重难提优3　含参不等式中的恒成立与有解问题 课时练习（含解析）高中数学 必修1（苏教版）

重难提优3　含参不等式中的恒成立与有解问题
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一、 单项选择题
1. 在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A. (－1，1) B. (0，2) C. D.
2. (2024常州北郊高级中学阶段调研)已知关于x的不等式x＋2＋a2－a－2≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B. [－1，2]
C. (－∞，]∪[，＋∞)
D. (－∞，－1]∪[2，＋∞)
3. (2024苏州高新区一中月考)若存在x>0，y>0，且x＋y＝1，使不等式＋A. (－∞，－2)∪(6，＋∞)
B. (－∞，－2]∪[6，＋∞)
C. (－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)
D. (－∞，－2－2)∪(－2＋2，＋∞)
4. 在R上定义运算：x y＝x(1－y)，若 x∈R，使得(x－a) (x＋a)>1成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. ∪ B. ∪
C. (－∞，－1)∪ D. (2，＋∞)
5. (2024连云港新海高级中学月考)已知x>0，y>0，且＋＝，若x＋y>m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－4，6) B. (－3，0) C. (－4，1) D. (1，3)
6. (2024沛县沛城高级中学调研)若两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，且不等式x＋A. (－1，2) B. (－∞，－2)∪(1，＋∞)
C. (－2，1) D. (－∞，－1)∪(2，＋∞)
7. 已知不等式(m＋1)x2－mx＋m－1<0的解集为 ，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－∞，－1)　
B. [，＋∞)
C. (－∞，－]
D. (－∞，－]∪[，＋∞)
二、 多项选择题
8. (2024涟水一中月考)已知关于x的不等式ax2－ax＋2>0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值可以是(　　)
A. －2 B. 0 C. 3 D. 7
9. (2024镇江期末)已知y＝x2＋x＋m，则下列命题中正确的是(　　)
A. 命题“ x>0，y>0”的否定是“ x≤0，使得y≤0成立”
B. 若命题“ x∈R，y>0恒成立”为真命题，则m>
C. “m<0”是“方程y＝0有实数解”的充分且不必要条件
D. 若命题“ x∈(－1，1)，y>0”为真命题，则m>－2
三、 填空题
10. (2024荆州八县区期末)若命题“ x∈R，－x2－2mx＋2m－3≥0”为真命题，则实数m的取值范围为________．
11. (2024响水清源高级中学学情分析考试)若两个正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，且不等式xy≥m2－6m恒成立，则实数m的取值范围是________．
12. (2024江都中学、仪征中学联考)设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数).若不等式y≥2ax＋b的解集为R，则的最大值为________．
四、 解答题
13. (2024徐州期中)已知函数y＝x2－mx＋3.
(1) 若y≤－4的解集为[2，n]，求实数m，n的值；
(2) 若 x∈，不等式y≥2－x2恒成立，求实数m的取值范围．
重难提优3　含参不等式中的恒成立与有解问题
1. C　由运算法则，得(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)<1，化简，得x2－x－a2＋a＋1>0恒成立，所以Δ＝(－1)2－4(－a2＋a＋1)<0，解得－2. D　因为不等式x＋2＋a2－a－2≥0恒成立，所以a2－a－2≥－x－2，则a2－a－2≥(－x－2)max.令＝t，t≥0，则－x－2＝－t2－2t＝－(t＋1)2＋1，当t＝0时，取得最大值，最大值为0，所以a2－a－2≥0，解得a≤－1或a≥2.
3. C　因为x>0，y>0，x＋y＝1，所以＋＝(x＋y)(＋)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立．因为不等式＋2＋2.
4. A　由题意，得(x－a) (x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a＝－＋a2－a＋.若 x∈R，使得(x－a) (x＋a)>1，则需函数y＝－(x－)2＋a2－a＋的最大值大于1，即当x＝时，y＝a2－a＋>1成立，解得a<－或a>，故实数a的取值范围是∪.
5. C　因为x>0，y>0，且＋＝，所以x＋2＋y＝(x＋2＋y)(＋)＝(1＋＋＋1)≥(2＋2)＝6，当且仅当＝，即y＝3，x＝1时，等号成立，所以x＋y≥4.因为x＋y>m2＋3m恒成立，所以m2＋3m<4，解得－46. D　由4x＋y＝2xy，得＋＝1，即＋＝1，则x＋＝＝1＋＋≥1＋2＝2，当且仅当4x＝y＝4时，等号成立，则x＋的最小值为2.若不等式x＋2，解得m<－1或m>2，故实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
7. B　因为不等式(m＋1)x2－mx＋m－1<0的解集为 ，所以不等式(m＋1)x2－mx＋m－1≥0恒成立．当m＋1＝0，即m＝－1时，不等式化为x－2≥0，解得x≥2，不是对任意x∈R恒成立，舍去；当m＋1≠0，即m≠－1时，m＋1>0，且Δ＝(－m)2－4(m＋1)·(m－1)≤0，解得m≥.综上，实数m的取值范围是.
8. BCD　当a＝0时，2>0恒成立，满足题意；当a≠0时，需满足解得09. BCD　对于A，命题“ x>0，y>0”的否定是“ x>0，使得y≤0成立”，故A错误；对于B，若命题“ x∈R，y>0恒成立”为真命题，则Δ＝1－4m<0，解得m>，故B正确；对于C，若m<0，则Δ＝1－4m>1>0，可知方程y＝0有实数解，即充分性成立；例如m＝0，方程y＝0有实数解－1，0，不满足m<0，即必要性不成立，所以“m<0”是“方程y＝0有实数解”的充分且不必要条件，故C正确；对于D，若命题“ x∈(－1，1)，y>0”为真命题，因为y＝x2＋x＋m的图象开口向上，对称轴为直线x＝－，则1＋1＋m>0，解得m>－2，故D正确．故选BCD.
10. (－∞，－3]∪[1，＋∞)　由题意，不等式－x2－2mx＋2m－3≥0有解，即不等式x2＋2mx－2m＋3≤0有解．设y＝x2＋2mx－2m＋3，则函数图象开口向上，要使不等式y≤0有解，则函数y＝x2＋2mx－2m＋3的图象与x轴有交点，则Δ＝4m2－4(－2m＋3)≥0，化简，得m2＋2m－3≥0，解得m≤－3或m≥1.
11. [－2，8]　因为正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，所以xy＝4x＋y≥2＝4，即≥4，所以xy≥16，当且仅当y＝4x＝8时，等号成立．由xy≥m2－6m恒成立，得16≥m2－6m，解得－2≤m≤8.
12. 　因为y＝ax2＋bx＋c，所以y≥2ax＋b，即ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0.因为函数是二次函数，所以a≠0.要使不等式y≥2ax＋b的解集为R，则即当x＝1时，a＋(b－2a)＋c－b≥0，即c－a≥0.令t＝c－a，则≤＝＝＝＝≤＝＝，当且仅当＝，即b＝±2a，c＝3a时，等号成立，故的最大值为.
13. (1) y＝x2－mx＋3≤－4，即x2－mx＋7≤0，其解集为[2，n]，
则解得
(2) 由题意，得x2－mx＋3≥2－x2，x∈，
所以m≤2x＋.
因为2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时，等号成立，
所以m≤2，
故实数m的取值范围是(－∞，2].
　 含参不等式恒成立与有解问题的求解方法：
1. 判别式法(如本练的T8，T10，T12)；
2. 最值法(如本练的T11)；
3. 分离变量法(如本练T13(2))；
4. 变换主元法；
5. 数形结合法．