山东省济南市2024—2025学年上学期九年级期末检测数学试题
1．（2024九上·济南期末）下列四个几何体中，从正面和上面看到的形状图相同的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·济南期末）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·济南期末）在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·济南期末）如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·济南期末）近年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影部分面积的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中白色部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·济南期末）如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·济南期末）如图，四边形是圆的内接四边形，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·济南期末）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接，过点C作轴，垂足为点M，且．则下列结论正确的个数是（ ）
①；②当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大；③方程只有一个解为；④当，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2024九上·济南期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点B和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线． 直线与相交于点，若以点为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（ ）
A．点在上 B．是上的外接圆
C．是的弦 D．是的内心
10．（2024九上·济南期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024九上·济南期末）写出一个三视图形状都一样的几何体： ．
12．（2024九上·济南期末）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是 ．
13．（2024九上·济南期末）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点随之旋转，则 ．
14．（2024九上·济南期末）如图，点是反比例函数图象上的一点，直线分别与轴，轴交于点和，轴于点，若与的位似比为，的面积为，则值为 ．
15．（2024九上·济南期末）如图，已知等边三角形，点为外一点，连接，；且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，且，若，则的长为 ．
16．（2024九上·济南期末）计算：
17．（2024九上·济南期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，D．若，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
18．（2024九上·济南期末）图①中的陕西广播电视塔，又称“西安电视塔”．某直升飞机于空中A处探测到西安电视塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求西安电视塔的高度．（参考数据：，，）
19．（2024九上·济南期末）如图，，交⊙于点、，是半径，且于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
20．（2024九上·济南期末）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字、、、的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀．
（1）从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率；
（2）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为（不放回）；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为，试用画树状图（或列表法）表示出点所有可能出现的结果，并求点落在第四象限内的概率．
21．（2024九上·济南期末）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．
（1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到的距离为米，到地面的距离为1.2米，求点到地面的距离的长．
（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，）
22．（2024九上·济南期末）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y．
①直接写出y关于x的函数关系式；
②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
23．（2024九上·济南期末）如图中，，平分交于点E，以点E为圆心，为半径作交于点F．
（1）求证：与相切；
（2）若，试求的长．
24．（2024九上·济南期末）已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，求面积的最大值；
（3）如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标．
25．（2024九上·济南期末）某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下：
【动手操作】
操作：如图，过点作轴的平行线，将直线上方的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”．
操作：如图，过点作轴的平行线，将直线左侧的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”．
操作：如图，过点作直线：，将第一象限内反比例函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折得到新图象，与直线下方的图象组成的封闭图象是“图象”．
【解决问题】
（1）如图，求“图象”与轴的交点的坐标；
（2）过轴上一点作轴的平行线，与“图象”交于点，．若，求的值；
（3）如图，反比例函数的图象与直线交于点，，已知点和点是“图象”上的两个动点，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，直接写出点和点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A中，球从正面和上面看都是半径相等的圆，所以A符合题意；
B中，三棱柱从正面看是三角形，从上面看是长方形中有一条竖直线段，所以B不符合题意；
C中，圆锥从正面看是等腰三角形，从上面看是有圆心的圆，所以C不符合题意；
D中， 圆柱从正面看是长方形，从上面看是圆，所以D不符合题意.
故选：A．
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，三视图的基本规则是：主左一样高，主俯一样宽，俯左一样长。具体来说就是主视图和俯视图共同反映了物体左右方向的尺寸，通常称之为长对正；主视图和左视图共同反映了物体上下方向的尺寸，通常称之为高平齐；俯视图和左视图共同反映了物体前后方向的尺寸，通常称之为宽相等，根据所得图形相同，即可得到答案．
2．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：反比例函数中，
A、，此点不在函数图象上，∴A不合题意；
B、，此点在函数图象上，∴B符合题意；
C、，此点不在函数图象上，∴C不合题意；
D、，此点不在函数图象上，∴D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】将各选项中点坐标的横坐标分别代入解析式求出纵坐标的值，再判断即可.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：如图所示，
∵在中，，
∴由勾股定理得，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据勾股定理求出AB，进而根据余弦函数的定义即可求解。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，设小正方形边长为1，，
则，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用正弦的定义及计算方法求出即可.
5．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴他在纸内随机掷点，点落在黑色阴影的概率为，
∴黑色阴影区域的面积是正方形纸片的，
∴黑色阴影区域的面积是，
∴二维码中白色部分的面积为；
故答案为：C．
【分析】根据“黑色阴影区域的面积是正方形纸片的”求出黑色阴影区域的面积是，再求出二维码中白色部分的面积为即可.
6．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：，
∴对称轴为，
A、由图像得，对称轴，故双曲线的图象应该在第一、三象限，A符合题意；
B、由图像得，故双曲线的图象应该在第二、四象限，B不符合题意；
C、由图像得，对称轴，C不符合题意；
D、由图像得，故双曲线的图象应该在第一、三象限，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】先根据题目中抛物线的解析式得到其对称轴，进而结合二次函数的图象和反比例函数的图象对选项逐一判断即可求解。
7．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用圆内接四边形的性质可得，再结合，求出∠A的度数即可.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当时，，
∴点，
∴，
∵，
∴，
∴点，
把点代入中，
得，
∴点，，
∴，①结论正确；
由图象可知，当时，随的增大而减小，随的增大而增大，②结论正确；
由图象可知，一次函数与反比例函数交点在第二、四象限各有一个交点，
∴方程有两个解，③结论错误；
由图象可知，当，，④结论错误.
故正确的结论有①②，共计2个.
故答案为：B
【分析】先根据一次函数与坐标轴的交点问题结合题意求出点A的坐标，进而即可得到AO，再结合题意得到MO的长度，从而即可得到点M的坐标，再根据求出点C的坐标，从而根据三角形的面积即可判断①；根据反比例函数的图象结合题意即可判断②；根据一次函数与反比例函数的交点即可判断③；再观察图像即可判断④.
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接，，，如图，
由题意得垂直平分，垂直平分，
，
、、在以为圆心，为半径的圆上，
点在上，，，为的弦，是的外接圆；
故答案为：D
【分析】连接，，，根据作图-垂直平分线得到垂直平分，垂直平分，再根据垂直平分线的性质得到，从而根据外接圆结合题意即可求解。
10．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，，
点沿轴向下平移个单位得到点，
，
，
，
抛物线的对称轴轴，
且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上，
，
四边形是平行四边形，
，
抛物线是轴对称图形，
，
，
当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，
在抛物线中，
令，则，
，
令，则，
解得：或，
，，
由平移的性质可得：
点的纵坐标，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
在抛物线中，其对称轴为直线，
要使的值最小，则点的坐标应满足，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】将点沿轴向下平移个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，，当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，先求出直线EF的解析式，再求出要使的值最小，则点的坐标应满足，最后求出点C的坐标即可.
11．【答案】球（答案不唯一）
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：球的三视图都是圆，则符合题意的几何体可以是球，
故答案为：球（答案不唯一）
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意即可求解。
12．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵总面积为，
其中阴影部分面积为，
∴飞镖停留在阴影部分的概率是，
故答案为：．
【分析】先求出阴影部分面积为，再利用几何概率公式求解即可.
13．【答案】72
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意得：点P移动的距离为，
∴，
解得：．
故答案为：72.
【分析】利用弧长公式可得，再求出n的值即可.
14．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；位似图形的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
与的位似比为，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】连接，根据位似的性质得到，进而根据三角形的面积即可得到，再根据反比例函数k的几何意义结合题意即可求解。
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，过点作交延长线于F，如图所示：
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，；
∵三角形是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
∵，
∴，，
又∵，
∴，；
∵，
∴，
由勾股定理得；
故答案为：
【分析】连接，过点作交延长线于F，先根据旋转的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，，则，等量代换得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，，进而进行角的运算得到，根据题意解直角三角形（含30°角）得到，，则，，从而求出EF，根据勾股定理即可求出EC.
16．【答案】解：原式
；
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据题意计算特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、负整数指数幂，进而根据二次根式的混合运算即可求解。
17．【答案】（1）解：，
，
又，
，
．
，B两点在直线上，
，
解得，
一次函数的表达式为．
如图，过点C作于点E，
，
，
易知，
，
，
，，
，
，
点C在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为．
（2）解：由（1）建立方程组，
解得或，
，
如图，过点D作轴于点F，则，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标得到OA，进而根据比例得到OB，从而得到点B的坐标，再运用待定系数法即可求出直线AB的函数解析式，过点C作于点E，根据题意得到，根据相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到OE，即点C的坐标，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征即可得到其函数解析式；
（2）根据反比例函数与一次函数的交点得到点D的坐标，过点D作轴于点F，则，进而根据结合三角形的面积即可求解。
（1）解：，
，
又，
，
．
，B两点在直线上，
，
解得，
一次函数的表达式为．
如图，过点C作于点E，
，
，
易知，
，
，
，，
，
，
点C在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为．
（2）由（1）建立方程组，
解得或，
，
如图，过点D作轴于点F，则，
．
18．【答案】解：延长交于点G，如图所示：
由题意得，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：西安电视塔的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长交于点G，先根据题意得到，，进而解直角三角形得到AG，再求出CG，进而根据CD=DG-CG即可求解。
19．【答案】（1）证明：∵，于点，
∴，
∵是的半径，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，
设的半径为，则，
∵，
∴，
∵是的半径，，，
∴，
在中，，即，
解得：，
∴的半径为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）利用垂径定理可得，利用等腰三角形的性质可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）连接，设的半径为，则，利用勾股定理可得，即，再求出r的值即可.
（1）证明：∵，于点，
∴，
又∵是的半径，，
∴，
∴，
即．
（2）解：如图，连接，
设的半径为，则，
∵，
∴，
∵是的半径，，，
∴，
在中，，即，
解得，
∴的半径为．
20．【答案】（1）解：从中任取一球，抽取的数字为正数的概率；
（2）解：画列表为：
共有种等可能的结果，其中落在第四象限内的点有种
所以点落在第四象限内的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）根据简单事件的概率结合正数和负数即可求解；
（2）根据题意列表，进而根据点与象限的关系结合表格得到共有种等可能的结果，其中落在第四象限内的点有种，从而根据等可能事件的概率即可求解。
（1）解：从中任取一球，抽取的数字为正数的概率；
（2）解：画列表为：
共有种等可能的结果，其中落在第四象限内的点有种
所以点落在第四象限内的概率．
21．【答案】（1）解：过点作，垂足为，
结合题意得：，，
，
在中，米，
（米），
米，
（米），
点到地面的距离的长为0.2米；
（2）解：轿车能驶入小区。
理由：当，米时
∵，
，
米，
（米），
在中，（米），
（米），
轿车能驶入小区．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，先利用解直角三角形的方法求出米，再结合PE的长，利用线段的和差求出DH的长即可；
（2）先利用平行线的性质和等角对等边的性质可得QE的长，再利用线段的和差求出PQ的长，再利用解直角三角形的方法求出DQ的长，利用线段的和差求出PF的长，最后比较大小即可.
22．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为a，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：①由题意得：=-10x+1000；
②依题意，得：
，
整理，得：，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为a，根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列关于a的一元二次方程，结合实际意义即可求解；
（2）①根据“上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列式即可求解；
②根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可列关于x的一元二次方程，解方程并结合题意“尽可能让顾客得到实惠”即可求解．
（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为a，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：①
②依题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
23．【答案】（1）证明：作于点H，如图所示：
∵平分，，
∴，
∴，
∴点H在上，
∴与相切．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵是的半径，，
∴是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为3．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；切线的性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）作于点H，先根据角平分线的性质得到，则，再根据切线的判定即可求解；
（2）先根据勾股定理求出AC，进而即可得到AE，再根据切线的判定结合切线长定理得到，从而即可求出AH，再根据勾股定理列出方程求出CE，则CF=2EC，再根据AF=AC-CF即可求解。
（1）证明：作于点H，
∵平分，，
∴，
∴，
∴点H在上，
∴与相切．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵是的半径，，
∴是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为3．
24．【答案】（1）解：抛物线过点，且其对称轴为直线
抛物线过点
设二次函数的解析式为，
把代入，得：．
二次函数的解析式为；
（2）解：设的解析式为，把点代入，得．
的解析式为．
如图，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点．
设点，
则点
，
∵，
面积的最大值为12．
（3）解：点的横坐标为，
，直线的解析式为．
连接，则轴．过点做交轴于点．则
．
，
，则点的坐标为，
，直线的解析式为，
直线的解析式为．
点为抛物线与直线的在第二象限内的交点，
解方程组，解得或（舍去）
点的坐标为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标得到点B，进而设交点式，从而代入点C即可求出函数解析式；
（2）先运用待定系数法求出直线AC的函数解析式，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点，设点，则点，进而即可得到ME，再根据结合三角形的面积和二次函数的最值即可求解；
（3）先根据点D的坐标得到直线OD的函数解析式，连接，则轴，过点做交轴于点，则，进而根据三角形的面积展开即可得到ON，从而得到点N的坐标，再结合题意即可得到直线MN的函数解析式，从而根据二次函数与一次函数的交点结合题意即可求解。
（1）解：抛物线过点，且其对称轴为直线
抛物线过点
设二次函数的解析式为，
把代入，得：．
二次函数的解析式为；
（2）解：设的解析式为，把点代入，得．
的解析式为．
如图，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点．
设点，
则点
，
∵，
面积的最大值为12．
（3）解：点的横坐标为，
，直线的解析式为．
连接，则轴．过点做交轴于点．则
．
，
，则点的坐标为，
，直线的解析式为，
直线的解析式为．
点为抛物线与直线的在第二象限内的交点，
解方程组，解得或（舍去）
点的坐标为．
25．【答案】（1）解：设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：
∵，
∴直线为，
∵点的纵坐标为，点和点到直线的距离相等，
∴点的纵坐标为，
将代入中，可得，
解得：
∴点坐标为，
∵，轴
∴点和点的横坐标相等，
∴点坐标为，
（2）解：当时，在轴正半轴，过点作轴的平行线，与“图象”交于点，，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：
∵轴，
∴点，的横坐标均为，
将代入中，可得，
即点的坐标为，
∴，
∵，
∴直线为，
设点的横坐标均为
又∵点的横坐标均为，点和点到直线的距离相等，
∴，即
∴点的横坐标为，
将代入中，可得，
∴点坐标为，
∵，点和点的纵坐标相等，
∴点坐标为，
∴，
∵，
∴，
代入数值可得，
解得：．
当时，在轴负半轴，过点作轴的平行线，与“图象”交于点，，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：
同理可得：点的坐标为，点坐标为，
∴，
∵，
∴，
代入数值可得，
解得：．
∴的值为或
（3），或，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质
【解析】【解答】（3）解：联立直线与反比例函数，即，
解得：，
∴点为，点为，
∵点和点是“图象”上的两个动点，
∴结合图象可得，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，即点和点分别位于直线的上下两侧时，四边形面积最大，
当点在直线的下侧时，连接点，，形成，过点作直线的平行线，当取最大值时，直线与反比例函数的图象仅有一个交点，如图所示：
∵，直线：
∴可设直线为，
联立直线与反比例函数，即，
即：
∵直线与反比例函数的图象仅有一个交点，
∴，
代入数值可得：，
解得：，（舍）
将代入，即，
解得：
∴点横坐标为，
将代入中，可得，
∴点坐标为，
∴当点坐标为时，取最大值时
同理，作点关于直线在“图象”上方的对称点，连接，，形成的的面积最大，
连接，交于点，根据轴对称的性质可得，即点为的中点，
∵，直线：，
故可设的函数解析式为，
将点代入中，可得，
解得：
∴的函数解析式为，
联立与直线，即，
解得：，
∴点坐标为，
设点坐标为，
∵点为的中点，点
∴，
解得：，，
∴点坐标为，
∴当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，点和点的坐标分别为，或，．
【分析】（1）设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，根据点P的坐标得到直线l，进而得到C'的纵坐标，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征得到C'的坐标，从而即可得到点C的坐标；
（2）根据题意分类讨论：当时，当时，进而根据对称的性质结合题意求出点M和点N的坐标，再表示出MN，从而得到MQ和QN的关系，再代入数值即可求解；
（3）根据反比例函数与一次函数的交点问题结合题意联立直线与反比例函数得到点和点为的坐标，再根据点和点是“图象”上的两个动点得到当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，即点和点分别位于直线的上下两侧时，四边形面积最大，当点在直线的下侧时，连接点，，过点作直线的平行线，当取最大值时，直线与反比例函数的图象仅有一个交点，设直线为，再根据一次函数与反比例函数的交点联立，进而即可得到，根据一元二次方程根的判别式结合题意令，进而得到，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到点坐标，同理，作点关于直线在“图象”上方的对称点，连接，，形成的的面积最大，连接，交于点，根据轴对称的性质得到，运用待定系数法求得的函数解析式，再根据两个一次函数的交点问题联立得到点坐标，从而根据中点坐标公式得到点坐标，则当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，点和点的坐标分别为，或，．
（1）解：设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：
∵，
∴直线为，
∵点的纵坐标为，点和点到直线的距离相等，
∴点的纵坐标为，
将代入中，可得，
解得：
∴点坐标为，
∵，轴
∴点和点的横坐标相等，
∴点坐标为，
（2）解：当时，在轴正半轴，过点作轴的平行线，与“图象”交于点，，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：
∵轴，
∴点，的横坐标均为，
将代入中，可得，
即点的坐标为，
∴，
∵，
∴直线为，
设点的横坐标均为
又∵点的横坐标均为，点和点到直线的距离相等，
∴，即
∴点的横坐标为，
将代入中，可得，
∴点坐标为，
∵，点和点的纵坐标相等，
∴点坐标为，
∴，
∵，
∴，
代入数值可得，
解得：．
当时，在轴负半轴，过点作轴的平行线，与“图象”交于点，，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：
同理可得：点的坐标为，点坐标为，
∴，
∵，
∴，
代入数值可得，
解得：．
∴的值为或．
（3）解：联立直线与反比例函数，即，
解得：，
∴点为，点为，
∵点和点是“图象”上的两个动点，
∴结合图象可得，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，即点和点分别位于直线的上下两侧时，四边形面积最大，
当点在直线的下侧时，连接点，，形成，过点作直线的平行线，当取最大值时，直线与反比例函数的图象仅有一个交点，如图所示：
∵，直线：
∴可设直线为，
联立直线与反比例函数，即，
即：
∵直线与反比例函数的图象仅有一个交点，
∴，
代入数值可得：，
解得：，（舍）
将代入，即，
解得：
∴点横坐标为，
将代入中，可得，
∴点坐标为，
∴当点坐标为时，取最大值时
同理，作点关于直线在“图象”上方的对称点，连接，，形成的的面积最大，
连接，交于点，根据轴对称的性质可得，即点为的中点，
∵，直线：，
故可设的函数解析式为，
将点代入中，可得，
解得：
∴的函数解析式为，
联立与直线，即，
解得：，
∴点坐标为，
设点坐标为，
∵点为的中点，点
∴，
解得：，，
∴点坐标为，
∴当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，点和点的坐标分别为，或，．
山东省济南市2024—2025学年上学期九年级期末检测数学试题
1．（2024九上·济南期末）下列四个几何体中，从正面和上面看到的形状图相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A中，球从正面和上面看都是半径相等的圆，所以A符合题意；
B中，三棱柱从正面看是三角形，从上面看是长方形中有一条竖直线段，所以B不符合题意；
C中，圆锥从正面看是等腰三角形，从上面看是有圆心的圆，所以C不符合题意；
D中， 圆柱从正面看是长方形，从上面看是圆，所以D不符合题意.
故选：A．
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，三视图的基本规则是：主左一样高，主俯一样宽，俯左一样长。具体来说就是主视图和俯视图共同反映了物体左右方向的尺寸，通常称之为长对正；主视图和左视图共同反映了物体上下方向的尺寸，通常称之为高平齐；俯视图和左视图共同反映了物体前后方向的尺寸，通常称之为宽相等，根据所得图形相同，即可得到答案．
2．（2024九上·济南期末）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：反比例函数中，
A、，此点不在函数图象上，∴A不合题意；
B、，此点在函数图象上，∴B符合题意；
C、，此点不在函数图象上，∴C不合题意；
D、，此点不在函数图象上，∴D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】将各选项中点坐标的横坐标分别代入解析式求出纵坐标的值，再判断即可.
3．（2024九上·济南期末）在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：如图所示，
∵在中，，
∴由勾股定理得，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据勾股定理求出AB，进而根据余弦函数的定义即可求解。
4．（2024九上·济南期末）如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，设小正方形边长为1，，
则，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用正弦的定义及计算方法求出即可.
5．（2024九上·济南期末）近年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影部分面积的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中白色部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴他在纸内随机掷点，点落在黑色阴影的概率为，
∴黑色阴影区域的面积是正方形纸片的，
∴黑色阴影区域的面积是，
∴二维码中白色部分的面积为；
故答案为：C．
【分析】根据“黑色阴影区域的面积是正方形纸片的”求出黑色阴影区域的面积是，再求出二维码中白色部分的面积为即可.
6．（2024九上·济南期末）如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：，
∴对称轴为，
A、由图像得，对称轴，故双曲线的图象应该在第一、三象限，A符合题意；
B、由图像得，故双曲线的图象应该在第二、四象限，B不符合题意；
C、由图像得，对称轴，C不符合题意；
D、由图像得，故双曲线的图象应该在第一、三象限，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】先根据题目中抛物线的解析式得到其对称轴，进而结合二次函数的图象和反比例函数的图象对选项逐一判断即可求解。
7．（2024九上·济南期末）如图，四边形是圆的内接四边形，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用圆内接四边形的性质可得，再结合，求出∠A的度数即可.
8．（2024九上·济南期末）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接，过点C作轴，垂足为点M，且．则下列结论正确的个数是（ ）
①；②当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大；③方程只有一个解为；④当，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当时，，
∴点，
∴，
∵，
∴，
∴点，
把点代入中，
得，
∴点，，
∴，①结论正确；
由图象可知，当时，随的增大而减小，随的增大而增大，②结论正确；
由图象可知，一次函数与反比例函数交点在第二、四象限各有一个交点，
∴方程有两个解，③结论错误；
由图象可知，当，，④结论错误.
故正确的结论有①②，共计2个.
故答案为：B
【分析】先根据一次函数与坐标轴的交点问题结合题意求出点A的坐标，进而即可得到AO，再结合题意得到MO的长度，从而即可得到点M的坐标，再根据求出点C的坐标，从而根据三角形的面积即可判断①；根据反比例函数的图象结合题意即可判断②；根据一次函数与反比例函数的交点即可判断③；再观察图像即可判断④.
9．（2024九上·济南期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点B和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线． 直线与相交于点，若以点为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（ ）
A．点在上 B．是上的外接圆
C．是的弦 D．是的内心
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接，，，如图，
由题意得垂直平分，垂直平分，
，
、、在以为圆心，为半径的圆上，
点在上，，，为的弦，是的外接圆；
故答案为：D
【分析】连接，，，根据作图-垂直平分线得到垂直平分，垂直平分，再根据垂直平分线的性质得到，从而根据外接圆结合题意即可求解。
10．（2024九上·济南期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，，
点沿轴向下平移个单位得到点，
，
，
，
抛物线的对称轴轴，
且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上，
，
四边形是平行四边形，
，
抛物线是轴对称图形，
，
，
当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，
在抛物线中，
令，则，
，
令，则，
解得：或，
，，
由平移的性质可得：
点的纵坐标，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
在抛物线中，其对称轴为直线，
要使的值最小，则点的坐标应满足，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】将点沿轴向下平移个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，，当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，先求出直线EF的解析式，再求出要使的值最小，则点的坐标应满足，最后求出点C的坐标即可.
11．（2024九上·济南期末）写出一个三视图形状都一样的几何体： ．
【答案】球（答案不唯一）
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：球的三视图都是圆，则符合题意的几何体可以是球，
故答案为：球（答案不唯一）
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意即可求解。
12．（2024九上·济南期末）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵总面积为，
其中阴影部分面积为，
∴飞镖停留在阴影部分的概率是，
故答案为：．
【分析】先求出阴影部分面积为，再利用几何概率公式求解即可.
13．（2024九上·济南期末）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点随之旋转，则 ．
【答案】72
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意得：点P移动的距离为，
∴，
解得：．
故答案为：72.
【分析】利用弧长公式可得，再求出n的值即可.
14．（2024九上·济南期末）如图，点是反比例函数图象上的一点，直线分别与轴，轴交于点和，轴于点，若与的位似比为，的面积为，则值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；位似图形的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
与的位似比为，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】连接，根据位似的性质得到，进而根据三角形的面积即可得到，再根据反比例函数k的几何意义结合题意即可求解。
15．（2024九上·济南期末）如图，已知等边三角形，点为外一点，连接，；且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，且，若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，过点作交延长线于F，如图所示：
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，；
∵三角形是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
∵，
∴，，
又∵，
∴，；
∵，
∴，
由勾股定理得；
故答案为：
【分析】连接，过点作交延长线于F，先根据旋转的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，，则，等量代换得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，，进而进行角的运算得到，根据题意解直角三角形（含30°角）得到，，则，，从而求出EF，根据勾股定理即可求出EC.
16．（2024九上·济南期末）计算：
【答案】解：原式
；
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据题意计算特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、负整数指数幂，进而根据二次根式的混合运算即可求解。
17．（2024九上·济南期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，D．若，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：，
，
又，
，
．
，B两点在直线上，
，
解得，
一次函数的表达式为．
如图，过点C作于点E，
，
，
易知，
，
，
，，
，
，
点C在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为．
（2）解：由（1）建立方程组，
解得或，
，
如图，过点D作轴于点F，则，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标得到OA，进而根据比例得到OB，从而得到点B的坐标，再运用待定系数法即可求出直线AB的函数解析式，过点C作于点E，根据题意得到，根据相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到OE，即点C的坐标，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征即可得到其函数解析式；
（2）根据反比例函数与一次函数的交点得到点D的坐标，过点D作轴于点F，则，进而根据结合三角形的面积即可求解。
（1）解：，
，
又，
，
．
，B两点在直线上，
，
解得，
一次函数的表达式为．
如图，过点C作于点E，
，
，
易知，
，
，
，，
，
，
点C在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为．
（2）由（1）建立方程组，
解得或，
，
如图，过点D作轴于点F，则，
．
18．（2024九上·济南期末）图①中的陕西广播电视塔，又称“西安电视塔”．某直升飞机于空中A处探测到西安电视塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求西安电视塔的高度．（参考数据：，，）
【答案】解：延长交于点G，如图所示：
由题意得，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：西安电视塔的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长交于点G，先根据题意得到，，进而解直角三角形得到AG，再求出CG，进而根据CD=DG-CG即可求解。
19．（2024九上·济南期末）如图，，交⊙于点、，是半径，且于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：∵，于点，
∴，
∵是的半径，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，
设的半径为，则，
∵，
∴，
∵是的半径，，，
∴，
在中，，即，
解得：，
∴的半径为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）利用垂径定理可得，利用等腰三角形的性质可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）连接，设的半径为，则，利用勾股定理可得，即，再求出r的值即可.
（1）证明：∵，于点，
∴，
又∵是的半径，，
∴，
∴，
即．
（2）解：如图，连接，
设的半径为，则，
∵，
∴，
∵是的半径，，，
∴，
在中，，即，
解得，
∴的半径为．
20．（2024九上·济南期末）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字、、、的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀．
（1）从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率；
（2）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为（不放回）；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为，试用画树状图（或列表法）表示出点所有可能出现的结果，并求点落在第四象限内的概率．
【答案】（1）解：从中任取一球，抽取的数字为正数的概率；
（2）解：画列表为：
共有种等可能的结果，其中落在第四象限内的点有种
所以点落在第四象限内的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）根据简单事件的概率结合正数和负数即可求解；
（2）根据题意列表，进而根据点与象限的关系结合表格得到共有种等可能的结果，其中落在第四象限内的点有种，从而根据等可能事件的概率即可求解。
（1）解：从中任取一球，抽取的数字为正数的概率；
（2）解：画列表为：
共有种等可能的结果，其中落在第四象限内的点有种
所以点落在第四象限内的概率．
21．（2024九上·济南期末）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．
（1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到的距离为米，到地面的距离为1.2米，求点到地面的距离的长．
（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：过点作，垂足为，
结合题意得：，，
，
在中，米，
（米），
米，
（米），
点到地面的距离的长为0.2米；
（2）解：轿车能驶入小区。
理由：当，米时
∵，
，
米，
（米），
在中，（米），
（米），
轿车能驶入小区．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，先利用解直角三角形的方法求出米，再结合PE的长，利用线段的和差求出DH的长即可；
（2）先利用平行线的性质和等角对等边的性质可得QE的长，再利用线段的和差求出PQ的长，再利用解直角三角形的方法求出DQ的长，利用线段的和差求出PF的长，最后比较大小即可.
22．（2024九上·济南期末）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y．
①直接写出y关于x的函数关系式；
②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为a，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：①由题意得：=-10x+1000；
②依题意，得：
，
整理，得：，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为a，根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列关于a的一元二次方程，结合实际意义即可求解；
（2）①根据“上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列式即可求解；
②根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可列关于x的一元二次方程，解方程并结合题意“尽可能让顾客得到实惠”即可求解．
（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为a，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：①
②依题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
23．（2024九上·济南期末）如图中，，平分交于点E，以点E为圆心，为半径作交于点F．
（1）求证：与相切；
（2）若，试求的长．
【答案】（1）证明：作于点H，如图所示：
∵平分，，
∴，
∴，
∴点H在上，
∴与相切．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵是的半径，，
∴是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为3．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；切线的性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）作于点H，先根据角平分线的性质得到，则，再根据切线的判定即可求解；
（2）先根据勾股定理求出AC，进而即可得到AE，再根据切线的判定结合切线长定理得到，从而即可求出AH，再根据勾股定理列出方程求出CE，则CF=2EC，再根据AF=AC-CF即可求解。
（1）证明：作于点H，
∵平分，，
∴，
∴，
∴点H在上，
∴与相切．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵是的半径，，
∴是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为3．
24．（2024九上·济南期末）已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，求面积的最大值；
（3）如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标．
【答案】（1）解：抛物线过点，且其对称轴为直线
抛物线过点
设二次函数的解析式为，
把代入，得：．
二次函数的解析式为；
（2）解：设的解析式为，把点代入，得．
的解析式为．
如图，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点．
设点，
则点
，
∵，
面积的最大值为12．
（3）解：点的横坐标为，
，直线的解析式为．
连接，则轴．过点做交轴于点．则
．
，
，则点的坐标为，
，直线的解析式为，
直线的解析式为．
点为抛物线与直线的在第二象限内的交点，
解方程组，解得或（舍去）
点的坐标为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标得到点B，进而设交点式，从而代入点C即可求出函数解析式；
（2）先运用待定系数法求出直线AC的函数解析式，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点，设点，则点，进而即可得到ME，再根据结合三角形的面积和二次函数的最值即可求解；
（3）先根据点D的坐标得到直线OD的函数解析式，连接，则轴，过点做交轴于点，则，进而根据三角形的面积展开即可得到ON，从而得到点N的坐标，再结合题意即可得到直线MN的函数解析式，从而根据二次函数与一次函数的交点结合题意即可求解。
（1）解：抛物线过点，且其对称轴为直线
抛物线过点
设二次函数的解析式为，
把代入，得：．
二次函数的解析式为；
（2）解：设的解析式为，把点代入，得．
的解析式为．
如图，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点．
设点，
则点
，
∵，
面积的最大值为12．
（3）解：点的横坐标为，
，直线的解析式为．
连接，则轴．过点做交轴于点．则
．
，
，则点的坐标为，
，直线的解析式为，
直线的解析式为．
点为抛物线与直线的在第二象限内的交点，
解方程组，解得或（舍去）
点的坐标为．
25．（2024九上·济南期末）某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下：
【动手操作】
操作：如图，过点作轴的平行线，将直线上方的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”．
操作：如图，过点作轴的平行线，将直线左侧的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”．
操作：如图，过点作直线：，将第一象限内反比例函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折得到新图象，与直线下方的图象组成的封闭图象是“图象”．
【解决问题】
（1）如图，求“图象”与轴的交点的坐标；
（2）过轴上一点作轴的平行线，与“图象”交于点，．若，求的值；
（3）如图，反比例函数的图象与直线交于点，，已知点和点是“图象”上的两个动点，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，直接写出点和点的坐标．
【答案】（1）解：设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：
∵，
∴直线为，
∵点的纵坐标为，点和点到直线的距离相等，
∴点的纵坐标为，
将代入中，可得，
解得：
∴点坐标为，
∵，轴
∴点和点的横坐标相等，
∴点坐标为，
（2）解：当时，在轴正半轴，过点作轴的平行线，与“图象”交于点，，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：
∵轴，
∴点，的横坐标均为，
将代入中，可得，
即点的坐标为，
∴，
∵，
∴直线为，
设点的横坐标均为
又∵点的横坐标均为，点和点到直线的距离相等，
∴，即
∴点的横坐标为，
将代入中，可得，
∴点坐标为，
∵，点和点的纵坐标相等，
∴点坐标为，
∴，
∵，
∴，
代入数值可得，
解得：．
当时，在轴负半轴，过点作轴的平行线，与“图象”交于点，，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：
同理可得：点的坐标为，点坐标为，
∴，
∵，
∴，
代入数值可得，
解得：．
∴的值为或
（3），或，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质
【解析】【解答】（3）解：联立直线与反比例函数，即，
解得：，
∴点为，点为，
∵点和点是“图象”上的两个动点，
∴结合图象可得，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，即点和点分别位于直线的上下两侧时，四边形面积最大，
当点在直线的下侧时，连接点，，形成，过点作直线的平行线，当取最大值时，直线与反比例函数的图象仅有一个交点，如图所示：
∵，直线：
∴可设直线为，
联立直线与反比例函数，即，
即：
∵直线与反比例函数的图象仅有一个交点，
∴，
代入数值可得：，
解得：，（舍）
将代入，即，
解得：
∴点横坐标为，
将代入中，可得，
∴点坐标为，
∴当点坐标为时，取最大值时
同理，作点关于直线在“图象”上方的对称点，连接，，形成的的面积最大，
连接，交于点，根据轴对称的性质可得，即点为的中点，
∵，直线：，
故可设的函数解析式为，
将点代入中，可得，
解得：
∴的函数解析式为，
联立与直线，即，
解得：，
∴点坐标为，
设点坐标为，
∵点为的中点，点
∴，
解得：，，
∴点坐标为，
∴当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，点和点的坐标分别为，或，．
【分析】（1）设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，根据点P的坐标得到直线l，进而得到C'的纵坐标，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征得到C'的坐标，从而即可得到点C的坐标；
（2）根据题意分类讨论：当时，当时，进而根据对称的性质结合题意求出点M和点N的坐标，再表示出MN，从而得到MQ和QN的关系，再代入数值即可求解；
（3）根据反比例函数与一次函数的交点问题结合题意联立直线与反比例函数得到点和点为的坐标，再根据点和点是“图象”上的两个动点得到当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，即点和点分别位于直线的上下两侧时，四边形面积最大，当点在直线的下侧时，连接点，，过点作直线的平行线，当取最大值时，直线与反比例函数的图象仅有一个交点，设直线为，再根据一次函数与反比例函数的交点联立，进而即可得到，根据一元二次方程根的判别式结合题意令，进而得到，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到点坐标，同理，作点关于直线在“图象”上方的对称点，连接，，形成的的面积最大，连接，交于点，根据轴对称的性质得到，运用待定系数法求得的函数解析式，再根据两个一次函数的交点问题联立得到点坐标，从而根据中点坐标公式得到点坐标，则当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，点和点的坐标分别为，或，．
（1）解：设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：
∵，
∴直线为，
∵点的纵坐标为，点和点到直线的距离相等，
∴点的纵坐标为，
将代入中，可得，
解得：
∴点坐标为，
∵，轴
∴点和点的横坐标相等，
∴点坐标为，
（2）解：当时，在轴正半轴，过点作轴的平行线，与“图象”交于点，，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：
∵轴，
∴点，的横坐标均为，
将代入中，可得，
即点的坐标为，
∴，
∵，
∴直线为，
设点的横坐标均为
又∵点的横坐标均为，点和点到直线的距离相等，
∴，即
∴点的横坐标为，
将代入中，可得，
∴点坐标为，
∵，点和点的纵坐标相等，
∴点坐标为，
∴，
∵，
∴，
代入数值可得，
解得：．
当时，在轴负半轴，过点作轴的平行线，与“图象”交于点，，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：
同理可得：点的坐标为，点坐标为，
∴，
∵，
∴，
代入数值可得，
解得：．
∴的值为或．
（3）解：联立直线与反比例函数，即，
解得：，
∴点为，点为，
∵点和点是“图象”上的两个动点，
∴结合图象可得，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，即点和点分别位于直线的上下两侧时，四边形面积最大，
当点在直线的下侧时，连接点，，形成，过点作直线的平行线，当取最大值时，直线与反比例函数的图象仅有一个交点，如图所示：
∵，直线：
∴可设直线为，
联立直线与反比例函数，即，
即：
∵直线与反比例函数的图象仅有一个交点，
∴，
代入数值可得：，
解得：，（舍）
将代入，即，
解得：
∴点横坐标为，
将代入中，可得，
∴点坐标为，
∴当点坐标为时，取最大值时
同理，作点关于直线在“图象”上方的对称点，连接，，形成的的面积最大，
连接，交于点，根据轴对称的性质可得，即点为的中点，
∵，直线：，
故可设的函数解析式为，
将点代入中，可得，
解得：
∴的函数解析式为，
联立与直线，即，
解得：，
∴点坐标为，
设点坐标为，
∵点为的中点，点
∴，
解得：，，
∴点坐标为，
∴当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，点和点的坐标分别为，或，．
