7.2平行线培优练习人教版2024—2025学年春季七年级下册
一、选择题
1．下列条件中，能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4
C．∠1+∠4＝180° D．∠3+∠4＝180°
2．如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1＝68°，则∠2＝（ ）
A．68° B．82° C．112° D．120°
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
4．如图，直线a∥b，若∠1＝35°，那么∠2的大小为（ ）
A．60° B．55° C．45° D．35°
5．如图，AB∥CD，CB∥DE，若∠B＝112°，则∠D的大小为（ ）
A．68° B．72° C．78° D．82°
6．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝58°，∠2的度数为（ ）
A．32° B．58° C．68° D．122°
7．如图，将长方形ABCD沿EF折叠后，ED与BF交于G点，若∠EFG＝50°，则∠BGE的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
8．如图，AB∥CD，若∠1＝52°，∠2＝120°，则∠3的度数为（ ）
A．68° B．60° C．52° D．48°
二、填空题
9．如图，AB∥CD，与DE分别相交于点O、D，∠D＝50°，则∠BOE＝ °．
10．如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，若∠1＝60°30'，则∠ECD等于 度．
11．一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝20°，则∠2＝ ．
12．如图，把一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若∠BFN比∠BFE多6°，则∠EFC＝ ．
13．如图所示，在图①、图②、图③、图④中，均有直线AB∥ED，根据点C在AB与ED之内和之外的不同位置，∠B，∠C，∠D三个角之间存在不同的数量关系，请分别对应写出图①、图②、图③、图④中∠B，∠C，∠D三个角之间的数量关系：
① ，② ，③ ，④ ．
14．如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，AB∥CD，EP与FP交于点P，且∠FEP＝2∠BEP，∠EFP＝3∠DFP，∠BEP＝40°，则∠P＝ ．
三、解答题
15．推理填空：
如图，EF∥CA，∠1＝∠2，∠BCD＝68°．请将求∠ADC的过程填写完整．
解：因为EF∥CA（已知），
所以∠2＝ （ ），
又因为∠1＝∠2（已知），
所以∠1＝ （ ），
所以AD∥ （ ），
所以∠BCD+ ＝180°（ ），
因为∠BCD＝68°（已知），
所以∠ADC＝ °．
16．如图，AC与BD相交于点E，∠1＝65°，∠D＝65°．
（1）若∠A＝30°，试求∠ACD的度数；
（2）取线段AB的中点F，连结EF．若∠AFE+∠BCD＝180°，∠A＝∠AEF．求证：CA平分∠BCD．
17．如图，∠2＝∠B，BE与DF交于点P．
（1）若∠1＝46°，求∠C的度数；
（2）若∠2+∠D＝90°，AB∥CD，求证：BE⊥DF．
18．如图，点D，E分别在三角形ABC的边AB，AC上，连接DE，CD，点F在CD上，连接EF，其中∠EFC+∠BDC＝180°．
（1）求证：∠ADE＝∠DEF；
（2）若∠DEF＝∠B，∠AED＝2∠CDE，求证：∠ACD＝∠BCD．
19．已知：如图，直线a∥b，点A，B分别是a，b上的点，APB是a，b之间的一条折线，且∠APB＜90°，Q是a，b之间且在折线APB左侧的一点．
（1）若∠1＝30°，∠P＝84°，则∠2＝ 度；
（2）若∠Q的一边与PA平行，另一边与PB平行，请探究∠Q，∠1，∠2间满足的数量关系并说明理由；
（3）若∠Q的一边与PA垂直，另一边与PB平行，请直接写出∠Q，∠1，∠2之间满足的数量关系．
20．如图，AD∥BC，∠BCD的平分线CG交AD于点G．
（1）试说明：∠DGC＝∠DCG；
（2）如图，线段CG上有一点P，满足∠CDP＝3∠PDG，过点A作AH∥CG交BC于点H．
①若∠BAH＝2∠PDG，试判断AB与AD的位置关系，并说明理由；
②在①的条件下，在射线CG上取一点M，使得∠PDM＝∠BAH，直线DM交直线BC于点Q，求的值．
21．已知直线AB∥CD，E为平面内一点，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ．
（1）如图1，若点E在直线AB，CD之间，试探究∠BPE，∠DQE，∠PEQ之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，若点E在直线AB，CD之间，PF平分∠APE，QF平分∠CQE，当∠PEQ＝100°时，求∠PFQ的度数．
（3）如图3，若点E在直线AB的上方，QF平分∠CQE，PH平分∠APE，PH的反向延长线交QF于点F，当∠PEQ＝50°时，求∠PFQ的度数．
22．玩转三角板．在一副三角板ABC与DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，∠EDF＝∠EFD＝45°．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线PQ，MN之间（点C落在直线PQ上，边DF与直线MN重合，点C，E，A，D在同一条直线上，固定三角板DEF）．
（1）如图1，∠BCP的度数为 ；
（2）如图2，将三角板ABC绕点C逆时针方向旋转，边AC与三角板DEF的边EF相交于点O，试问：∠COF﹣∠ACP的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由；
（3）在图1的基础上，将三角板ABC绕点C逆时针方向旋转，至边AC与直线PQ首次重合时停止运动．设∠ACD的度数为α°，试探究：在旋转的过程中，当α为何值时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的一条边平行？求出符合条件的α的值．
23．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点G在AB和CD之间．
【习题回顾】
（1）如图1，若∠BEF＝60°，FG是∠EFC的平分线，求∠GFC的度数；
【变式思考】
（2）如图2，连接EG，GF．求证：∠BEG+∠EGF+∠GFD＝360°；
【深入探究】
（3）如图3，连接EG，GF，若∠AEG＝60°，∠GFC＝40°，∠AEG和∠GFC的平分线交于点P，求∠P的度数．
7.2平行线培优练习人教版2024—2025学年春季七年级下册
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D B A B A A
填空题
9．【解答】解：根据题意可知，AB∥CD，与DE分别相交于点O、D，∠D＝50°，
∴∠AOE＝∠D＝50°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130．
10．【解答】解：∵∠1＝60°30'＝60.5°，
∴∠ABC＝180°﹣∠1＝119.5°，
∵AB∥CD，
∴∠ECD＝∠ABC＝119.5°．
故答案为：119.5．
11．【解答】解：如图，
∵KL∥MN，∠1＝20°，
∴∠KLM＝∠1＝20°，
∵∠OLM＝60°，
∴∠2＝60°﹣20°＝40°．
故答案为：40°．
12．【解答】解：根据折叠的性质得，∠EFC＝∠EFN，
∵∠BFN比∠BFE多6°，
∴∠BFN＝∠BFE+6°，
∴∠EFC＝∠EFN＝∠BFN+∠BFE＝2∠BFE+6°，
∵∠BFE+∠EFC＝180°，
∴2∠BFE+6°+∠BFE＝180°，
∴∠BFE＝58°，
∴∠EFC＝180°﹣58°＝122°，
故答案为：122°．
13．【解答】解：图①，过点C作CF∥AB，
∵AB∥ED，
∴AB∥ED∥CF，
∴∠B＝∠BCF，∠D＝∠DCF，
∴∠B+∠D＝∠BCF+∠DCF＝∠BCD，
即∠B+∠D＝∠BCD；
图②，过点C作CF∥AB，
∵AB∥ED，
∴AB∥ED∥CF，
∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+∠DCF＝180°，
∴∠B+∠BCF+∠D+∠DCF＝180°+180°，
即∠B+∠D+∠BCD＝360°；
图③，过点C作CF∥AB，
∵AB∥ED，
∴AB∥ED∥CF，
∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+∠DCF＝180°，
∴∠DCF＝180°﹣∠D，∠BCF＝180°﹣∠B，
∴∠DCF﹣∠BCF＝180°﹣∠D﹣180°+∠B，
即∠BCD＝∠B﹣∠D；
图④，过点C作CF∥AB，
∵AB∥ED，
∴AB∥ED∥CF，
∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+∠DCF＝180°，
∴∠DCF＝180°﹣∠D，∠BCF＝180°﹣∠B，
∴∠DCF﹣∠BCF＝180°﹣∠D﹣180°+∠B，
即∠BCD＝∠B﹣∠D．
故答案为：①∠B+∠D＝∠BCD，②∠B+∠D+∠BCD＝360°，③∠BCD＝∠B﹣∠D，④∠BCD＝∠B﹣∠D．
14．【解答】解：∵∠FEP＝2∠BEP，∠BEP＝40°，
∴∠FEP＝80°，∠BEF＝3∠BEP＝120°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD+∠BEF＝180°，
∴∠EFD＝60°，
∵∠EFP＝3∠DFP，
∴∠EFP60°＝45°，
∴∠P＝180°﹣45°﹣80°＝55°．
故答案为：55°．
解答题
15．推理填空：
如图，EF∥CA，∠1＝∠2，∠BCD＝68°．请将求∠ADC的过程填写完整．
解：因为EF∥CA（已知），
所以∠2＝ ∠3 （ 两直线平行，同位角相等 ），
又因为∠1＝∠2（已知），
所以∠1＝ ∠3 （ 等量代换 ），
所以AD∥ BC （ 内错角相等，两直线平行 ），
所以∠BCD+ ∠D ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），
因为∠BCD＝68°（已知），
所以∠ADC＝ 112 °．
【解答】解：因为EF∥CA（已知），
所以∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
又因为∠1＝∠2（已知），
所以∠1＝∠3（等量代换），
所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
所以∠BCD+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
因为∠BCD＝68°（已知），
所以∠ADC＝112°．
故答案为：∠3，两直线平行，同位角相等；
∠3，等量代换；
BC，内错角相等，两直线平行；
∠D，两直线平行，同旁内角互补；
112°．
16．【解答】（1）解：∵∠1＝65°，∠D＝65°，
∴∠1＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠A＝30°；
（2）证明：如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠AFE+∠BCD＝180°，
∴∠AFE＝∠ABC，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ACB，
∵∠A＝∠AEF，∠A＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ACB，
即CA平分∠BCD．
17．【解答】（1）解：∵∠2＝∠B，
∴CF∥BE，
∴∠C＝∠1，
∵∠1＝46°，
∴∠C＝46°，
所以∠C的度数为46°；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BFD＝∠D，
∵∠2+∠D＝90°，
∴∠BFD+∠2＝∠D+∠2＝90°，
∴∠CFD＝90°，
由（1）可知，CF∥BE，
∴∠EPD＝∠CFD＝90°，
∴BE⊥DF．
18．【解答】证明：（1）∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴EF∥AB，
∴∠ADE＝∠DEF；
（2）∵∠ADE＝∠DEF，∠DEF＝∠B，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB，∠CDE＝∠BCD，
又∵∠AED＝2∠CDE，
∴∠ACB＝2∠BCD，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝2∠BCD﹣∠BCD＝∠BCD，
即∠ACD＝∠BCD．
19．【解答】解：（1）如图，过P作PC∥直线a，
∴PC∥b，
∴∠1＝∠APC，∠2＝∠BPC，
∴∠2＝∠APB﹣∠1＝54°；
故答案为：54；
（2）如图，∵QM∥PB，QN∥PA，
∴∠PMQ+∠P＝180°，∠PMQ+∠MQN＝180°，
∴∠MQN＝∠P＝∠1+∠2，
∴∠EQN＝180°﹣∠MQN＝180°﹣∠1﹣∠2；
即∠Q＝∠1+∠2或∠Q＝180°﹣∠1﹣∠2；
（3）∵QE⊥AP，
∴∠QEP＝90°，
∵QF∥PB，
∴∠QFE＝∠P，
∴∠EQF＝90°﹣∠QFE＝90°﹣∠1﹣∠2，
∴∠EQG＝180°﹣∠EQF＝90°+∠1+∠2．
20．【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DGC＝∠BCG，
∵CG平分∠BCD，
∴∠BCG＝∠DCG，
∴∠DGC＝∠DCG；
（2）①AB⊥AD，理由如下：
设∠PDG＝α，
∵∠CDP＝3∠PDG，∠BAH＝2∠PDG，
∴∠CDP＝3α，∠ADC＝4α，∠BAH＝2α，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣4α，
∵CG平分∠BCD，
∴∠DCGBCD＝90°﹣2α，
由（1）得∠DGC＝∠DCG＝90°﹣2α，
∵AH∥CG，
∴∠DAH＝∠DGC＝90°﹣2α，
∵∠BAH＝2α，
∴∠BAD＝∠DAH+∠BAH＝90°﹣2α+2α＝90°，
∴AB⊥AD；
②由①得∠DGC＝90°﹣2α，
∴∠AGC＝180°﹣∠DGC＝90°+2α，
过点M作MT∥AD，则∠GMT＝∠DGC＝90°﹣2α
当点M在线段CG上时，如图，
由①得，∠PDG＝α，∠PDM＝∠BAH＝2α，
∴∠GDM＝∠PDG+∠PDM＝3α，
∵MT∥AD，
∴∠TMQ＝∠GDM＝3α，
∴∠GMQ＝∠GMT+∠TMQ＝90°+α，
∴；
当点M在线段CG的延长线上时，如图，
同理可得，∠GDM＝α，
∵MT∥AD，
∴∠TMQ＝∠GDM＝α，
∴∠GMQ＝∠GMT﹣∠TMQ＝90°﹣3α，
∴；
综上所述，的值为或．
21．【解答】解：（1）图1，过点E，作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EM，
∴∠BPE＝∠PEM，∠DQE＝∠QEM，
∴∠BPE+∠DQE＝∠PEM+∠QEM＝∠PEQ，
即∠BPE+∠DQE＝∠PEQ；
（2）图2，过点E作EM∥AB，过F点作FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EM∥FN，
∴∠APE+∠PEM＝180°，∠CQE+∠QEM＝180°，
∴∠APE+∠PEM+∠CQE+∠QEM＝360°，
∴∠APE+∠CQE+∠PEQ＝360°，
∵∠PEQ＝100°，
∴∠APE+∠CQE＝260°，
∵PF平分∠APE，QF平分∠CQE，
∴∠APE＝2∠APF，∠CQE＝2∠CQF，
∴∠APF+∠CQF＝130°，
∵AB∥CD∥FN，
∴∠PFN＝∠APF，∠QFN＝∠CQF，
∴∠PFN+∠QFN＝∠APF+∠CQF＝130°，
∴∠PFQ＝130°；
（3）图3，过过点E作EM∥AB，过F点作FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EM∥FN，
∴∠MEQ＝∠EQD，∠MEP＝∠EPB，
∴∠MEQ﹣∠MEP＝∠EQD﹣∠EPB，
即∠PEQ＝∠EQD﹣∠EPB，
∵∠PEQ＝50°，
∴∠EQD﹣∠EPB＝50°，
∵∠EQD＝180°﹣∠EQC，∠EPB＝180°﹣∠EPA，
∴∠EPA﹣∠EQC＝50°，
∵QF平分∠CQE，PH平分∠APE，
∴∠EPA＝2∠APH，∠EQC＝2∠FQC，
∴2∠APH﹣2∠FQC＝50°，
∴∠APH﹣∠FQC＝25°，
∴180°﹣∠APF﹣∠FQC＝25°，
∴∠APF+∠FQC＝155°，
∵AB∥CD∥FN，
∴∠PFN＝∠APF，∠QFN＝∠CQF，
∴∠PFN+∠QFN＝∠APF+∠CQF＝155°，
∴∠PFQ＝155°．
22．【解答】解：（1）∵△ABCD和△DEF为一副三角板，
∴∠EDF＝45°，∠ACB＝30°，
∵PQ∥MN，
∴∠DCP＝∠EDF＝45°，
∴∠BCP＝∠DCP﹣∠ACB＝15°，
故答案为：15°；
（2）∠COF﹣∠ACP为定值，∠COF﹣∠ACP＝45°．
理由如下：
过点O作OG∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴OG∥PQ∥MN，
∴∠ACP＝∠COG，∠GOF＝∠EFD，
∴∠COF﹣∠ACP＝（∠COG+∠GOF）﹣∠ACP ＝（∠ACP+∠EFD）﹣∠ACP＝∠EFD＝45°，
∴∠COF﹣∠ACP为定值，定值是45°；
（3）①当AB∥EF时，
点C，B，E，D在同一条直线上，
∴∠ACD＝∠ACB＝30°，
∴α＝30；
②当AB∥DF时，
∵AB∥DF即AB∥MN，
又∵PQ∥MN，
∴AB∥PQ∥MN，
∴∠DCQ＝180°﹣∠CDF＝180°﹣45°＝135°，
∠ACQ＝∠BAC＝60°，
∴∠ACD＝∠DCQ﹣∠ACQ＝135°﹣60°＝75°，
∴α＝75；
③当AB∥DE时，
∴∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴∠ACD＝∠BCD+∠ACB＝90°+30°＝120°，
∴α＝120；
综上，在旋转的过程中，当α＝30或75或120时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的一条边平行．
23．【解答】（1）解：图1，AB∥CD，∠BEF＝60°，
∴∠EFC＝∠BEF＝60°，
∵FG是∠EFC的平分线，
∴∠GFC∠EFC＝30°；
（2）证明：图2，过点G作GF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GH，
∴∠BEG+∠EGH＝180°，∠HGF+∠GFD＝180°，
∴∠BEG+∠EGH+∠HGF+∠GFD＝360°
∴∠BEG+∠EGF+∠GFD＝360°；
（3）解：图3，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，
∴∠EPM＝∠AEP，∠MPF＝∠PFC，
∵PE平分∠AEG，PF平分∠GFC，∠AEG＝60°，∠GFC＝40°，
∴∠AEP∠AEG＝30°，∠PFC∠GFC＝20°，
∴∠EPM＝30°，∠MPF＝20°，
∴∠EPF＝50°．
