2024—2025年度第一学期初三年级期末考试数学试题
一、选择题（每题3分，共30分）
1．未来将是一个可以预见的AI时代．AI一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）.
A．B．C． D．
2．已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（ ）.
A. 一定在⊙O 的内部 B. 一定在⊙O 的外部C. 一定在⊙O 的上 D. 不能确定
3.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A.小明的影子比小强的长 B.小明的影子比小强的短
C.小明的影子和小强的一样长 D.无法判断谁的影子长
4．若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶2,则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）.
A. 1∶2 B. 2∶1 C. 1∶4 D. 4∶1
5．函数 与（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能( ).
A． B． C． D．
6. 如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC'，点C'在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）.
7.如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴于B点。若S△AOB＝5，则k的值为（ ）.
A. 10 B. -10 C. -5 D.
(第6题图） (第7题图）
8.已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）.
A．k≥2 B．k≤2
C．﹣1≤k≤2 D．﹣1≤k≤2且
9.已知：如图，弦AB的垂直平分线交⊙O于点C、D，则下列说法中不正确的是 ( ).
A. 弦CD一定是⊙O的直径 B. 点O到AC、BC的距离相等
C. ∠A与∠ABD互余 D. ∠A与∠CBD互补
（第9题图） （第10题图）
10如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）和B（4，0），点C为抛物线的顶点，则下列结论：
①abc＞0；②关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为﹣2＜x＜4；
③3a+c＜0；④若△ABC是直角三角形，则点C的坐标为（1，﹣3）；
⑤若m为任意实数，则am2+bm＞a+b．
其中结论正确的个数是（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
填空题（每题3分，共15分）
11.等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为 ．
12.如图所示，在□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF︰FC等于 ．
直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是 ．
14.如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，则△OAB的面积等于 ．
15.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5，AB为半圆的直径，M为圆心，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 ．
解答题（共7道题，共55分）写出必要的解题过程；
16．（5分）解方程：2（x﹣5）2＝5﹣x
17.（7分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A（3，2）、B（0，2）、C（1，0）．解答问题：
（1）请按要求对△ABC作如下变换：
①将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1．
②以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2；并写出点A1，A2的坐标： ， ．
（2）在△ABC内，点P的坐标为（a，b），在△A1B1C1中与之对应的点为Q，在△A2B2C2中与之对应的点为R．则S△PQR＝ ．（用含a，b的代数式表示）
18.（7分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图所示，当李明走到点A时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m.已知李明直立的身高为1.75 m.求路灯的高度CD.（结果精确到0.1 m）
19.（8分）“读书，使人思想活跃，聪颖智慧；使人增长见识，谈吐不凡；使人目光远大，志存高远”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆384人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1824人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1350人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
20. （8分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（3，n）、B（﹣1，﹣3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D，交AB于点E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，BD＝4，求AB长．
22. （12分） 如图1，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线在第一象限上一动点，连接PB、PC，当△PBC的面积最大时，求出点P的坐标；
（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，且满足∠QBC＝45°﹣∠ACO，请直接写出点Q坐标．
2024—2025年度第一学期初三年级期末考试数学试题答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．D 2.B 3.D 4．C 5.A 6.B 7.B 8.C 9.D 10.C
二．填空题（每题3分，共15分）
11.10 12.1：2 13.30°和150°14. 15.
三、解答题（共55分）写出必要的解题过程
16．（5分）解方程： 2（x﹣5）2＝5﹣x．
解：2（x﹣5）2＝5﹣x，
2（x﹣5）2+（x﹣5）＝0，--------------------------------1分
（x﹣5）[2（x﹣5）+1]＝0，----------------------------2分
x﹣5＝0或2（x﹣5）+1＝0，---------------------------4分
x1＝5，------------------------------------------------5分
（7分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A（3，2）、B（0，2）、C（1，0）．解答问题：
（1）请按要求对△ABC作如下变换：
①将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1．
②以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2；并写出点A1，A2的坐标： ， ．
（2）在△ABC内，点P的坐标为（a，b），在△A1B1C1中与之对应的点为Q，在△A2B2C2中与之对应的点为R．则S△PQR＝ ．（用含a，b的代数式表示）
解：（1）如图，请按要求对△ABC作如下变换：
①则△A1B1C1 为所求
②则△A2B2C2为所求--------------------------------------------2分
点A1的坐标为（﹣2，3），
点A2的坐标为（﹣6，﹣4）．---------------------------------4分
故答案为（﹣2，3），（﹣6，﹣4）；
（2）易得Q（﹣b，a），R（﹣2a，﹣2b），
PR＝3，OQ OQ⊥OP，-------------------------------5分
∴S△PQRPR×QO3=（a2+b2）．---------------7分
524318.（7分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图所示，当李明走到点A时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m.已知李明直立的身高为1.75 m.求路灯的高度CD.（结果精确到0.1 m）
解：设CD的长为xm.∵ AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,∴ MA∥CD,BN∥CD.------2分
又EA＝MA，∴ EC=CD=.由BN∥CD可得△ABN ∽△ACD---------------4分
∴ 即， ------------------6分
解得=6.125≈6.1.∴ 路灯高CD约为6.1 m.---------------------------7分
19.（8分）“读书，使人思想活跃，聪颖智慧；使人增长见识，谈吐不凡；使人目光远大，志存高远”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆384人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1824人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1350人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
384+384（1+x）+384（1+x）2＝1824．
化简得：4x2+12x﹣7＝0．
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）．
答：进馆人次的月平均增长率为50%．---------------------4分
（2）能，理由如下：------------------------------------------------5分
∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：384（1+50%）3＝3841296＜1350．-----------------7分
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．------------------------------------------------8分
20.(8分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（3，n）、B（﹣1，﹣3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围．
解：（1）将B（﹣1，﹣3）代入 中，
得
解得m＝3，
∴反比例函数解析式为： ---------------------------------------2分
∵点A（3，n）在反比例函数上，
∴n＝1，
将A（3，1）、B（﹣1，﹣3）代入y1＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数的解析式为：y1＝x﹣2．----------------------------------------4分
（2）由（1）得，直线AB的解析式为：y＝x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
令y＝0，则x＝2，
∴此函数图象与x轴交点坐标为（2，0），与y轴交点坐标为（0，﹣2），--------------5分
∴．----------------------------------6分
（3）∵一次函数和反比例函数交于A（3，1），B（﹣1，﹣3）两点，
∴A、B横坐标分别为3、﹣1，-------------------------------------------------------------7分
∵y1＞y2
∴一次函数图象要位于反比例函数图象上方，即在点A的右侧，点B的左侧，
∴﹣1＜x＜0或x＞3．---------------------------------------------------8分
21.（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D，交AB于点E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，BD＝4，求AB长．
（1）证明：∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝∠OAD，
∴∠DAC＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠BDO＝∠C＝90°，----------------------------------------------4分
∵OD是半径，------------------------------------------------------5分
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝OA＝r，OB＝2+r，AB＝2+2r，
由勾股定理得，OB2﹣OD2＝BD2，即（2+r）2﹣r2＝42，--------------------------6分
解得，r＝3，------------------------------------------------------------------------7分
∴AB＝2+2×3＝8，
∴AB的长为8．------------------------------------------------------------------------8分
22．（12分）如图1，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线在第一象限上一动点，连接PB、PC，当△PBC的面积最大时，求出点P的坐标；
（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，且满足∠QBC＝45°﹣∠ACO，请直接写出点Q坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4；----------------------------------------------------3分
（2）如图，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，
在y＝﹣x2+3x+4中，当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），---------------------------------------------------------------------------4分
设直线BC的解析式为y＝kx+4，
将点B（4，0）代入y＝kx+4，
得4k+4＝0，
∴k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，----------------------------------------------------5分
设P（x，﹣x2+3x+4），则N（x，﹣x+4），
∴PN＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+4x，
∴S△PBCPN OB（﹣x2+4x）×4＝﹣2（x﹣2）2+8，----------------------7分
∴当x＝2时，△PBC的面积最大，
∴P（2，6）；-----------------------------------------------------------------------------8分
（3）设Q（m，﹣m2+3m+4），
①当点Q在直线BC上方时，如图2，过点B作BM⊥x轴，过点Q作QM⊥BM交于M，
∵BO＝OC＝4，
∴∠OBC＝45°，
∴∠CBM＝45°，
∴∠CBQ＝45°﹣∠QBM，
∵∠QBC＝45°﹣∠ACO，
∴∠QBM＝∠ACO，
∵∠AOC＝∠QMB＝90°，
∴△AOC∽△QMB，-------------------------------------------------9分
∴，
∴，
解得：m＝3或m＝4（舍），
经检验，m＝3是原方程的解，
∴Q（3，4）；---------------------------------------------------------------------10分
②当点Q在直线BC上下方时，如图3，过点Q作QN⊥x轴交于N，
∵∠OBC＝45°，∠QBC＝45°﹣∠ACO，
∴∠QBN＝∠ACO，
∵∠AOC＝∠QNB＝90°，
∴△AOC∽△QNB，---------------------------------------------11分
∴，
∴，
解得m＝4（舍）或
经检验，是原分式方程的解，
∴Q（，）；------------------------------------------------12分
综上所述：Q点坐标为（3，4）或（，）．
