：星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′。
，得。
所以，式中g为地球表面附近重力加速度。
2. 地下：在天体内部距离中心r处（r＜R）加速度为g（r）。
引力仅由半径r以内的天体质量Mr提供：
【跟踪训练】
（2025·广东·模拟预测）利用重力加速度反常可探测地下的物质分布情况。在地下某处（远小于地球半径）的球形区域内有一重金属矿，如图甲所示，探测人员从地面点出发，沿地面相互垂直的、轴两个方向测量不同位置的重力加速度值，得到重力加速度值随位置变化分别如图乙、丙所示。由此可初步判断（ ）
A．重金属矿地面位置坐标约为
B．重金属矿地面位置坐标约为
C．图像中
D．图像中
二、万有引力的成就——天体质量和密度的求解
1. 自力更生法：求解地球（中心天体）质量
解决思路：若不考虑地球（中心天体）自转的影响，地球表面的物体的重力等于地球（中心天体）对物体的引力。
解决方法：mg＝G。
得到的结论：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球（中心天体）的质量。
知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。
2. 环绕天体法：计算天体的质量
解决思路：质量为m的行星绕太阳（中心天体）做匀速圆周运动时，行星与太阳（中心天体）间的万有引力充当向心力。
解决方法：＝mr。
得到的结论：m太＝，只要知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳（中心天体）的质量。
注意：归纳总结
类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质 量 的 计 算 利用运 行天体 r、T G＝mr m中＝ 只能得到中心天体的质量
r、v G＝m m中＝
v、T G＝m，G＝mr m中＝
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ m中＝
密 度 的 计 算 利用运 行天体 r、T、R G＝mr m中＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时，ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝，m中＝ρ·πR3 ρ＝
【跟踪训练】
（2025·湖南·高考真题）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理得到。下列选项正确的是（ ）
A．a为为为 B．a为为为
C．a为为为 D．a为为为
三、卫星的发射、变轨和对接
1. 卫星发射速度和宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
(2)7.9 km/s
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
2．变轨原理
当卫星由于某种原因速度逐渐改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运动。
(1)当卫星的速度逐渐增加时，G
3．变轨过程分析
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道，如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：
(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ；
(2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；
(3)在Q点再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ，最后以速率v4绕地球做匀速圆周运动．
4．卫星的对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接.
(2)同一轨道飞船与空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度.
注意：航天器变轨问题的三点注意事项
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度由v＝判断。
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
【跟踪训练】
（2025·天津北辰·三模）国家深空探测实验室预计在2030年前后实现载人登月并建设月球基地，为此成功发射了天都一号环月卫星负责通信和导航。如图所示，天都一号在地月转移轨道点实施“刹车”制动，成功进入环月圆形轨道。已知环月轨道离月面高度为，月球质量为，月球半径为，引力常量为。则（ ）
A．卫星在环月轨道运行时向心加速度小于月球表面的重力加速度
B．环月圆形轨道上卫星的线速度大小为
C．环月圆形轨道上卫星的运行周期为
D．进入环月圆形轨道前卫星在处的速度大小等于
四、赤道上的物体与近地卫星、同步卫星的比较
如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。
比较内容 赤道表面的物体 近地卫星 同步卫星
向心力来源 万有引力的分力 万有引力
向心力方向 指向地心
重力与万有引力的关系 重力略小于万有引力 重力等于万有引力
线速度 v1＝ω1R v2＝ v3＝ω3(R＋h)＝
v1＜v3＜v2(v2为第一宇宙速度)
角速度 ω1＝ω自 ω2＝ ω3＝ω自＝
ω1＝ω3＜ω2
向心加速度 a1＝ωR a2＝ωR＝ a3＝ω(R＋h) ＝
a1＜a3＜a2
注意：各运行参量比较的两条思路
(1)绕地球运行的不同高度的卫星各运行参量大小的比较，可应用：＝m＝mω2r＝m·r＝ma，选取适当的关系式进行比较。
(2)赤道上的物体的运行参量与其他卫星运行参量大小的比较，可先将赤道上的物体与同步卫星的运行参量进行比较，再结合(1)中结果得出最终结论。
【跟踪训练】
（2025·山东济宁·模拟预测）在地球上，可通过天文观测估算太阳的密度。如图，地球上观测太阳的视角θ极小，与观测者眼睛相距为D、视角为θ的物体宽度为d。已知地球公转周期为T，万有引力常量为G，θ极小时。则太阳密度ρ可表示为（ ）
A． B． C． D．
五、科技前沿——航天
1. 引力波探测
LISA空间引力波天文台（2030s发射）将构成边长250万公里的三角卫星阵，通过激光精密测量卫星间距的皮米级变化，捕捉黑洞并合等事件激发的时空涟漪。其核心技术依赖广义相对论对引力的几何化描述，需精确计算天体运动引起的引力扰动。
2. 深空引力导航
无人探测器（如旅行者号）在飞越行星时，利用引力弹弓效应加速，节省燃料并扩展探测范围。近年更通过分析探测器轨道受天体引力影响的微小偏移，反推行星内部结构（如朱诺号测绘木星重力场，揭示其流体核）。
3. 小行星防御与资源开发
OSIRIS-REx（贝努小行星采样）任务中，航天器需克服微重力（仅地球重力十亿分之一）精准着陆，依赖对小行星不规则引力场的高精度建模。未来小行星采矿亦需此类模型稳定作业平台。
4. 地球重力场监测
GRACE-FO卫星双星通过微波测距实时感知两地间距离的亚微米级变化，反演全球水储量迁移（如冰川融化、地下水流失），其基础是地球非均匀质量分布引起的引力异常。
【跟踪训练】
（2025·河南·二模）2025年5月左右，我国将发射“天问二号”探测器，其任务之一是从编号为“”的小行星表面取样并送回地球。小行星“”的直径约为40至100米，绕太阳公转的周期是365.77天，自转周期仅为28分钟，由于其质量较小，表面的引力非常弱，仅为地球表面引力的百万分之一，常被人们称之为“无重力环境”。下列说法正确的是（ ）
A．由于小行星“”的半径很小，故其第二宇宙速度很大
B．由于小行星“”的质量很小，故万有引力定律对其不适用
C．由于小行星“”的公转周期与地球的接近，故其轨道长轴与地球的轨道长轴相接近
D．由于小行星“”的自转周期很小，故其地面的物体很难脱离其表面
万有引力定律的理解和应用
1．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)两个推论：
推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G.
2. 万有引力定律的应用
（1）基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即得：
（2）应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算
拓展： 星球“瓦解”问题及黑洞
（1）星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝.当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行．
（1）黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞．
注意：分析人造卫星运动的两条思路
(1)万有引力提供向心力即G＝ma。
(2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。
【跟踪训练】
（2025·河南·高考真题）2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为（ ）
A．13天 B．27天 C．64天 D．128天
01 同步卫星的理解和应用
1. 地球同步卫星
所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度，运行速率均为v＝3.1×103 m/s，
同步卫星的轨道一定在赤道平面内，并且只有一条.所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同的线速度，角速度和周期运行着.
2. 倾斜轨道“同步” 卫星：如果某卫星运行在一个轨道平面和赤道平面夹角不为0°的轨道上时，则称该卫星被叫做倾斜轨道卫星，该夹角也被称为“轨道倾角”。若该卫星的运行周期等于地球的自转周期，则该卫星为倾斜轨道同步卫星。与常规的同步轨道相比,同步卫星倾斜轨道的轨道平面呈现倾斜状态，只是周期与地球自转同步，不能实现定点悬停。
3. 同步卫星的六个“一定”
【跟踪训练】
（2025·海南·高考真题）载人飞船的火箭成功发射升空，载人飞船进入预定轨道后，与空间站完成自主快速交会对接，然后绕地球做匀速圆周运动。已知空间站轨道高度低于地球同步卫星轨道，则下面说法正确的是（ ）
A．火箭加速升空失重
B．宇航员在空间站受到的万有引力小于在地表受到万有引力
C．空间站绕地球做匀速圆周运动的角速度小于地球自转角速度
D．空间站绕地球做匀速圆周运动的加速度小于地球同步卫星的加速度
02 卫星的变轨和相关物理量的比较
1. 卫星变轨：1→2→3
①在1轨道Q点点火加速，万有引力不足以提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机做离心运动，进入轨道2
②在2轨道中，从Q点到P点飞行过程中，万有引力做负功，万有引力与航天飞机速度方向夹角大于90°，航天飞机速度减小，动能减小，势能增加，机械能不变。
在2轨道P点处，万有引力大于航天飞机做匀速圆周运动向心力，如果不进行任何操作，航天飞机做向心运动，沿着椭圆轨道2运行回Q，从P到Q，万有引力做正功，万有引力与航天飞机速度方向夹角小于90°，航天飞机速度增加，动能增加，势能减小，机械能不变。
③在2轨道P点点火加速，当万有引力恰好能提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机将沿着3轨道运行，完成变轨操作
2. 各点物理量参数的关系
①线速度大小：
②角速度关系：
③向心加速度关系：
④周期关系：
⑤能量关系：
注意：卫星变轨的实质
两类变轨 离心运动 近心运动
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
受力分析 G
变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
【跟踪训练】
（2025·北京·高考真题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（ ）
A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量
01 不同高度卫星物理量的比较
人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
＝
总结：高轨低速长周期，越高越慢。
【跟踪训练】
（2025·江苏扬州·模拟预测）2011年11月3日1时43分，中国自行研制的“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器在距离地球343km的轨道上实现自动对接，为未来空间站建设迈出了关键一步。假如“神舟八号”与“天宫一号”的质量相等，对接前它们环绕地球分别做匀速圆周运动的运行轨道如右图所示，则以下说法中正确的是（ ）
A．对接前的向心加速度，“天宫一号”比“神舟八号”大
B．对接前的运行周期，“天宫一号”比“神舟八号”小
C．对接前的机械能，“天宫一号”比“神舟八号”小
D．“神舟八号”需先点火加速才有可能与“天宫一号”实现对接
02 双星模型和多星模型
1．双星模型
(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
(2)模型特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
.
②两颗星的周期及角速度都相同，即.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：.
④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
⑤双星的运动周期：T＝2π.
⑥双星的总质量：m1＋m2＝.
2．三星模型
(1)三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行如图甲所示．
运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：。两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
(2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上。
三颗星体都绕三角形的中心做圆周运动，每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。
这里 。
三颗行星转动的方向相同，周期、角速度相等。
【跟踪训练】
（2025·上海·一模）图（a）是有“中国天眼”美誉的FAST——目前世界最大口径的射电望远镜，其核心部件之一是馈源舱，重29.8吨，由六根钢索固定在球面反射镜的上方，负责搜集球面反射回的电磁波信号。
(1)如图（b），馈源舱静止时，六根钢索拉力大小相等，且均与竖直方向成60°角，此时一根钢索上的拉力大小为 N（g=9.8m/s2，保留2位有效数字）。
(2)FAST发现了目前所知周期最短的双星系统，如下图（c），A 、B两颗脉冲星（质量为mA和mB）各自绕两星间连线上的一定点O做周期为T的匀速圆周运动，轨道半径RA
B．线速度大小相等
C．mA>mB
D．mA
命题情景
一、结合我国航天成果
1.卫星发射与运行：以我国最新发射的卫星，如2024年的嫦娥六号探测器、鹊桥二号中继星等为背景，考查卫星在不同轨道上的运动参数、变轨问题、能量变化等。如已知卫星轨道半径求其运行周期、速度等，或者分析卫星从低轨道向高轨道变轨时速度、加速度的变化。
2.载人航天与空间站建设：围绕神舟系列载人飞船与空间站的对接过程，如神舟十七号与天和核心舱的对接，考查飞船在不同轨道的加速度、速度大小比较，以及变轨过程中的时间计算等。
二、以天体观测与研究为背景
1.行星运动规律：根据开普勒定律，分析行星在椭圆轨道上不同位置的速度、加速度变化，以及周期与轨道半径的关系。例如，给出小行星与地球公转轨道的相关数据，判断小行星在远日点、近日点的速度大小，或者计算其运行周期之比。
2.双星或多星系统：以双星系统或多星系统为情境，考查学生对万有引力提供向心力的理解和应用。如已知双星的质量和距离，求它们的运动周期、轨道半径等。
三、基于科学探测与技术应用
1.引力探测技术：以引力探测实验或技术为背景，如引力波探测的“天琴计划”，通过比较不同轨道半径卫星的周期等物理量，考查万有引力定律和圆周运动知识。
2.掩星探测技术：涉及掩星探测技术的应用，考查学生对卫星运动的理解。如比较掩星和导航卫星在相同时间内转过的圆心角、运动路程、周期以及速度变化率等。
【跟踪训练】
（2025·安徽芜湖·二模）2025年2月28日，国际顶级学术期刊《自然天文学》发表了安徽师范大学物理与电子信息学院舒新文教授研究团队的一项重大科研成果。该团队发现了中等质量黑洞吞噬恒星发出的X射线准周期振荡信号，这是天体物理学家在世界上首次发现该类现象，提供了宇宙中存在中等质量黑洞的关键证据。黑洞是一个非常致密的天体，会形成强大的引力场，连光也无法逃脱。某黑洞中心天体的质量是太阳的50亿倍，太阳质量为，光在真空中的传播速度，引力常量，第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，请估算该黑洞最大半径的数量级为（ ）
A． B．
C． D．
02 万有引力与航天中的追及相遇问题
1. 模型解读：
两卫星在同一轨道绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上另一卫星，我们称之为追及问题。两卫星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圈周运动，当两星某时相距最近时我自们称之为两卫星相遇问题。
2. 模型分类：
（1）从相距最近到相距最近
①．两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。
②．两卫星的运转方向相反，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA+ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。
注意：周期关系：－＝ n，(n＝1,2,3，…)
（2）从相距最近到相距最远
①．两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)。
②．两卫星的运转方向相反，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA+ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)。
注意：周期关系：－＝n－，(n＝1,2,3，…)。
注意：“行星冲日”现象
在不同圆轨道上绕太阳运行的两个行星，某一时刻会出现两个行星和太阳排成一条直线的“行星冲日”现象，属于天体运动中的“追及相遇”问题，此类问题具有周期性。
技巧归纳：天体相遇与追及问题的处理方法
首先根据＝mrω2判断出谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍，即ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1、2、3……)，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍，即ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0、1、2……)
【跟踪训练】
（2025·重庆·三模）如图甲，卫星和地心连线与地面的交点称为星下点，随着卫星绕地球运动以及地球自转，星下点会在地球表面不断移动，形成星下点轨迹。地球半径为，自转周期小时。卫星A、B绕行方向与地球自转方向一致（图中未画），其星下点部分轨迹分别如题图乙、丙。已知地球同步卫星的轨道半径，，卫星运动均视为匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．卫星A、B的周期之比
B．卫星A、B运行的线速度之比为
C．卫星B绕地球运行的轨道半径为
D．某时刻卫星A、B相距最近，之后在A运动的20圈时间内，卫星A、B有5次相距最近
()
()
()专题06 万有引力与航天
01 万有引力与航天的基本定律和概念
一、开普勒三大定律
定 律 内 容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 ,是一个与行星无关的常量
注意：开普勒行星运动定律的深入理解
（1）行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
（2）由开普勒第二定律可得，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
（3）当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律．
（4）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体质量有关
【跟踪训练】
（2025·云南·高考真题）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（ ）
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．金星与地球的公转轨道之间 B．地球与火星的公转轨道之间
C．火星与木星的公转轨道之间 D．天王星与海王星的公转轨道之间
【答案】C
【知识点】开普勒第三定律
【详解】根据开普勒第三定律可知
其中，，
代入解得
故可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。
故选C。
二、万有引力定律
1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2. 表达式：F＝G
其中G叫做引力常量，。牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G。英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值。R为两质点间的距离
在天体之间的大尺度的问题的研究中，都适用万有引力定律，且把天体间的运动近似的看成匀速圆周运动。
注意：适用条件
①适用于质点间的相互作用；
②两个质量分布均匀的球体可视为质点或者一个均匀球体与球外一个质点，r是两球心间的距离或者球心到质点间的距离；
③两个物体间的距离远远大于物体本身的大小，r为两物体质心间的距离。
【跟踪训练】
（2025·广东·高考真题）一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是（ ）
A．公转周期约为6年
B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C．从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
【答案】D
【知识点】不同轨道上的卫星各物理量的比较、开普勒第二定律、开普勒第三定律、万有引力定律的内容、推导及适用范围
【详解】A．根据题意，设地球与太阳间距离为，则小行星公转轨道的半长轴为
由开普勒第三定律有
解得年
故A错误；
B．从远日点到近日点，小行星与太阳间距离减小，由万有引力定律可知，小行星受太阳引力增大，故B错误；
cC．由开普勒第二定律可知，从远日点到近日点，小行星线速度逐渐增大，故C错误。
D．由牛顿第二定律有
解得
可知
即小行星在近日点的加速度是地球公转加速度的，故D正确；
故选D。
三、万有引力定律的理解
宏观性 质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，由于粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计。
普适性 万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一。
相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。
在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零； 在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M′）对其的万有引力，即F＝G。
【跟踪训练】
（2025·黑龙江哈尔滨·二模）我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动，运行周期为T，距离地面的高度约为地球半径的倍，已知地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则（ ）
A．虽然宇航员在空间站中漂浮，但仍受到地球的引力
B．空间站绕地球运动的角速度大小约为
C．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍
D．地球的平均密度约为
【答案】ACD
【知识点】万有引力定律的内容、推导及适用范围、周期、角速度、转速、频率与线速度之间的关系式、在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度g'、计算中心天体的质量和密度
【详解】A．漂浮在空间站中的宇航员依然受地球的引力，所受引力提供做匀速圆周运动的向心力，故A正确；
B．根据角速度定义，可知空间站绕地球运动的角速度大小约为
故B错误；
C．设空间站的质量为m，地球质量为M，对空间站，根据万有引力提供向心力，有
由黄金代换式
可知地表的重力加速度为
联立解得
故C正确；
D．对空间站，根据万有引力提供向心力，有
地球密度
联立解得
故D正确。
故选ACD。
四、万有引力和重力的关系
如下图所示，在地表上某处，物体所受的万有引力为F=。
由于地球一直在自转，因此物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为 F向=mRcos·ω2，方向垂直于地轴指向地轴，这个力由物体所受到的万有引力的一个分力提供，根据力的分解可得万有引力的另一个分力就是重力mg。
根据以上的分析可得：地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R；
(2)在两极上：G＝mg0；
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
注意：式中R为物体到地球转轴的距离。越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即。
忽略地球自转影响，在地球表面附近，物体所受重力近似等于地球对它的吸引力，即mg＝G，化简可得GM＝gR2，该式称为黄金代换式，适用于自转可忽略的其他星球。
【跟踪训练】
（2025·河北唐山·模拟预测）如图甲，某行星外围有一圈厚度为d的发光带，R为该行星的半径。若发光带是环绕该行星做圆周运动的卫星群，发光带上某卫星绕行星中心的运行速度的二次方与到该行星中心的距离r已知的倒数之间的关系图像如图乙所示（图线中为已知量）。力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．该行星的第一宇宙速度为 B．该行星的第一宇宙速度为
C．该行星表面的重力加速度 D．该行星的质量
【答案】A
【知识点】根据已知量计算出天体的质量、第一宇宙速度的意义及推导、其他星球表面的重力加速度
【详解】D．该发光带是环绕该行星做圆周运动的卫星群，由万有引力提供向心力得
化简可得
可知图像的斜率
可得该行星的质量为
故D错误；
C．在行星表面有
解得该行星表面的重力加速度
故C错误；
AB．该行星的第一宇宙速度等于在行星表面绕行星做匀速圆周运动的线速度，则有
解得该行星的第一宇宙速度为
故A正确，B错误。
故选A。
五、三大宇宙速度
1. 宇宙速度
（1） 第一宇宙速度:7.9km/s，它是卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度.
【技巧点拨】第一宇宙速度推导
①方法一：
由，
②方法二：由.
【技巧点拨】第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝5 078 s≈85 min.
（2）第二宇宙速度（脱离速度）:11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.
（3）第三宇宙速度（逃逸速度）:16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.
注意：对第一宇宙速度的理解
1.第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星贴近地面运行的速度，即人造地球卫星的最大运行速度．
2.当卫星的发射速度v满足7.9 km/s
宇宙速度 数值(km/s) 意义
第一宇宙速度(环绕速度) 7.9 是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度。
第二宇宙速度(脱离速度) 11.2 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
第三宇宙速度(逃逸速度) 16.7 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
【跟踪训练】
（2025·甘肃·高考真题）如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．若，小星球做匀速圆周运动
B．若，小星球做抛物线运动
C．若，小星球做椭圆运动
D．若，小星球可能与恒星相撞
【答案】A
【知识点】第二宇宙速度、第一宇宙速度的意义及推导
【详解】A．根据题意，由万有引力提供向心力有
解得
可知，若，小星球做匀速圆周运动，故A正确；
B．结合A分析可知，若，万有引力不足以提供小星球做匀速圆周运动所需要的向心力，小星球做离心运动，但又不能脱离恒星的引力范围，所以小星球做椭圆运动，而不是抛物线运动，故B错误；
C．若，这是小星球脱离恒星引力束缚的临界速度，小星球将做抛物线运动，而不是椭圆运动，故C错误；
D．若，小星球将脱离恒星引力束缚，做双曲线运动，不可能与恒星相撞，故D错误。
故选A。
02 万有引力与航天的理解应用
一、天上人间——不同高度处的重力加速度
1. 天上：星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′。
，得。
所以，式中g为地球表面附近重力加速度。
2. 地下：在天体内部距离中心r处（r＜R）加速度为g（r）。
引力仅由半径r以内的天体质量Mr提供：
【跟踪训练】
（2025·广东·模拟预测）利用重力加速度反常可探测地下的物质分布情况。在地下某处（远小于地球半径）的球形区域内有一重金属矿，如图甲所示，探测人员从地面点出发，沿地面相互垂直的、轴两个方向测量不同位置的重力加速度值，得到重力加速度值随位置变化分别如图乙、丙所示。由此可初步判断（ ）
A．重金属矿地面位置坐标约为
B．重金属矿地面位置坐标约为
C．图像中
D．图像中
【答案】AC
【知识点】在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度g'
【详解】AB．由图像可知，重力加速度最大的位置处于、的位置，所以重金属矿地面位置坐标约为，B错误，A正确；
CD．由于在处重金属矿产生的引力和地球产生的引力直接相加，而在处是金属矿产生的引力分量和地球产生的引力相加，因此，在处重力加速度比处大，且无穷远处的加速度均为g，所以，D错误，C正确。
故选AC。
二、万有引力的成就——天体质量和密度的求解
1. 自力更生法：求解地球（中心天体）质量
解决思路：若不考虑地球（中心天体）自转的影响，地球表面的物体的重力等于地球（中心天体）对物体的引力。
解决方法：mg＝G。
得到的结论：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球（中心天体）的质量。
知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。
2. 环绕天体法：计算天体的质量
解决思路：质量为m的行星绕太阳（中心天体）做匀速圆周运动时，行星与太阳（中心天体）间的万有引力充当向心力。
解决方法：＝mr。
得到的结论：m太＝，只要知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳（中心天体）的质量。
注意：归纳总结
类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质 量 的 计 算 利用运 行天体 r、T G＝mr m中＝ 只能得到中心天体的质量
r、v G＝m m中＝
v、T G＝m，G＝mr m中＝
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ m中＝
密 度 的 计 算 利用运 行天体 r、T、R G＝mr m中＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时，ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝，m中＝ρ·πR3 ρ＝
【跟踪训练】
（2025·湖南·高考真题）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理得到。下列选项正确的是（ ）
A．a为为为 B．a为为为
C．a为为为 D．a为为为
【答案】A
【知识点】计算中心天体的质量和密度、开普勒第三定律
【详解】根据题意，卫星在同步轨道和表面附近轨道运行时轨道半径分别为
设小行星和卫星的质量分别为
由开普勒第三定律有
解得
卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有
解得
对应结果可得a为为为。
故选A。
三、卫星的发射、变轨和对接
1. 卫星发射速度和宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
(2)7.9 km/s
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
2．变轨原理
当卫星由于某种原因速度逐渐改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运动。
(1)当卫星的速度逐渐增加时，G
3．变轨过程分析
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道，如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：
(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ；
(2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；
(3)在Q点再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ，最后以速率v4绕地球做匀速圆周运动．
4．卫星的对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接.
(2)同一轨道飞船与空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度.
注意：航天器变轨问题的三点注意事项
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度由v＝判断。
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
【跟踪训练】
（2025·天津北辰·三模）国家深空探测实验室预计在2030年前后实现载人登月并建设月球基地，为此成功发射了天都一号环月卫星负责通信和导航。如图所示，天都一号在地月转移轨道点实施“刹车”制动，成功进入环月圆形轨道。已知环月轨道离月面高度为，月球质量为，月球半径为，引力常量为。则（ ）
A．卫星在环月轨道运行时向心加速度小于月球表面的重力加速度
B．环月圆形轨道上卫星的线速度大小为
C．环月圆形轨道上卫星的运行周期为
D．进入环月圆形轨道前卫星在处的速度大小等于
【答案】AC
【知识点】卫星发射及变轨问题中各物理量的变化
【详解】A．由环月轨道运行时的向心加速度关系和月球表面的重力加速度关系
所以有，故A正确；
B．由
有，故B错误；
C．由
有，故C正确；
D．因为进入环月圆形轨道前卫星需要在A处减速，故速度大小应大于,故D错误。
故选AC。
四、赤道上的物体与近地卫星、同步卫星的比较
如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。
比较内容 赤道表面的物体 近地卫星 同步卫星
向心力来源 万有引力的分力 万有引力
向心力方向 指向地心
重力与万有引力的关系 重力略小于万有引力 重力等于万有引力
线速度 v1＝ω1R v2＝ v3＝ω3(R＋h)＝
v1＜v3＜v2(v2为第一宇宙速度)
角速度 ω1＝ω自 ω2＝ ω3＝ω自＝
ω1＝ω3＜ω2
向心加速度 a1＝ωR a2＝ωR＝ a3＝ω(R＋h) ＝
a1＜a3＜a2
注意：各运行参量比较的两条思路
(1)绕地球运行的不同高度的卫星各运行参量大小的比较，可应用：＝m＝mω2r＝m·r＝ma，选取适当的关系式进行比较。
(2)赤道上的物体的运行参量与其他卫星运行参量大小的比较，可先将赤道上的物体与同步卫星的运行参量进行比较，再结合(1)中结果得出最终结论。
【跟踪训练】
（2025·山东济宁·模拟预测）在地球上，可通过天文观测估算太阳的密度。如图，地球上观测太阳的视角θ极小，与观测者眼睛相距为D、视角为θ的物体宽度为d。已知地球公转周期为T，万有引力常量为G，θ极小时。则太阳密度ρ可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】计算中心天体的质量和密度
【详解】设太阳质量为M，地球质量为m，地球绕太阳公转，有
因为太阳密度
由几何关系
联立可得
故选D。
五、科技前沿——航天
1. 引力波探测
LISA空间引力波天文台（2030s发射）将构成边长250万公里的三角卫星阵，通过激光精密测量卫星间距的皮米级变化，捕捉黑洞并合等事件激发的时空涟漪。其核心技术依赖广义相对论对引力的几何化描述，需精确计算天体运动引起的引力扰动。
2. 深空引力导航
无人探测器（如旅行者号）在飞越行星时，利用引力弹弓效应加速，节省燃料并扩展探测范围。近年更通过分析探测器轨道受天体引力影响的微小偏移，反推行星内部结构（如朱诺号测绘木星重力场，揭示其流体核）。
3. 小行星防御与资源开发
OSIRIS-REx（贝努小行星采样）任务中，航天器需克服微重力（仅地球重力十亿分之一）精准着陆，依赖对小行星不规则引力场的高精度建模。未来小行星采矿亦需此类模型稳定作业平台。
4. 地球重力场监测
GRACE-FO卫星双星通过微波测距实时感知两地间距离的亚微米级变化，反演全球水储量迁移（如冰川融化、地下水流失），其基础是地球非均匀质量分布引起的引力异常。
【跟踪训练】
（2025·河南·二模）2025年5月左右，我国将发射“天问二号”探测器，其任务之一是从编号为“”的小行星表面取样并送回地球。小行星“”的直径约为40至100米，绕太阳公转的周期是365.77天，自转周期仅为28分钟，由于其质量较小，表面的引力非常弱，仅为地球表面引力的百万分之一，常被人们称之为“无重力环境”。下列说法正确的是（ ）
A．由于小行星“”的半径很小，故其第二宇宙速度很大
B．由于小行星“”的质量很小，故万有引力定律对其不适用
C．由于小行星“”的公转周期与地球的接近，故其轨道长轴与地球的轨道长轴相接近
D．由于小行星“”的自转周期很小，故其地面的物体很难脱离其表面
【答案】C
【知识点】开普勒第三定律、第二宇宙速度、万有引力定律的内容、推导及适用范围
【详解】AD．小行星“”的质量很小，故物体很容易脱离其引力束缚，即第二宇宙速度很小，故AD错误；
B．虽然小行星“”的质量很小，但万有引力定律依然对其适用，故B错误；
C．由于小行星“”的公转周期与地球的接近，根据开普勒第三定律可知，其运行轨道与地球轨道的半长轴相接近，故C正确。
故选C。
万有引力定律的理解和应用
1．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)两个推论：
推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G.
2. 万有引力定律的应用
（1）基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即得：
（2）应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算
拓展： 星球“瓦解”问题及黑洞
（1）星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝.当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行．
（1）黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞．
注意：分析人造卫星运动的两条思路
(1)万有引力提供向心力即G＝ma。
(2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。
【跟踪训练】
（2025·河南·高考真题）2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为（ ）
A．13天 B．27天 C．64天 D．128天
【答案】A
【知识点】卫星的各个物理量计算
【详解】地球绕太阳运行的周期约为365天，根据万有引力提供向心力得
已知，，同理得
整理得
代入数据得
故选A。
01 同步卫星的理解和应用
1. 地球同步卫星
所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度，运行速率均为v＝3.1×103 m/s，
同步卫星的轨道一定在赤道平面内，并且只有一条.所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同的线速度，角速度和周期运行着.
2. 倾斜轨道“同步” 卫星：如果某卫星运行在一个轨道平面和赤道平面夹角不为0°的轨道上时，则称该卫星被叫做倾斜轨道卫星，该夹角也被称为“轨道倾角”。若该卫星的运行周期等于地球的自转周期，则该卫星为倾斜轨道同步卫星。与常规的同步轨道相比,同步卫星倾斜轨道的轨道平面呈现倾斜状态，只是周期与地球自转同步，不能实现定点悬停。
3. 同步卫星的六个“一定”
【跟踪训练】
（2025·海南·高考真题）载人飞船的火箭成功发射升空，载人飞船进入预定轨道后，与空间站完成自主快速交会对接，然后绕地球做匀速圆周运动。已知空间站轨道高度低于地球同步卫星轨道，则下面说法正确的是（ ）
A．火箭加速升空失重
B．宇航员在空间站受到的万有引力小于在地表受到万有引力
C．空间站绕地球做匀速圆周运动的角速度小于地球自转角速度
D．空间站绕地球做匀速圆周运动的加速度小于地球同步卫星的加速度
【答案】B
【知识点】地球同步卫星与其他卫星的对比
【详解】A．火箭加速升空过程，加速度方向竖直向上，则处于超重状态，故A错误；
B．根据，宇航员与地球的质量不变，宇航员在空间站离地心更远，则受到的万有引力小于在地表受到万有引力，故B正确；
C．根据可得，可知空间站绕地球做匀速圆周运动的角速度大于同步卫星的角速度，即大于地球自转角速度，故C错误；
D．根据可得，可知空间站绕地球做匀速圆周运动的加速度大于地球同步卫星的加速度，故D错误。
故选B 。
02 卫星的变轨和相关物理量的比较
1. 卫星变轨：1→2→3
①在1轨道Q点点火加速，万有引力不足以提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机做离心运动，进入轨道2
②在2轨道中，从Q点到P点飞行过程中，万有引力做负功，万有引力与航天飞机速度方向夹角大于90°，航天飞机速度减小，动能减小，势能增加，机械能不变。
在2轨道P点处，万有引力大于航天飞机做匀速圆周运动向心力，如果不进行任何操作，航天飞机做向心运动，沿着椭圆轨道2运行回Q，从P到Q，万有引力做正功，万有引力与航天飞机速度方向夹角小于90°，航天飞机速度增加，动能增加，势能减小，机械能不变。
③在2轨道P点点火加速，当万有引力恰好能提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机将沿着3轨道运行，完成变轨操作
2. 各点物理量参数的关系
①线速度大小：
②角速度关系：
③向心加速度关系：
④周期关系：
⑤能量关系：
注意：卫星变轨的实质
两类变轨 离心运动 近心运动
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
受力分析 G
变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
【跟踪训练】
（2025·北京·高考真题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（ ）
A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量
【答案】A
【知识点】卫星发射及变轨问题中各物理量的变化、计算中心天体的质量和密度、不同轨道上的卫星各物理量的比较
【详解】A．在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确；
B．探测器受到万有引力，由
解得
在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误；
C．探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上机械能大于在轨道1上的机械能，C错误；
D．探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得
解得
利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。
故选A。
01 不同高度卫星物理量的比较
人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
＝
总结：高轨低速长周期，越高越慢。
【跟踪训练】
（2025·江苏扬州·模拟预测）2011年11月3日1时43分，中国自行研制的“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器在距离地球343km的轨道上实现自动对接，为未来空间站建设迈出了关键一步。假如“神舟八号”与“天宫一号”的质量相等，对接前它们环绕地球分别做匀速圆周运动的运行轨道如右图所示，则以下说法中正确的是（ ）
A．对接前的向心加速度，“天宫一号”比“神舟八号”大
B．对接前的运行周期，“天宫一号”比“神舟八号”小
C．对接前的机械能，“天宫一号”比“神舟八号”小
D．“神舟八号”需先点火加速才有可能与“天宫一号”实现对接
【答案】D
【知识点】不同轨道上的卫星各物理量的比较、卫星发射及变轨问题中各物理量的变化
【详解】A．根据万有引力提供向心力有
可知，半径越大向心加速度越小，故A错误；
B．根据万有引力提供向心力有
可知，半径越大周期越大，故B错误；
C．向更高轨道发射相同质量的卫星，轨道越高克服地球做功越多，卫星的机械能越大，因为天宫一号轨道高度大，故其机械能大于神舟八号飞船的机械能，故C错误；
D．神舟八号轨道半径比天宫一号低，在轨道上点火加速，使神舟八号做离心运动而抬升轨道完成与天宫一号对接，故D正确。
故选D。
02 双星模型和多星模型
1．双星模型
(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
(2)模型特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
.
②两颗星的周期及角速度都相同，即.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：.
④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
⑤双星的运动周期：T＝2π.
⑥双星的总质量：m1＋m2＝.
2．三星模型
(1)三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行如图甲所示．
运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：。两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
(2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上。
三颗星体都绕三角形的中心做圆周运动，每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。
这里 。
三颗行星转动的方向相同，周期、角速度相等。
【跟踪训练】
（2025·上海·一模）图（a）是有“中国天眼”美誉的FAST——目前世界最大口径的射电望远镜，其核心部件之一是馈源舱，重29.8吨，由六根钢索固定在球面反射镜的上方，负责搜集球面反射回的电磁波信号。
(1)如图（b），馈源舱静止时，六根钢索拉力大小相等，且均与竖直方向成60°角，此时一根钢索上的拉力大小为 N（g=9.8m/s2，保留2位有效数字）。
(2)FAST发现了目前所知周期最短的双星系统，如下图（c），A 、B两颗脉冲星（质量为mA和mB）各自绕两星间连线上的一定点O做周期为T的匀速圆周运动，轨道半径RA
B．线速度大小相等
C．mA>mB
D．mA
(2)AC
【知识点】正交分解法解共点力平衡、计算双星问题的线速度、角速度与引力
【详解】（1）[1]分析可知，馈源舱受到钢索拉力和自身重力而平衡，设每根钢索拉力为F，则由平衡条件得
其中馈源舱质量
代入数据解得
（2）[2] A．根据双星系统特点可知，双星系统周期相同，加速度相同，故A正确；
B．根据 可知由于双星轨道半径不同，故线速度大小不相等，故B错误；
CD．双星系统彼此的引力通过彼此的向心力，故彼此的向心力大小相等，设双星系统的角速度以为，则有
解得
由于 故有
故C正确，D错误。
故选AC。
01 万有引力与航天中的情景创新的问题处理
命题情景
一、结合我国航天成果
1.卫星发射与运行：以我国最新发射的卫星，如2024年的嫦娥六号探测器、鹊桥二号中继星等为背景，考查卫星在不同轨道上的运动参数、变轨问题、能量变化等。如已知卫星轨道半径求其运行周期、速度等，或者分析卫星从低轨道向高轨道变轨时速度、加速度的变化。
2.载人航天与空间站建设：围绕神舟系列载人飞船与空间站的对接过程，如神舟十七号与天和核心舱的对接，考查飞船在不同轨道的加速度、速度大小比较，以及变轨过程中的时间计算等。
二、以天体观测与研究为背景
1.行星运动规律：根据开普勒定律，分析行星在椭圆轨道上不同位置的速度、加速度变化，以及周期与轨道半径的关系。例如，给出小行星与地球公转轨道的相关数据，判断小行星在远日点、近日点的速度大小，或者计算其运行周期之比。
2.双星或多星系统：以双星系统或多星系统为情境，考查学生对万有引力提供向心力的理解和应用。如已知双星的质量和距离，求它们的运动周期、轨道半径等。
三、基于科学探测与技术应用
1.引力探测技术：以引力探测实验或技术为背景，如引力波探测的“天琴计划”，通过比较不同轨道半径卫星的周期等物理量，考查万有引力定律和圆周运动知识。
2.掩星探测技术：涉及掩星探测技术的应用，考查学生对卫星运动的理解。如比较掩星和导航卫星在相同时间内转过的圆心角、运动路程、周期以及速度变化率等。
【跟踪训练】
（2025·安徽芜湖·二模）2025年2月28日，国际顶级学术期刊《自然天文学》发表了安徽师范大学物理与电子信息学院舒新文教授研究团队的一项重大科研成果。该团队发现了中等质量黑洞吞噬恒星发出的X射线准周期振荡信号，这是天体物理学家在世界上首次发现该类现象，提供了宇宙中存在中等质量黑洞的关键证据。黑洞是一个非常致密的天体，会形成强大的引力场，连光也无法逃脱。某黑洞中心天体的质量是太阳的50亿倍，太阳质量为，光在真空中的传播速度，引力常量，第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，请估算该黑洞最大半径的数量级为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中子星与黑洞问题
【详解】设“黑洞”的可能半径为R，质量为M，根据逃逸速度（第二宇宙速度）的定义，结合第一宇宙速度可知，须满足
即有
所以“黑洞”的可能最大半径
故选D。
02 万有引力与航天中的追及相遇问题
1. 模型解读：
两卫星在同一轨道绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上另一卫星，我们称之为追及问题。两卫星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圈周运动，当两星某时相距最近时我自们称之为两卫星相遇问题。
2. 模型分类：
（1）从相距最近到相距最近
①．两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。
②．两卫星的运转方向相反，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA+ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。
注意：周期关系：－＝ n，(n＝1,2,3，…)
（2）从相距最近到相距最远
①．两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)。
②．两卫星的运转方向相反，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA+ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)。
注意：周期关系：－＝n－，(n＝1,2,3，…)。
注意：“行星冲日”现象
在不同圆轨道上绕太阳运行的两个行星，某一时刻会出现两个行星和太阳排成一条直线的“行星冲日”现象，属于天体运动中的“追及相遇”问题，此类问题具有周期性。
技巧归纳：天体相遇与追及问题的处理方法
首先根据＝mrω2判断出谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍，即ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1、2、3……)，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍，即ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0、1、2……)
【跟踪训练】
（2025·重庆·三模）如图甲，卫星和地心连线与地面的交点称为星下点，随着卫星绕地球运动以及地球自转，星下点会在地球表面不断移动，形成星下点轨迹。地球半径为，自转周期小时。卫星A、B绕行方向与地球自转方向一致（图中未画），其星下点部分轨迹分别如题图乙、丙。已知地球同步卫星的轨道半径，，卫星运动均视为匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．卫星A、B的周期之比
B．卫星A、B运行的线速度之比为
C．卫星B绕地球运行的轨道半径为
D．某时刻卫星A、B相距最近，之后在A运动的20圈时间内，卫星A、B有5次相距最近
【答案】BCD
【知识点】不同轨道上的卫星各物理量的比较、卫星的追及相遇问题
【详解】A．根据图乙可知，A星下点在地球上由30°E转到180°E的过程中，A转了半圈，比地球自转多转了，可知地球转动了
则有
根据图丙可知，B星下点在地球上由60°E转到180°E的过程中，B转了一圈，比地球自转多转了，地球转动了
则有
结合上述解得A、B的周期之比为
故A错误；
C．对同步卫星、A与B卫星根据开普勒第三定律有
结合上述解得，
故C正确；
B．根据，
结合上述解得
故B正确；
D．根据图乙与图丙可知，A、B轨道平面不在同一平面内，则有
结合上述解得
故D正确。
故选BCD。
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