2024-2025学年江西省赣州市崇义县章源实验学校九年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. （x-2）（x+3）=x2 B. ax2+bx+c=0
C. x2+x+2=0 D. x2+=0
2.若关于x的方程x2-mx+2=0有一个根是1，则m的值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. -3
3.关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
4.是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A. 2x2+3x+1=0 B. 2x2-3x+1=0 C. 2x2+3x-1=0 D. 2x2-3x-1=0
5.某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒.设平均每次降价的百分率为x,根据题意所列方程正确的是（ ）
A. 25（1+2x）=36 B. 36（1-2x）=25 C. 25（1+x）2=36 D. 36（1-x）2=25
6.关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方a（x+m+3）2+b＝0的解是（）
A. ﹣1或﹣4 B. ﹣2或1 C. 1或3 D. ﹣5或﹣2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.分解因式：3m2-3= ．
8.一元二次方程2x2+1=3x的一次项系数为______．
9.一元二次方程x2-2=0的两根分别为______.
10.关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．
11.《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为______．
12.等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两根，则m的值为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
解方程：
（1）x2+x+2=0；
（2）x2-2x=3.
14.(本小题6分)
已知m是方程x2+3x-1=0的一个根，求代数式2m2+6m-2020的值.
15.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m-2=0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2=1，求m的值．
16.(本小题6分)
某种病毒传播速度非常快，若最初有两个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有288人被感染，设每轮传染中平均一个传染了x人.
（1）经过第一轮传染后，共有______人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案）
（2）在每轮传播中，平均一人传染了几个人？
17.(本小题6分)
如图，点E是正方形ABCD内一点，且EB=EC.请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留画图痕迹，不写作法）.
（1）在图1中，作出BC边的中点.
（2）在图2中，作出CD边的中点.
18.(本小题8分)
配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值，我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值.
解：∵x2+6x+5=x2+2×（3x）+32-32+5=（x+3）2-4，
∵（x+3）2≥0，
∴当x=-3时，x2+6x+5有最小值-4.
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）若x2+4x+5=（x+a）2+b,则a=______；b=______.
（2）求代数式2x2+4x-1的最值.
19.(本小题8分)
于2023年举办的杭州亚运会的吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱.某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售.从7月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示.
x/元 55 52
y/件 460 520
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元.则售价应定为多少元？
20.(本小题8分)
八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80=2021.
（1）八进制数3746换算成十进制数是______；
（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值.
21.(本小题9分)
某校为学生装一台直饮水器，课间学生到直饮水器打水．他们先同时打开全部的水笼头放水，后来又关闭了部分水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，直饮水器的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图象如图，请结合图象回答下列问题：
（1）求当x＞5时，y与x之间的函数关系式；
（2）假定每人水杯接水0.7升，要使40名学生接水完毕，课间10分钟是否够用？请计算回答．
22.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=5cm,BC=6cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t s.
（1）填空：BQ= ______cm,PB= ______cm；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得四边形APQC的面积等于9cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
23.(本小题12分)
课本再现.
人教版初中数学教科书九年级上册第23页数学活动对三角点阵中前行的点数计算进行了探究：图1是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第1行有一个点，第2行有两个点…第n行有n个点…
小明同学发现，前2行的点数和是1+2=3，前3行的点数和是1+2+3=6，前4行的点数和是1+2+3+4=10.前n行的点数和是1+2+3+4+5+…+n,他有点疑惑，能不能用含n的式子把1+2+3+4+5+…+n表示出来.
小明同学通过阅读课本知道了答案，但他仍在问自己这个结果是怎么来的.经过思考后，他发现：
设S=1+2+3+4+…+（n-1）+n,①
则S=n+（n-1）+…+4+3+2+1，②
由①+②可得…
（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为______，那么，前n行的点数之和为______；
（2）应用：若图1中三角点阵前a行的点数之和为136，求a的值；
（3）拓展：图2是一个梯形点阵，从上向下数有无数多行，其中第1行有两个点，第2行有个三个点，第n行有（ n+1）个点…这个梯形点阵中前b行的点数之和能是300吗？如果能，求出b的值；如果不能，试用一元二次方程说明理由.
参考答案
1.解：A．（x-2）（x+3）=x2，
x2+3x-2x-6=x2，
x-6=0，方程（x-2）（x+3）=x2是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．当a=0时，方程ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．方程x2+x+2=0是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．方程x2+=0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2.解：把x=1代入方程x2-mx+2=0中得：
12-m+2=0，
-m=-2-1，
-m=-3，
m=3，
故选：A．
3.解：∵Δ=m2-4×1×（-8）=m2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
4.解：A．方程2x2+3x+1=0的解为：，故符合题意；
B．方程2x2-3x+1=0的解为：，故不符合题意；
C．方程2x2+3x-1=0的解为：，故不符合题意；
D．方程2x2-3x-1=0的解为：，故不符合题意．
故选：A．
5.解：由题意可得，
36（1-x）2=25，
故选：D．
6.解：∵方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，
对比所求方程可知，x+3=-2或x+3=1
解得x1=-5或x2=-2，
∴方程a（x+m+3）2+b=0的解为-5或-2．
故选：D．
7.解：3m2-3，
=3（m2-1），
=3（m+1）（m-1）．
故答案为：3（m+1）（m-1）．
8.解：2x2+1=3x变形得：2x2-3x+1=0，其一次项系数是-3．
故答案为：-3．
要确定一次项系数，首先要把方程化成一般形式．
9.解：∵x2-2=0，
∴x2=2，
则x1=，x2=-，
故答案为：x1=，x2=-．
10.解：根据题意得：=b2-4ac=4+4（m-1）=4m＞0，且m-1≠0，
解得：m>0且m≠1.
故答案为m>0且m≠1.
11.解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步．
根据矩形面积=长×宽，得x（x-12）=864．
故答案为x（x-12）=864．
12.解：解方程x2-10x+m=0得到等腰三角形的其他两边是2，8或5，5，则对应的m的值为16或25．
故答案为：16或25．
13.解：（1）∵a=1，b=1，c=2，
∴Δ=12-4×1×2=-7＜0，
∴方程无实数根；
（2）∵x2-2x=3，
∴x2-2x-3=0，
则（x-3）（x+1）=0，
∴x-3=0或x+1=0，
解得x1=3，x2=-1．
14.解：
∴2m2+6m-2020=2（m2+3m）-2020=2-2020= -2018
15.
16.解：（1）∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴经过第一轮传染后，共有（2+2x）人感染了病毒．
故答案为：（2+2x）；
（2）设每轮传染中平均一个传染了x人，则第一轮会传染给2x人，第二轮会传染给x（2+2x）人，
依题意得：2+2x+x（2+2x）=288，
整理得：x2+2x-143=0，
解得：x1=11，x2=-13（不合题意，舍去），
答：在每轮传播中，平均一人传染了11个人．
17.（1）如图，点F是BC边的中点.
（2）如图，点H是CD边的中点.
18.解：（1）∵x2+4x+5=（x+a）2+b,
∴x2+4x+5=x2+2×（2x）+22-22+5=（x+2）2+1，
∴a=2，b=1，
故答案为：2；1．
（2）由题意得，，
∵（x+1）2≥0，
∴当x=-1时，2x2+4x-1有最小值-3，无最大值．
19.
20.解：（1）3746=3×83+7×82+4×81+6×80
=1536+448+32+6
=2022．
故答案为：2022；
（2）依题意有：1×n2+4×n1+3×n0=120，
解得n1=9，n2=-13（舍去）．
∴n的值为7．
21.
22.解：（1）由题意，得BQ=2t cm,PB=（5-t）cm.
故答案为：2t,5-t.
（2）在Rt△PBQ中，由勾股定理，得4t2+（5-t）2=25，
解得：t1=0，t2=2．
（3）由题意，得=6，
解得：t1=2，t2=3（不符合题意，舍去），
∴当t=2时，△PBQ的面积等于6cm2．
四边形APQC的面积=S△ABC-S△PBQ=×5×6-6=9（cm2）．
23.解：（1）①三角形点阵中前8行的点数和为：1+2+3+4+5+6+7+8=36；
1+2+3+4+5+6+7+8+……+n=；
故答案为：36，；
（2）由题知，
=136，
解得a1=16，a2=-17．
由a＞0，
所以a=16．
（3）这个梯形点阵中前b行的点数之和不能是300．
令梯形点阵的前b行的点数之和为S，
则S=2+3+…+b+1，
根据（1）中的计算方式可知，
S=，
则=300，
即b2+3b-600=0，
解得b=．
又b为正整数，
故方程的解不符合题意，
所以这个梯形点阵中前b行的点数之和不能是300．
第2页，共2页
