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数学参考答案
1.【答案】C
【解析】∵M {x | 1≤ x≤3}， N {x | x 0}，∴M N {x | 0 x≤3}，所以 C 正确.
2.【答案】B
【解析】∵ z 1 2i 是方程的一个根，则 z 1 2i也是该方程的一个根，∴ a 1 2i 1 2i=2，a 2 ，
b (1 2i)(1 2i)=5 ， a b 3，所以 B 正确.
3.【答案】B
【解析】取 l1上两点 A(1,0)， B(0,1)，则 AB ( 1,1) 可以作为 l1的一个方向向量.设 PQ (m,n) 为 l2 的方向向
量，∵ l1 l2 ，∴ AB PQ 0， m n 0，即m n，所以 B 正确.
4.【答案】A
x 1
【解析】∵ y e 2 ，∴曲线 y e
x tan x在 x 0 处的切线的斜率为 2，即 tan 2 .
cos x
1 sin 2 (sin cos )2 sin cos tan 1
又∵ 3，所以 A 正确.
cos 2 (cos sin )(cos sin ) cos sin 1 tan
5.【答案】B
【解析】设圆台的上，下底面半径分别为 r， R，则 2 r 2 且 2 R 4 ，即圆台的上，下底面半径分别为1，
2 .如图∵ AD BC 0，∴ DOC AOB ，
2 A
2 OC 2 OB
由 2 ， 4 得OC 4 ，OB 8，
4 4 D
即圆台的母线 BC 4 .∴圆台的高h 15 ，圆台的体积
O C B
V 15 7 15 ( 4 ) ，所以 B 正确.
3 3
6.【答案】A
3x2x 3 x 2
【解析】∵函数 f (x) ae x 在 (0, )单调递增，∴ f (x) ae 3x ≥0 ，即 a≥ x 在 (0, )上恒成立.e
h(x) 3x
2 3x(2 x)
令 = x ，由 h (x) = x 0 ，得0 x 2，∴ h(x) 在 (0, 2) 单调递增，在 (2, ) 单调递减，∴e e
a h(2) 12≥ f (x) ae x x32 是函数 在 (0, )单调递增的充要条件.所以 A 正确.e
7.【答案】A
x x 2
【解析】设 g(x) f (x) 2 2 2 ，则 g(x) 是R 上的奇函数且单调递增，∵ g(x ln x) g( x ax) 0 ，
数学参考答案 第 1页（共 9 页）
∴ g(x ln x) g(x 2 ax) ， x ln x 1 x x2 ax，∴ a ln x x在 (0, )上有解，设 h(x) ln x x，h (x) ∴
x
h(x) ln x x在 (0,1) 单调递增，在 (1, )单调递减，即 h(x)max h(1) 1，∴ a 1，所以 A 正确.
8.【答案】D
【解析】如图 |MF1 | |MF2 | ， | NP | | NH | r ， |MP | |MQ | ， | HF2 | |QF2 | ，∵ | NP | | NM | |MP | ，
y
| NH | | NF2 | | HF2 |， M
∴ | NP | | NH | | NM | | NF2 | (|MP | | HF2 |) ， P Q
即 2r | NM | | NF2 | |MF2 | ， N
H
2r | NM | | NF2 | |MF1 | ， F1 O F2 x
2r | NM | | NF2 | (| NF1 | | NM |) | NF2 | | NF1 | 2a ，
∴ a r ，
∴ | NF1 | a， | NF2 | | NF1 | 2a 3a .∵在直角△F1NF2 中有 | NF
2
1 | | NF2 |
2 | F F |2 2 21 2 ，∴10a 4c ，即C的
e 10离心率 .所以 D 正确.
2
9.【答案】AB
T 2
【解析】由图像可得 A 2 ，∵ ， T ，∴ 3 ，又 f ( ) 2cos( ) 0 ，∴
4 9 18 3 9 3
2k ，(k Z且 | | ) ，∴ 即 f (x) 2cos(3x ).∴A 正确.
3 2 2 6 6
f (x 4 ∵ ) 2cos(3x 3 ) 2sin3x ， ∴ B 正 确 . ∵ 2k ≤3x ≤2k ，k Z ， 当 k 1 时 ，
9 2 6
5 11
≤x≤ ，∴C 错误.将 f (x)图象上所有点的横坐标变为原来的 3 倍，得到函数
18 18
y 2 2cos(x ) 2sin(x ) 2sin(x )，∴D 错误.
6 6 2 3
10.【答案】ACD
f ( x) a | x |3 2【解析】∵ ( x) | x | 1 a | x |3 (x) 2 | x | 1 f (x) ，∴ f (x) 是偶函数，其图象关于 x = 0
数学参考答案 第 2页（共 9 页）
2
a 0 f (x)
x x 1，x≥0，
对称，∴A 正确.当 = 时，∵ 在 ( ,0)单调递增，在 (0, )单调递减，无极小值，
x
2 x 1，x 0
x2x 0 x 1 x
2 x 1
∴B 错误.当 = 时， f (0) 1 >0， a R ①.当 x 0 时， f (x)≥0 a≥ 3 ，令 h(x) = ，x x3
2
h (x) x 2x 3 (x 1)(x 3)= 4 4 0，∴ h(x) 在 (0,1) 单调递增，在 (1, )单调递减，∴ h(x)≤ h(1) =1，x x
即 a≥1②.又∵ f (0) 1 >0，且 f (x) 是偶函数，∴综合①②知当 x R 时，若 f (x)≥0 ，则 a≥1，∴C 正确.
当 x 0 时，h(x) ，当 x 1时，h(x) 1，当 x 时，h(x) 0，即当 x 0，0 a 1时， f (x) 有
2 个零点.∴根据对称性知当0 a 1时， f (x) 有 4 个零点，即 D 正确.
11.【答案】BC
2 2 AB
【解析】∵ AC BC AB2 ，∴△ABC的外接圆半径为 r 2 ，∴三棱柱 ABC A
2 1
B1C1 的外接球半径
R r 2 22 2 2 A1 B，∴A 错误.如图 A2 ,B2 ,C2 分别是 AA1,BB1,CC1 的中点， 1
C1
F
则以 A2B2 的中点为球心，半径为 2 的球满足题意，∴B 正确.∵ BE BF ，
A2 P B2
1 20
设 EF 的中点为 N ，∴在直角三角形 EBF中， BN EF ，即 EF 的 M C22 2
A B
20
中点在以 B为球心，半径为 的球面上，∴C 正确. E
2 C
过点 F 作 FP / /BC，FP CC1 P，由题易知 FP BC 2 3，FP 平面 AA1C1C，∴ FP PE，
PE EF 2 PF 2 1 2 2 ，在直角三角形 PEC 中有CM PE 2 ，∴点M 在以C为圆心，半径
2
为 2 的圆上.当点 E与 A重合时，点F 与B2 重合，此时点M 与
C2
M1 重合.当点 E与C重合时，点M 与M 2 重合，M 2 在线段CC2 上.
M
M 21
∵ M1CM
，∴M M 2 2 1 2 ，即点M
2
的轨迹长为 .
4 4 4
∴D 错误. A C
12.【答案】14
【解析】将这 10 次成绩从小到大的顺序排列如下：8，9，10，11，12，12，13，14，15，16，∵10 75% 7.5
∴该组成绩的上四分位数为排序后的第 8 个数字 14.
13.【答案】 20
数学参考答案 第 3页（共 9 页）
3n 729 6 r 6 r r【解析】∵ ，∴ n 6 ，则 (x 2y) 的二项展开式通项为Tr 1 C6x ( 2y) C
r
6 ( 2)
r x6 r y r ，
.∴6 r r， r 3，∴ (x 2y)n的二项展开式中含 x p y p (p N*) 项的二项式系数为C36 20 ．
14.【答案】[ 3，0]
2
f (x) a sin x 3cos
2 x 2cos 2x a 2 3 2sin
2 x π
【解析】 4 4sin
2x 令 t sin2 x，∵ x (0， )∴ t (0,1) ，
sin x sin4 x 2
g(t) a 2 3 2t
3
4t,t (0,1) g (t) 6 2t 4 4t 6 2t 2(t 1)(2t
2 2t 3)
设 2 ， 3 ，t t t3 t3
∵ t (0,1) ，∴ g (t) 0，∴ g(t) 在 (0,1) 上单调递减，∴ g(t) g(1) a 3 .
f (x) ax cos x π(1)当 a 3≥0 即 a≥ 3时， f (x) g(t) g(1) a 3≥0 ， 3 sin 2x在 (0， ) 上单调递增，sin x 2
f (x) f ( π) π a≤0 即当a [ 3，0]时满足题意.
2 2
(2)当 a 3 0 即 a 3时，g(1) a 3 0 ，当 t 0 时，g(t) ，∴ t0 (0,1) ，使得 g(t0 ) 0 .即存在 x0 (0, )2
cos x π
使得 sin2 x0 t0 ，且满足 f (x) ax 3 sin 2x在 (0, x0 ) 上单调递增，在 (x0， ) 上单调递减，不满足题意.sin x 2
综上所述满足题意的实数a的取值范围是[ 3，0] .
15.（13 分）
2
【解析】(1)∵ cos 2B 1 2sin B，
2
∴ sin A 1 2sin2 B sin2 C 1 ，即 sin2 A sin2 C 2sin2 B . …………………………………………………1 分
a b c
∵在△ABC中由正弦定理得 sin A ， sin B ， sinC ， R为△ABC外接圆半径.
2R 2R 2R
a2 c2 2b2∴ ①.…………………………………………………………………………………………………………2 分
2
又∵ a，b， c成等比数列，∴b ac②. ……………………………………………………………………………4 分
由①②得 a b c，则 A B C，
π
∵ A B C ，∴ B . ……………………………………………………………………………………………6 分
3
(2)由(1)得 BAC ABC ACB .
3
a 2 3 3
∵ 2R，∴ a 2R sin BAC 2 2 ，∴ a b c 2 . ………………………………7 分
sin BAC 3 2
∴在△BCD中， BC BD 2 CBD 2 CD2 BD2 BC 2 2 BC BD cos 2 ， ， 12，
3 3
∴CD 2 3 .
数学参考答案 第 4页（共 9 页）
1
∴ S△BCD BC BD sin CBD
1 3
2 2 3 . ………………………………………………………9 分
2 2 2
设△BCD的内心为P，内接圆半径为 r，
1 1 1 1
则 S△BCD S△BCP S△BDP S△CDP BC r BD r CD r (BC BD CD)r，2 2 2 2
S 1即 △BCD (BC CD BD)r
1
(2 2 2 3)r (2 3)r . …………………………………………………11分
2 2
∴ (2 3)r 3 ，r 2 3 3 . ………………………………………………………………………………………13 分
16.（15 分）
P z
【解析】(1)连接 BD， AC BD O，连接OP，
E
∵四边形 ABCD为菱形，
∴ AC BD，O为 AC， BD的中点. A F D
∵ AP PC，∴OP AC，……………………………………1 分 O
∵平面 APC 平面 ABCD，平面 APC 平面 ABCD AC， B C
OP 平面 APC x， y
∴ PO 平面 ABCD，……………………………………………………………………………………………………2 分
∴OB，OC，OP互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
∴ B( 3,0,0) ，D( 3,0,0) ，C(0,1,0) ， P(0，0，3) E(0 1 , 3， , ) ， F (0 1 3, , ) ，
2 2 2 2
1 3
∴ BF （ 3, , ）,EF （0,1,0）,PC （0,1, - 3）,CD （- 3, 1,0）.………………………………………3 分
2 2
BF m 0， 1 3
设平面 BEF的法向量为m (x , y , z ) 3x y + z，则 即 1 2 1 2 1
= 0，
1 1 1
EF m 0， y1 0，
令 x1 1，则 y1 0， z1 2 ，
即平面 BEF的一个法向量为m (1,0,2) ， ……………………………………………………………………………5 分
PC n 0， y 3z = 0，
设平面 PCD 2 2的法向量为n (x2 , y2 , z2 ) ，则 即
CD n 0， 3x2 y2 0，
令 x2 1，则 y2 3 ， z2 1，
即平面 PCD的一个法向量为 n (1, 3, 1) ，…………………………………………………………………………7 分
∴ | cos m, n | | m n | 1 ，
| m | | n | 5
∴平面 BEF 1与平面PCD的夹角的余弦值为 ．………………………………………………………………………8 分
5
(2) ∵ PM PD，由(1)知M ( 3 ,0, 3 3 ) ， A(0, 1,0)
∴CM ( 3 , 1, 3 3 ) ， AM ( 3 ,1, 3 3 ) ． ………………………………………………………10 分
数学参考答案 第 5页（共 9 页）
∵平面 BEF / / 平面 AMC ，
m AM 0，
∴ 即 3 2( 3 3 ) 0 ， z
m CM 0
P
，
2
E
PM 2
M
∴ (0,1) ，即 PD．………………………………12 分
3 3 A F D
V V 2 2∴ OP ACM M PAC V V ，3 D PAC 3 P ACD B C
x y
V 1 S OP 1 1又∵ P ACD 2 3 3 1．3 △ACD 3 2
2
∴三棱锥P ACM 的体积为 . ………………………………………………………………………………………15 分
3
17.（15 分）
【解析】（1）由题知 an 1 an 2，即 an 1 an 2，
∴数列{an}是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列，
∴ an 2 2(n 1) 2n . ………………………………………………………………………………………………3 分
b
∵bn 1 2bn ，即 n 1 2 ，bn
∴数列{bn}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，
b 2 2n 1∴ n 2
n
. ……………………………………………………………………………………………………6 分
（2）∵ cn a1bn a2bn 1 a3bn 2 an 1b2 anb1，
c 2 1 2n 2 2 2n 1 2 3 2n 2n 2 (n 1)2
2 2n 2，
c 1 2n 1n 2 2
n 3 2n 1 (n 1)23 n 22 ，
由 cn 1 2
n 1 2 2n 3 2n 1 (n 1)23 n 22 ①， …………………………………………………………9 分
1
得 cn 1 2
n 2 2n 1 3 2n 2 (n 1)22 n 21②，
2
1 c 2n 1①-②得 2n 2n 1 2n 2 23 22 n 2，
2 n
c 2n 3 4n 8 c n 4∴ n ， n 1 2 4n 12 . …………………………………………………………………………12 分
n 4
假设存在 p， q使得 cn 1 pcn q，即 2 4n 12 p2
n 3 4pn 8p q，
p 2,
∴ p 1, 无实数解，即假设不成立.
q 8p 12
∴数列{cn}不是“ p q数列”．…………………………………………………………………………………………15 分
18.（17 分）
【解析】(1)(ⅰ)根据题意知 X 可以取的值有 1，2，3，4，
数学参考答案 第 6页（共 9 页）
∴P(X 1) 1 ，P(X 2) 4 1 1 4 3 1 1 ，P(X 3) ，
5 5 4 5 5 4 3 5
P(X 4) 4 3 2 (1 1) 2 ，
5 4 3 2 2 5
∴ E(X ) 1 1 1 1 2 3 4 2 14 .……………………………………………………………………………3 分
5 5 5 5 5
(ⅱ)根据题意知Y可以取的值有 2，3，
∵当Y 2时可以分两类，第一类：混检的 3人中有一人患病，并且在第 2 次就检测出患病人员；第二类：混检 3 人
均没有患病，并且在第 2 次就检测出患病人员或未患病人员；
1 2
P(Y 2) C1C4 1 C
3 1 1 3 1 2
∴ 4 ( ) ，P(Y 3) C1C4 2 (1 1 2 ) ，
C3 35 3 C5 2 2 5 C
3
5 3 2 2 5
E(Y ) 2 3 2 12∴ 3 . ……………………………………………………………………………………………6 分
5 5 5
(2)由题知将 20000 份血样随机地按 k(k≥10) 份一组平均分成m组，则 Z的可能取值为m，m k，m 2k，…，
m mk，其中每一组检测结果为阴性的概率为 (1 p)k，检测结果为阳性的概率为1 (1 p)k ，
i
P Z m ik Ci 1 1 p k 1 p m i k∵ m i 0,1,2, ,m ，
m i
∴ E Z m ik Ci m 1 1 p
k
1 p
m i k ，………………………………………………………………………9 分
i 0
又∵ iCi mCi 1m m 1 ，
m i m i
∴ E(Z ) m C i km 1 (1 p) (1 p) (m i )k mk C i 1m 1 1 (1 p)k (1 p) (m i )k
i 0 i 0
m i m
m Ci 1 (1 p)k (1 p) (m i )k mk 1 (1 p)k Ci 1
i 1
m m 1 1 (1 p)
k
(1 p)
(m i )k
i 0 i 1
m m 1
m 1 1 p
k 1 p k mk 1 1 p
k k k
1 1 p 1 p
m mk 1 20000 1 p
k 20000 1 1 p k ， …………………………………………………………………11 分 k
∴ E Z 20000 20000 1 1 p
k
20000
1
1 1 p
k
k k
≤10000 ，
可得 2 k ≤ k ln(k 2) ln 2k1 p ，两边取自然对数，化简得 ≤ ln 1 p ， ……………………………………12 分
2k k
2
f (k) ln(k 2) ln 2k
ln 2k ln(k 2)
不妨设 k≥10 ，则 f k k 2 ，
k k 2
令 h k ln 2k ln(k 2 2) (k ≥10) ， h k 1 1 2 4 k 4 0，
k 2 k k 2 (k 2) 2 k (k 2) 2
∴ h k 在[10, )单调递增， h k ≥h(10) ln 20 ln12 1 ln 5 ln 3 1 0 ，
6 6
∴ f k 在[10, ) 单调递增. ……………………………………………………………………………………………15 分
数学参考答案 第 7页（共 9 页）
由题知 k是 20000的正因数且 k≥10， ln 1 p ln 0.975 0.0253 ，
f (20) ln 22 ln 40 1∵ (ln11 2ln 2 ln5) 0.0299 0.0253，
20 20
f (25) ln 27 ln50 1 (3ln3 ln 2 2ln5) 0.0246 0.0253，
25 25
∴ k的最大值为 20 .………………………………………………………………………………………………………17 分
19.（17 分）
【解析】(1)设 R(x, y) ， P(x0 , y0 )，则Q(x0 , 0)，
∵ PR ( 2 1)RQ，∴ (x x0 , y y0 ) ( 2 1)(x0 x, y)，即 x0 x， y0 2y， ……………………2 分
2 2
又∵ x0 y0 2，
2
x2 2y2 2 C x 2∴ ，即 的方程为: y 1 . …………………………………………………………………………3 分
2
x2 y2 x x,
(2)证明：∵ ：2 2 1 (a b 0) ，点M (x0，y0 ) ，l
通过变换 :
a b y
a
y
b
得到 : x 2 y 2 a2 ，M (x , ay0 ) ，l 0 ，b
2 2 2 ay
∴曲线 : x y a 在点M (x , 0 ) 处的切线为 l 0 . ……………………………………………………………4 分b
1 bx ay bx当 l 的斜率存在时， k 0 ，切线方程为 y 0 0 (x x0)，kOM ay0 b ay0
a y ay0 bx
2 2 2
0 (x x ) a y bx0 x ay0 bx0 x x y y x y， ， 0 0 0 0 ，
b b ay 00 b ay b ay
2 2 2 2
0 0 a b a b
x 2 y 20 0 1 x0x y0y x0x y0y又∵ 2 2 ，∴ 2 2 1，即切线方程为 l : 2 2 1①. …………………………………………6 分a b a b a b
当 l 的斜率不存在时， y 0 0， x x 0 ，即 l : x x0 也满足方程①.
∴ 在点M 处的切线 l x x y y的方程为： 02
0 1. ……………………………………………………………………7 分
a b2
2 2
(3)设 l3 : y kx
x x
与 y2 1 2 2， y n (n 1) 的一个交点分别为 P，Q，
2 2
则 P( 2 , 2k )，Q( 2n , 2kn )，
1 2k 2 1 2k 2 1 2k 2 1 2k 2
2x 2ky 1
由（2）知曲线C在点 P处的切线 l1 : 1，其斜率 k1 ，
2 1 2k2 1 2k2 2k
x2 2 2 l : 2nx 2kny n2 1曲线 E : y n 在点Q处的切线 2 ，其斜率 k ，2 2 1 2k2
2
1 2k2 2k
∵ k1 k2 ，n 1，∴ l1 / /l2 ②. …………………………………………………………………………………………10 分
数学参考答案 第 8页（共 9 页）
y x 2, x2 ， 2x 8 x 8 2n2 0 ，
x
2 2y2 2n2
当 x 0 时， n 2 ，
当0 n 2，曲线 E与曲线 y x 2相切时，
2
方程 x 2x 8 x 8 2n2 0 x2 ≤ 2n2只有一个零点，且 . ……………………………………………………12 分
令 t x≥ 0 4 2 2 3 2， f (t) t 2t 8t 8 2n ， f (t) 4t 4t 8 4(t 1)(t t 2) ，
f (t) 0 的解为 t 1，
∴ f (t)在 (0,1) 2单调递减，在 (1, )单调递增， f (t)min f (1) 3 2n .
2 2 2
∴当方程 x 2x 8 x 8 2n 0 只有一个零点时，必有 f (1) 3 2n 0 ，
即当 n2 3 (0, 4) 时，曲线 E与曲线 y x 2相切于点 B
2 1
(1, 1) .
直线OB1 : y x与曲线C
6 6
在第四象限交于点 A1( , ) ，3 3
由②知，曲线 E在B1(1, 1)
6
处的切线与曲线C在 A1( ,
6
) 处的切线平行，…………………………………15 分
3 3
∴ | AB |≥| A1B1 | (1
6
)2 ( 6 3 2 2 3 1 )2 .
3 3 3
即 | AB | 3 2 2 3的最小值为 . ………………………………………………………………………………………17分
3
数学参考答案 第 9页（共 9 页）
