杭州市部分重点中学 2024-2025 学年高二下学期开学考试数学试题
考生须知：
1.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写学校 班级 姓名 试场号 座位号及准考证号；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷.
一 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.直线 3x - y + 2025 = 0的倾斜角为（ ）
A. 30o B. 60o C.120o D.150o
2.已知直线 l的方向向量u
r
= 1,5,4 ，平面a nr的法向量 = 3,5, x ，若直线 l与平面a 平行，则实数 x的
值为（ ）
A.7 B. -7 C.2 D. -2
3.已知直线 l1 : mx - y - 3 = 0与直线 l2 : 2x + m + 3 y +1 = 0垂直，则实数m 的值为（ ）
A.3 B. -3 C.2 D.1
y2 x24.已知双曲线 - =1的焦距为 2 3 ，则m 的值为（ ）
m 2
A.4 B.2 C.1 D. 2
5.圆 x2 + y2 - 4 = 0与圆 x2 + y2 - 2x + 2y - 6 = 0 的公共弦长为（ ）
A. 2 3 B. 3 C. 14 D. 14
2
6.已知等差数列 an ,m,n, p N* ，则“ 2n = m + p”是“ 2an = am + ap ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， BAC = 90
o , AB = AC = AA1 = 4, P是棱 B1C1的中点，则C 到平面
ABP 的距离为（ ）
A. 2 3 B. 2 5 C. 6 5 D. 8 5
5 5
8.已知 F 为抛物线C : y2 = x的焦点，其中O为坐标原点，直线 l交抛物线C 于 A, B 两点，且
uuur uuur
OA OB 1× = - ，点 F 关于直线 l的对称点为 H ，则直线OH 的斜率的最大值为（ ）
4
A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 2 3
3 3 3 3
二 多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.给出下列命题，其中正确的有（ ）
A.空间中任意两个向量一定共面
r r r
B.若空间向量 a = 2,2,-3 ,b = 1,1,1 ar，则 与b 的夹角为钝角
ar r rC.若 ,b ,cr r r是空间的一个基底，则 a,b ,c 中任意两个向量不共线
ar r r,b ,cr r r rD.若 是空间的一个基底，则 a,b ,c - a 也是空间的一个基底
10.已知等差数列 an , bn 的前n项和分别为 Sn ,Tn ，则下列结论正确的有（ ）
Sn 1A.若 =T 2n 1 ，则 an 为常数列n -
S 1
B. n若 = bTn 2n 1
，则 n 为常数列-
Sn n +1 a 8C. 4若 =T ，则
=
n 2n -1 b5 17
Sn n +1D.若 = a bT 2n 1 ，则 n n 是递增数列n -
11.在平面直角坐标系中，圆锥曲线可以用方程来表示，图形的几何性质被方程的系数所确定.曲线的方程
是依赖于坐标系的，而方程所表示的曲线的几何性质是不依赖于坐标系的，所以表示这些几何性质的量，
如圆锥曲线的离心率，焦距等，不会由于直角坐标系的位置变化而变化.已知某圆锥曲线的方程为
x2 + xy + y2 =1, P m, n 是曲线上任意一点，则（ ）
A.该曲线关于坐标原点O对称
é 2 ù
B. m2 + n2 的取值范围是 ê ,1 3 ú
C.该曲线是双曲线，离心率为 2
D. 6该曲线是椭圆，离心率为
3
三 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.已知公比不为±1的等比数列 an 满足 a12a13 = a2am ，则正整数m 的值为__________.
13.已知圆O : x2 + y2 = 5，其中O为坐标原点，直线 l : x + my -1 = 0 m R 与圆O交于点 A， B ，则
VAOB 的面积的最大值为__________.
14.在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 P 是线段 BC1上的一点，则直线 DP与平面 AC1D所成角的正弦值
的取值范围为__________.
四 解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
已知数列 a 2n 的前n项和为 Sn , Sn = n .
（1）求 an 的通项公式；
1
（2）设bn = b n Tana
，求数列 n 的前 项和 n .
n+1
16.（15 分）
2
在平面直角坐标系中，曲线 y = x - 4x + 3与坐标轴的交点都在圆C 上.
（1）求圆C 的方程；
（2）设 P 是直线 l : y = 2x - 2上的一点，过 P 向圆C 引两条切线，切点为 A, B ，使得VPAB 为正三角
形，求点 P 的坐标.
17.（15 分）
1 π
如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PA = PD = 2, AB = BC = AD =1， BAD = ABC = , E 是
2 2
PD的中点.
（1）证明：CE∥平面 PAB ；
（2）若 PC = 2 ，求平面 EBC 与平面 PAB 夹角的余弦值.
18.（17 分）
x2 y2 1
已知椭圆C : + =1 a > b > 0 的离心率为 ，长轴长为 4.
a2 b2 2
（1）求椭圆C 的方程；
2 2 2
（2）过点T t,0 (t < 0) 的直线 l1交圆 x + y = b 于点M N ，直线 l2 : y = kx垂直MN ，且交C 于点
P Q ，交MN 于点 A .记VPAN ,VQAM 的面积分别为 S1, S2 .
S
i 1
1
（ ）若 =S 3 ，求
t 的取值范围；
2
（ii）是否存在常数 t ，使得 S1 + S2 为定值？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由.
19.（17 分）
已知数列 an , bn ，定义 an 和 bn 的“生成数列 cn ”为： c1 = a1 + b1，
cn = bn + min cn-1, a1 + a2 +L+ an n 2, n N* ，其中min cn-1,a1 + a2 +L+ an 表示 cn-1和
a1 + a2 +L+ a
*
n 两个数中较小的数；定义 an 和 bn 的“生成点列 Pn ”为： Pn an ,bn n N .
（1）若 a1 = 2, a2 = 3,b1 = 4,b2 =1，求 c2的值及线段 P1P2 的长；
（2）若 P1, P2 = 12,10 , 2,7 ，求 c2的所有可能值；
（3）若 P1, P2 , P3 , P4 , P5 = 12,10 , 6,1 , 20,12 , 12,12 , 2,7 ，求 c5 的最大值，并求出此时所有可
能的数列 an 与 bn .
参考答案
一 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.B 2.B 3.A 4.C 5.C 6.A 7.D 8.C
二 多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分
9.ACD 10.ACD 11.AD
三 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
é 1 ù
12.23 13.2 14. ê0, 2 ú
四 解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 2（1）当 n 2 时， an = Sn - Sn-1 = n - (n -1)
2 = 2n -1，
当 n =1时， a1 = S1 =1，符合上式，
所以 an = 2n -1；
1 1 1 1 1
（2）由（1）可知，bn = = = -a a ÷，n n+1 2n -1 × 2n +1 2 è 2n -1 2n +1
1 1 1 1 1 1 n
所以Tn = b1 + b2 +L+ b
n = 1- + - +L+ -
÷ = .2 è 3 3 5 2n -1 2n +1 2n +1
16.（1）曲线 y = x2 - 4x + 3与坐标轴的交点为 1,0 , 3,0 , 0,3
由题意可设C 的圆心坐标为 2, t ，
2
所以 (2 -1) + (t - 0)2 = (2 - 0)2 + (t - 3)2 ，解得 t = 2，
2
所以圆C 的方程为 (x - 2) + (y - 2)2 = 5 .
（2）由题意得 PCA = 60o ，在RtVPCA中， PC = 2r = 2 5 ，
设 P a, 2a - 2 2 2 2，则 | PC | = (a - 2) + (2a - 2 - 2) = 20 ，解得 a = 0或 a = 4，
所以点 P 的坐标为 0, -2 或 4,6 .
17.（1）取 PA 中点 F ，连接 EF , BF ，由条件可知， EF 是VPAD 的中位线，
1
所以 EF ∥ AD，又因为 BC
1
∥ AD ，所以 EF∥BC ，
2 2
所以四边形 EFBC 是平行四边形，
所以CE∥ BF ，又因为CE 平面 PAB, BF 平面 PAB ，
所以CE∥平面 PAB ；
（2）取 AD 中点O，连接 PO,OC ，由条件可知，在等腰直角三角形 PAD 中， PO =1，
在直角梯形 ABCD中，CO =1，由 PO2 + OC 2 = PC 2 ，故 PO ^ OC ，
又因为 PO ^ AD, AD,OC 平面 ABCD, AD CO = O ，
所以 PO ^平面 ABCD，
如图以O为坐标原点，分别以OA,OC,OP 为 x轴， y 轴， z 轴，
建立空间直角坐标系O - xyz ，
则 A 1,0,0 , B 1,1,0 , P 0,0,1 ,C 0,1,0 , D -1,0,0 ，
1 uuur uuur uuur uuur
故 E - ,0,
1
÷ , BC = -1,0,0 , EB =
3
,1,
1
- ÷ , AB = 0,1,0 , AP = -1,0,1 ，
è 2 2 è 2 2
ur uuur
ur ìn × BC = 0, ì-x1 = 0,
设平面 EBC 的一个法向量为 n1 = x1, y1, z
1
1 ，则 íur uuur 得 í3 x y 1 n1 × EB = 0, 1 + 1 - z1 = 0, 2 2
ur
取 n1 = 0,1,2 ，
uur uuur
uur ìn × AB = 0, ìy = 0,
设平面 PAB 的一个法向量为 n2 = x2 , y2 , z
2 ，则 íuur
2 uuur 2得 í
n × AP = 0, -x2 2 + z2 = 0,
uur
取 n2 = 1,0,1 ，
ur uur
n1 ×n2 10
设平面 EAB 与平面 PAB 的夹角为q，则 cosq = ur uur = ，
n 51 n2
即平面 EAB 10与平面 PAB 夹角的余弦值为 .
5
c 1
18.（1）由题意知： 2a = 4, = ，解得 a = 2,c =1，故b2 = a2 - c2 = 3，所以椭圆C 的方程为
a 2
x2 y2
+ =1 .
4 3
（2）（i）由题可知 A是MN 的中点，即 AM = AN ，且 OP = OQ ，
S 1 PA AN , S 1
S PA 1
易知 1 = × 2 = QA × AM
1
，故 = = ，故 A是OP 的中点.
2 2 S2 QA 3
①当 k = 0时，易知 P -2,0 , A -1,0 ，此时 t = -1；
ì y = kx,
②当 k 0 2 2时，由 í x2 y2 得 3 + 4k x =12，由条件可知
+ =1, 4 3
-2 3 -2 3k P , , A - 3 , - 3k
÷ ÷，
è 3+ 4k 2 3+ 4k 2 ÷ è 3+ 4k 2 3+ 4k 2 ÷
3k 1 3
故直线MN 的方程为： y + = -
3 + 4k 2 k
x + ÷ ，
è 3 + 4k 2 ÷
- 3 k 2 +1
由直线MN 过点T t,0 (t < 0) ，故 t = .
3+ 4k 2
2
由 OA < b 可知 OA 3 × 1+ k= < 3 得 k R ，又 k 0，故 k 0，
3+ 4k 2
2
此时令u = 3+ 4k u > 3 ，则 t 3 1= - u + ÷，当u 3, + 时， t 单调递减，故 t < -1 .4 è u
综上， t 取值范围是 - ,-1 .
1 1
（ii）由题得 S1 + S2 = PA × AN + QA × AM
1
= AN PA + QA = AN × OP ，
2 2 2
2 2 3 t t 2
由（i）可知 OP = 1+ k , OA = ，故
2 2 AN = 3- ，3 + 4k 1+ k 1+ k 2
2 2 2
所以 S1 + S
2 3 3 - t + 3k
= 3 - t 3 32 ，当 = ，即 t = - , S1 + S2 为定值 3.3 + 4k 2 3 4 2
19.（1）由题可知， c1 = a1 + b1 = 6,c2 = b2 + min c1, a1 + a2 =1+ 5 = 6，
P1 2,4 , P2 3,1 ，所以 P1P2 = (2 - 3)2 + (4 -1)2 = 10 .
（2）若 a1 =12,b1 =10,a2 = 2,b2 = 7 ，则 c1 = a1 + b1 = 22,c2 = 7 + min 22,14 = 21，
若 a1 = 2,b1 = 7, a2 =12,b2 =10 ，则 c1 = a1 + b1 = 9,c2 =10 + min 9,14 =19
综上： c2的可能取值为 21 或 19.
（3）当 n 2 时， cn = bn + min cn-1, a1 + a2 +L+ an = min cn-1 + bn , a1 + a2 +L+ an + bn ，
所以 c1 = a1 + b1,c2 = min a1 + b1 + b2 , a1 + a2 + b2 ，
c3 = min a1 + b1 + b2 + b3 ,a1 + a2 + b2 + b3 ,a1 + a2 + a3 + b3 ，
c4 = min a1 + b1 + b2 + b3 + b4 ,a1 + a2 + b2 + b3 + b4 ,a1 + a2 + a3 + b3 + b4 , a1 + a2 + a3 + a4 + b4 L即
cn = min a +L+ a + b + b +L+ b 1 i n 1 i i i+1 n ，
故 cn 是下述“Z ”型折线中的各数之和的最小值.
a1 a2 a3 L ai L an
b1 b2 b3 L bi L bn
a1 a2 a3 L ai L an
b1 b2 b3 L bi L bn
a1 a2 a3 L ai L an
b1 b2 b3 L bi L bn
a1 a2 a3 L ai L an
b1 b2 b3 L bi L bn
下面尝试寻求 c5 的最大值，为了使得和尽量的大，上述“Z ”型折线应该尽量经过较大的数字，故我们可
以尝试下述填法：
20 12
12 12
此时不难进一步得到下述填法：
20 12 6 2 12
12 10 1 7 12
c1 = a1 + b1 = 32,c2 =10 + 32 = 42,c3 =1+ 38 = 39,c4 = 7 + 39 = 46,c5 =12 + 46 = 58.
下面我们证明 58 是 c5 的最大值，设存在某种填法，使得 c5 59 ，
情形一：若 a1 20，则 c5 a1 + b1 + b2 + b3 + b4 + b5 = a1 + 42 54，矛盾，从而 a1 = 20；
情形二： a1 = 20，则b1 =12，此时填法如下
20 a2 a3 a4 a5
12 b2 b3 b4 b5
从而59 c5 20 + a2 + b2 + b3 + b4 + b5 = a2 + 50 ，所以 a2 9，所以 a2 =12，
（1）若填法为
20 12 a3 a4 a5
12 12 b3 b4 b5
则59 c5 20 +12 + a3 + b3 + b4 + b5 = 50 + a3，所以 a3 9 ，所以 a3 =12 ，
故填法如下：
20 12 12 a4 a5
12 12 10 b4 b5
则59 c5 20 +12 +12 + a4 + b4 + b5 = 52 + a4 ，所以 a4 7，矛盾，舍；
（2）若填法为
20 12 a3
12 10 b3 b4 b5
同（1）可知此时不成立，舍；
综上， c5 的最大值为 58，且所有可能的填法如下：
20 12 6 2 12 20 12 6 12 2 20 12 12 6 2
12 10 1 7 12 12 10 1 12 7 12 12 10 1 7
即取到最大值的 an , bn 如下：
① a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 = 20,12,6,2,12 , b1,b2 ,b3 ,b4 ,b5 = 12,10,1,7,12 ，
② a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 = 20,12,6,12,2 , b1,b2 ,b3 ,b4 ,b5 = 12,10,1,12,7 ，
③ a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 = 20,12,12,6,2 , b1,b2 ,b3 ,b4 ,b5 = 12,12,10,1,7 .
