2024-2025学年吉林省吉林九中七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知a＞0，则点P（2，-a）在第（ ）象限.
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
3.下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A. 了解一捆百元钞票中有没有假钞 B. 了解某校八年级一班学生的视力情况
C. 调查某批次灯泡的使用寿命 D. 调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量
4.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. 4cm，5cm，9cm B. 8cm，8cm，15cm C. 5cm，5cm，10cm D. 6cm，7cm，14cm
5.不等式2x+3＜5的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，已知CD∥AB，MN⊥CD于点N，若∠M=32°，则∠1的大小是（ ）
A. 32°
B. 42°
C. 58°
D. 68°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
7.要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______.
8.若x+3是9的算术平方根，y+1是-27的立方根，则x+y=______.
9.关于x,y的方程组的解也是二元一次方程x+y=3的解，则k的值为______.
10.如图，高压电塔的设计中常采用三角形的结构使其更稳固，其中的道理是______.
11.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F分别是垂足.已知AB=2AC，则DE与DF的长度之比是______.
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题8分)
计算：.
13.(本小题8分)
解方程组：.
14.(本小题8分)
解不等式组：，并求其整数解.
15.(本小题8分)
一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180度，求这个多边形的边数．
16.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC的三个顶点的位置如图所示，点A′的坐标是（-2，2）.现将ABC平移，使点A与点A′重合，点B、C的对应点分别是点B′、C′.
（1）请画出平移后的A′B′C′，并写出点B′的坐标______；
（2）点P是ABC内的一点，当ABC平移到A′B′C′后，若点P的对应点P′的坐标为（a,b），则点P的坐标为______.
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，且DE// AC，∠1＝∠2．
（1）求证：AF// BC；
（2）若AC平分∠BAF，∠B＝36°，求∠1 的度数．
18.(本小题8分)
《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行.问：人与车各多少？
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＞∠B，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E.
（1）若∠B=30°，∠ACB=80°，则∠E= ______；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，并证明.
20.(本小题8分)
某校为了解“阳光体育”的开展情况，从全校2000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能写一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据信息回答问题：
（1）被调查的学生共有______名，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，m= ______，n= ______，C所在的圆心角为______；
（3）全校学生中，喜欢篮球的大约有______人．
21.(本小题8分)
近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为3m2和1m2.已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元.
（1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
（2）若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？并列出所有方案.
22.(本小题8分)
【课本再现】苏科新版七年级数学下册第7章平面图形的认识（二）第43页第21题如下：如图1，∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D.
【特殊探究】当∠OAB=60°时，∠ADB= ______°；
【推理论证】随着点A、B的运动，∠ADB的大小会变吗？如果不会，求∠ADB的度数；如果会，请说明理由；
【拓展探究1】如图2，在图1的基础上分别作∠DAO与∠DBO的平分线，交于点E，则∠AEB= ______°；
【拓展探究2】如图3，若将图1中的“∠MON=90°”拓展为一般情况，即∠MON=α，点P是射线OM反向延长线上的一个动点，连接BP，∠OPB与∠OBP的平分线相交于点Q，延长BQ交直线PM于点G，试判断∠PQG 与∠D的数量关系，并说明理由.
参考答案
1.解：A．=4，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．是无理数，故本选项符合题意；
C．=2，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
2.解：∵a＞0，
∴-a＜0，
∵点P的横坐标是正数，纵坐标是负数，
∴点P在平面直角坐标系的第四象限．
故选：D．
3.解：A、了解一捆百元钞票中有没有假钞，适宜采用全面调查，不符合题意；
B、了解某校八年级一班学生的视力情况，适宜采用全面调查，不符合题意；
C、调查某批次灯泡的使用寿命，适宜采用抽样调查，符合题意；
D、调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量，适宜采用全面调查，不符合题意；
故选：C．
4.解：A、∵5+4=9，9=9
∴该三边不能组成三角形，A选项错误；
B、∵8+8=16，16＞15
∴该三边能组成三角形，B选项正确；
C、∵5+5=10，10=10
∴该三边不能组成三角形，C选项错误；
D、∵6+7=13，13＜14
∴该三边不能组成三角形，D选项错误；
故选B。
5.解：移项得，2x＜5-3，
合并同类项得，2x＜2，
系数化为1得，x＜1．
在数轴上表示为：
．
故选：A．
6.解：如图，∵MN⊥CD，
∴∠MNE=90°，
∵∠M=32°，
∴∠MEN=58°，
∵CD∥AB，
∴∠1=∠MEN=58°，
故选：C．
7.解：要使二次根式有意义，必须x-3≥0，
解得：x≥3．
故答案为：x≥3．
8.解：∵x+3是9的算术平方根，
∴x+3=3，
∴x=0，
∵y+1是-27的立方根，
∴y+1=-3，
∴y=-4，
∴x+y=0+（-4）=-4，
故答案为：-4．
9.解：解得：，
∴2×-3×=2k-1，
解得：k=3，
故答案为：3．
10.解：高压电塔的设计中常采用三角形的结构使其更稳固，其中的道理是：三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
11.解：在△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴S△ABD=S△ACD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴，
∵AB=2AC，
∴2DE=DF，即DE与DF的长度之比是，
故答案为：．
12.解：
=
=．
13.解：，
①×3得：6x+9y=3③，
②×2得：6x+10y=4④，
④-③得：y=1，
把y=1代入①得：x=-1，
∴方程组的解为：．
14.解：解不等式①得，x≤2，
解不等式②得，x＞-2，
所以不等式组的解集为：-2＜x≤2，
则不等式组的整数解为-1，0，1，2．
16.解：（1）∵点A′的坐标是（-2，2），点A的坐标是（3，4），
∴平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∵点B的坐标是（1，3），点C的坐标是（4，1），
∴点B′的坐标是（-4，1），点C′的坐标是（-1，-1），
∴平移后的A′B′C′如图所示：
（2）由（1）得：平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∵点P的对应点P′的坐标为（a,b），
∴点P的坐标为（a+5，b+2），
故答案为（a+5，b+2）；
19.解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=80°，
∴∠BAC=180°-30°-80°=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC=35°，
∴∠PDE=∠B+∠BAD=65°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE=90°，
∴∠E=90°-∠PDE=25°；
（2）∠E=（∠ACB-∠B），理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC=（180°-∠B-∠ACB）=90°-（∠B+∠ACB），
∴∠PDE=∠B+∠BAD=90°+（∠B-∠ACB），
∵PE⊥AD，
∴∠DPE=90°，
∴∠E=90°-∠PDE=（∠ACB-∠B）．
20.解：（1）由条形图可知，喜欢乒乓球的人数是20人，
由扇形图可知，喜欢乒乓球的人数所占的百分比是20%，
则被调查的学生共有20÷20%=100（人），
故答案为100；图见答案；
（2）m%=30÷100=0.3=30%，n%=10÷100=0.1=10%，
则m=30，n=10，C所在的圆心角为360°×（1-30%-20%-10%）=144°，
故答案为30；10；144°.
（3）全校学生中喜欢篮球的人数大约是2000×10%=200人．
21.解：（1）设该小区新建一个地上充电桩需x万元，一个地下充电桩需y万元，
根据题意得：，
解得：，
答：该小区新建一个地上充电桩需0.2万元，一个地下充电桩需0.3万元；
（2）设新建地下充电桩m个，则新建地上充电桩（60-m）个，
根据题意得：，
解得：40≤m≤42，
又∵m为正整数，
∴m可以为40，41，42，
∴共有3种建造方案：
①新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；
②新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；
③新建18个地上充电桩，42个地下充电桩．
22.解：【特殊探究】∵∠MON=90°，∠OAB=60°，
∴∠ABN=∠MON+∠OAB=90°+60°=150°，
∵AD平分∠OAB，BC平分∠ABN，
∴∠BAD=∠OAB=×60°=30°，∠ABC=∠ABN=×150°=75°，
又∵∠ADB+∠BAD=∠ABC，
∴∠ADB=∠ABC-∠BAD=75°-30°=45°，
故答案为：45；
【推理论证】∠ADB的大小不会变，∠ADB=45°，理由如下：
∵∠BAC=∠ADB+∠BAD，
∴∠ADB=∠BAC-∠BAD，
∵AD平分∠OAB，BC平分∠ABN，
∴∠BAD=∠OAB，∠ABC=∠ABN，
∴∠ADB=∠ABN-∠OAB，
∵∠ABN=∠AOB+∠OAB=90°+∠OAB，
∴∠ADB=（∠ABN-∠OAB）=（90°+∠OAB-∠OAB）=45°，
即∠ADB的大小不会变，∠ADB=45°；
【拓展探究1】如图2，设AD与BE交于点F，
∵AE平分∠DAO，BE平分∠DBO，
∴∠DAE=∠OAE=∠DAO，∠DBE=∠OBE=∠DBO，
∵AD平分∠OAB，BC平分∠ABN，
∴∠DAO=∠BAD=∠OAB，∠ABC=∠ABN，
∴∠DAE=∠DAO=∠OAB，
由【推理论证】可知，∠ADB=45°，
∵∠AFB=∠AEB+∠DAE=∠ADB+∠DBE，
∴∠AEB+∠OAB=45°+∠DBO
=45°+（180°-∠OBC）
=45°+90°-（∠ABO+∠ABC）
=135°-∠ABO-∠ABN
=135°-∠ABO-×（90°+∠OAB）
=135°-∠ABO-22.5°-∠OAB，
∴∠AEB=135°-22.5°-×90°=67.5°，
故答案为：67.5；
【拓展探究2】∠PQG=∠D，理由如下：
∵AD平分∠OAB，BC平分∠ABN，
∴∠BAD=∠OAB，∠ABC=∠ABN，
∵∠ABN=∠MON+∠OAB，∠ABC=∠D+∠BAD，
∴∠D+∠BAD=（∠MON+∠OAB），
∴∠D+∠OAB=∠MON+∠OAB，
∴∠D=∠MON=α，
∵∠OPB与∠OBP的平分线相交于点Q，
∴∠QBP=∠OPB，∠QPB=∠OPB，
∴∠QBP+∠QPB=（∠OBP+∠OPB），
∵∠MON=∠OBP+∠OPB，
∴∠QBP+∠QPB=∠MON=α，
∵∠PQG=∠QBP+∠QPB，
∴∠PQG=α，
∴∠PQG=∠D．
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