重难提优5 抽象函数的图象与性质
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. (2024饶平二中期中)已知函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋3)，且f(x)在区间(0，2)上单调递增，则f(1)，f，f的大小关系为( )
A. f(1)
A. f(0)＝0 B. f(－3)
3. (2024如皋教学质量调研)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在区间(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式≥0的解集为( )
A. [－2，＋∞) B. [－2，0)∪(0，＋∞)
C. [0，＋∞) D. [－2，0)∪(0，2]
4. (2024常州高级中学期中)已知奇函数f(x)是R上的增函数，若f(3)＝1，则满足－1≤f(x－2)≤0的x取值范围是( )
A. [－1，0] B. [－1，2] C. [1，2] D. [1，3]
5. (淮安楚州中学月考)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f(xy)＋1＝f(x)＋f(y)，且f＝0，则f(210)的值为( )
A. 1 B. 10 C. 11 D. 1 024
6. (2024灌云高级中学、灌南惠泽高级中学期中)f(x)是定义在R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f的值是( )
A. 0 B. C. 1 D.
7. (海安高级中学月考)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，且f(－2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A. [－1，1]∪[3，＋∞) B. [－3，－1]∪[0，1]
C. [－1，0]∪[1，＋∞) D. [－1，0]∪[1，3]
二、 多项选择题
8. (邢台质检联盟月考)已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x，y，都有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，则下列结论中正确的是( )
A. f(0)＝0 B. f(1)＝0
C. f(16)＝16f(2) D. f(x)为奇函数
9. (2024苏州一中月考)已知函数f(x)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，对于任意的x，y∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)，则下列说法中正确的是( )
A. f(x)的图象过点(1，0)和(－1，0)
B. f(x)在定义域上为奇函数
C. 若当x>1时，f(x)>0，则当－1
三、 填空题
10. (盐城亭湖高级中学期中)已知函数f(x)为R上的奇函数，g(x)＝f(x)＋3，g(－2)＝4，则f(2)＝________．
11. (2024常州一中期中)若函数f(x)满足 x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)，且 x1，x2∈[1，＋∞)，>0(x1≠x2)，若f(m)>f(－1)，则实数m的取值范围是________．
12. (2024东台期末)若定义在区间[－2 023，2 023]上的函数f(x)满足：对于任意的x1，x2∈[－2 023，2 023]，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2 024，且当x>0时，f(x)>2 024，若f(x)的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为________．
四、 解答题
13. (扬州红桥高级中学月考)定义在R上的函数f(x)满足对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)>0.
(1) 求f(0)的值；
(2) 证明：f(x)是奇函数；
(3) 试判断f(x)的单调性，并说明理由．
重难提优5 抽象函数的图象与性质
1. B 由函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋3)，得函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．显然f＝f，f＝f，又<1<，f(x)在区间(0，2)上单调递增，所以f
4. B 由于函数f(x)为R上的奇函数， f(3)＝1，则f(－3)＝－f(3)＝－1，f(0)＝0，所以－1≤f(x－2)≤0可化为f(－3)≤f(x－2)≤f(0).又因为函数f(x)在R上单调递增，所以－3≤x－2≤0，解得－1≤x≤2.
5. C 因为定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f(xy)＋1＝f(x)＋f(y)，令x＝y＝1，得f(1)＋1＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝1.令y＝，得f＋1＝f(x)＋f.因为f＝0，所以f(x)＝f＋1，所以f(210)＝f(29)＋1＝f(28)＋2＝…＝f(2)＋9＝f(1)＋10＝11.
6. A 若x≠0，xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f(x＋1)＝f(x).取x＝－，则f(－＋1)＝f，即f＝－f.因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f＝f，所以f＝－f＝－f，解得f＝0，所以f＝f＝f＝f(＋1)＝×f＝5f＝0.取x＝0，则 0·f(0＋1)＝(1＋0)f(0)，即f(0)＝0，f＝f(0)＝0.
7. D 因为在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，且f(－2)＝0，所以f(x)在区间(－∞，0)上也单调递减，且f(0)＝0，f(2)＝－f(－2)＝0，所以当x∈(－∞，－2)∪(0，2)时，f(x)>0，当x∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，所以由xf(x－1)≥0可得或或x＝0，解得－1≤x<0或1≤x≤3或x＝0，即－1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].
8. ABD 对于A，令x＝y＝0，得f(0)＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，则f(1)＝0，故B正确；对于C，令x＝y＝4，得f(16)＝4f(4)＋4f(4)＝8f(4)，再令x＝y＝2，得f(4)＝2f(2)＋2f(2)＝4f(2)，可得f(16)＝8f(4)＝32f(2)，故C错误；对于D，令x＝y＝－1，得f(1)＝－2f(－1)＝0，则f(－1)＝0，再令y＝－1，得f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)，则f(x)为奇函数，故D正确．故选ABD.
9. AC 由题意可知，令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，则f(1)＝0；令x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，则f(－1)＝0，所以f(x)的图象过点(1，0)和(－1，0)，故A正确；令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)，即f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故B错误；令y＝－，则f(－1)＝f(x)＋f＝0，则f＝－f(x).当x>1时，－∈(－1，0).又f(x)>0，则f<0，即当－1
10. －1 由题意，得g(－2)＝f(－2)＋3＝4，即－f(2)＋3＝4，所以f(2)＝－1.
11. (－∞，－1)∪(3，＋∞) 因为 x1，x2∈[1，＋∞)，>0(x1≠x2)，所以f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．因为 x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．若f(m)>f(－1)，则|m－1|>|－1－1|，解得m>3或m<－1，故实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).
12. 4 048 令x1＝x2＝0，得f(0)＝2f(0)－2 024，所以f(0)＝2 024.令x1＝－x2，得f(0)＝f(－x2)＋f(x2)－2 024＝2 024，所以f(－x2)＋f(x2)＝4 048.令g(x)＝f(x)－2 024，则g(x)max＝M－2 024，g(x) min＝N－2 024.因为g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－4 048＝0，又g(x)的定义域关于原点对称，所以g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x) min＝0，即M－2 024＋N－2 024＝0，所以M＋N＝4 048.
13. (1) 取x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0.
(2) 因为f(x)的定义域为R，取y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
故函数f(x)为奇函数．
(3) 函数f(x)在R上单调递增，理由如下：
设x1，x2∈R，且x1
所以f(x2－x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
所以函数f(x)在R上单调递增．
抽象函数问题的常用解题方法：
1. 特殊值法：适用于解选择题，根据抽象函数的性质，选择一个熟悉的函数作为特殊值代入验证，如本练的T2.
特殊函数 抽象函数
f(x)＝x f(xy)＝f(x)f(y)
f(x)＝0 f(x＋y)＝f(xy)
f(x)＝kx(k≠0) f(x±y)＝f(x)±f(y)
2. 赋值法：根据所要求解的问题使自变量取某些特殊值，如本练的T5，T6等．
3. 图象性质法：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于x＝对称，如本练的T11.
