湘教版七年级数学下册 第二章 实数 单元测试题（2024）
一、选择题(共10题；共30分)
1．（3分）估计的值更接近（ ）
A．3 B．4 C．9 D．10
2．（3分）下列实数中的无理数是（ ）
A． B． C．-3.14 D．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．
C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3
4．（3分）有下列等式： ③6=1000；④=- ；⑤其中正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（3分）下列各数中，最小的数是（ ）
A．-1 B． C．0 D．
6．（3分）下列说法中，正确的是( )
A．实数包括有理数、无理数和0
B．两个无理数的和仍然是无理数
C．带根号的实数都是无理数
D．无论是有理数还是无理数都是实数
7．（3分）计算的结果是（ ）
A．0 B．16 C．12 D．4
8．（3分） “求的平方根”用式子表示应是( )
A． B． C． D．
9．（3分）已知 P 是 的立方根，Q 是的算术平方根，则P，Q之间的大小关系是（ ）
A．P>Q B．P10．（3分）数轴上点A表示的数是2，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题(共8题；共24分)
11．（3分）写出一个小于4的无理数 .
12．（3分）在实数：1，，，，，两个1之间一次多一个中，无理数有 个
13．（3分）的立方根是，则 ．
14．（3分）一个正方体的体积为8cm3，则这个正方体的棱长为 cm。
15．（3分）比较大小： 2（填“>”、“=”或“<”）．
16．（3分）如图所示，数轴上的点表示的实数为，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是 ．
17．（3分）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是
18．（3分）定义一种新运算“★”：a★b=.如：1★8 ，则3★（-9）的值是 .
三、解答题(共8题；共66分)
19．（8分）将下列各数填在相应的横线上：
，，，(每相邻两个“1”之间依次增加一个“0”)，-11，，-0.1，.
整数：{ }；
分数：{ }；
负有理数：{ }；
无理数：{ }.
20．（6分） 请将下列实数与它们在数轴上的对应点连起来，并把它们按从小到大的顺序排列，用“<”连接。
。
21．（8分）俗话说，登高望远。从理论上说，当人站在距地面h千米的高处时，能看到的最远距离约为 千米。位于上海中心大厦第118层的“上海之巅”观光厅高546米，人在观光厅里最多能看多远(精确到0.1千米)
22．（8分）已知a，b，c三个数，其中任意两个数的积的算术平方根用p 表示.当a=1，b=4，c=9时，求p 的最小值和最大值.
23．（8分）已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a﹣b的值．
24．（8分） 如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间t（单位： s）与钟摆的长度 l （单位： m）之间满足 当钟摆的长度为0.25 m时，摆动一个来回所用的时间是多少秒 （π取 3.14， g 取 结果保留小数点后两位.）
25．（10分）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）（5分）求a，b，c的值；
（2）（5分）求的平方根．
26．（10分）（1）（5分）若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数， 则a= ，b= ，c= ，x= ，y= .
（2）（5分）若m与n互为相反数，p与q互为倒数，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴的值更接近3，
故答案为：A.
【分析】根据无理数的估算解题即可.
2．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： A：是有理数；
B：是无理数；
C：-3.14是有理数；
D：，是有理数；
故答案为：B.
【分析】根据无理数是无限不循环小数解题即可.
3．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.的平方根是，故该选项不符合题意；
B.，故该选项不符合题意；
C.的算术平方根是，故该选项符合题意；
D.的立方根是，故该选项不符合题意；
故答案为：C ．
【分析】利用平方根、算术平方根和立方根的定义判断解题．
4．【答案】A
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：①=，①错误；②=4，②错误；③=1000，③正确；④≠，④错误；⑤=，⑤正确；⑥=-20，⑥错误；综上所述，等式中正确的一共有2个
故答案为：A.
【分析】根据开方与乘方进行运算即可.
5．【答案】B
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：
，
∴最小的数是：
故答案为： B.
【分析】利用实数大小的比较方法： 正数总是大于零，负数总是小于零；两个负数，绝对值大的反而小解题即可.
6．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵实数包括有理数、无理数，0是有理数，
∴选项A不符合题意；
∵两个无理数的和可能是有理数， 例如 与 都是无理数，但是它们的和 (0)是有理数，
∴选项B不符合题意；
∵带根号的实数不一定都是无理数，例如 是有理数，
∴选项C不符合题意；
∵无论是有理数还是无理数都是实数，
∴选项D符合题意.
故答案为：D .
【分析】根据实数的分类，无理数的特征和应用，以及实数的运算方法，逐项判断即可.
7．【答案】C
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：
故答案为：C
【分析】先化简再计算即可。
8．【答案】C
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：的平方根有两个，即
故答案为：C .
【分析】一个正数的平方根有正负两种情况，0的平方根只有0，负数没有平方根。而一个非负数的算数平方根只能是正数或0。
9．【答案】B
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：因为P是 的立方根，所以P=，
因为Q 是的算术平方根 ，所以Q=，
即P=，Q=，
所以P
【分析】先求出P，Q的值，再将P和Q转化为相同的根指数以便比较.
10．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：由题意可知，点C表示的数是：
，
故答案为：．
【分析】先得到AB=AC=2-，然后根据数轴上点的位置计算即可．
11．【答案】 (答案不唯一）
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】小于4的无理数很多，比如 、 、 、
【分析】开放性的命题，答案不唯一，无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有开方开不尽的数和 π 等，写的时候还要注意比4小的限制即可。
12．【答案】3
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：，
无理数有：，，（两个1之间一次多一个3），共3个．
故答案为3．
【分析】根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数求解判断即可．
13．【答案】
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵的立方根是，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据题意得到，进而根据立方根即可求解。
14．【答案】2
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：设这个正方体的棱长为acm，
根据题意可得：a3=8，
解得：a=2，
故答案为：2.
【分析】设这个正方体的棱长为acm，利用正方体体积的计算方法列出方程a3=8，再求出a的值即可.
15．【答案】＞
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵2=，且5＞4，
∴.
故答案为：＞.
【分析】被开方数大，算术平方根就大，据此判断即可.
16．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：如图，
在中，，
，
∴点C与原点的距离为
点表示的数为，
故答案为：．
【分析】首先由勾股定理计算出AB的长，由同圆半径相等得AB=AC，进而结合数轴找出点C离开原点的距离，从而即可根据数轴上的点所表示数的特点得出点C所表示的数.
17．【答案】25
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴
解得
∴
∴
∴这一个正数为25，
故答案为：25．
【分析】根据正数的平方根互为相反数得到方程，求出a的值解题即可．
18．【答案】12
【知识点】实数的混合运算（含开方）；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意得：
3★（-9）
=32-
=9-
=9-（-3）
=9+3
=12；
故答案为：12 .
【分析】根据题中新运算直接得出代数式，计算出结果即可.
19．【答案】解： 整数：{2，-11}；
分数：{}；
负有理数：{-11，-0.1}；
无理数：{，-6.1010010001…(每相邻两个“1”之间依次增加一个 ，}.
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【分析】正整数、负整数和零统称整数；正分数、负分数统称分数（有限小数与无限循环小数可以化为分数）；负有理数包括负整数与负分数；无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
20．【答案】解：点A表示，点B表示，点C表示0，点D表示，点E表示，
.
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【分析】，由此可得点A表示，点B表示，点C表示0，点D表示，点E表示，再利用数轴上的位置对数进行大小比较.
21．【答案】解： =112≈82.8（千米）。
答：最多大约能看到82.8千米远。
【知识点】实数运算的实际应用
【解析】【分析】根据题目给出的公式代入h的值，即可求得人能看到的最远距离.
22．【答案】解∶∵，，
∴a、b、c三个数中任意两个数的积分别为4，9，36．
p的最小值为：，
p的最大值为：，
【知识点】求算术平方根
【解析】【分析】分别求出任意两个数的积，根据积的大小即可求出p的最小值和最大值．
23．【答案】解：∵正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，
∴（a﹣3）+（2a+15）＝0，
解得：a＝﹣4，
∵的立方根是﹣3，
∴＝﹣27，
∴a﹣b＝﹣4﹣（﹣27）＝23．
【知识点】平方根的性质；利用开立方求未知数
【解析】【分析】根据平方根的性质：正数的平方根有两个，并且它们互为相反数可以得出（a﹣3）+（2a+15）＝0，解出a，再根据立方根的定义求出b，再代入求值
24．【答案】解：根据题意可得：钟摆长度l=0.25m，重力加速度g=9.8m/s2，圆周率π=3.14，
代入公式计算得到：，
∴当钟摆长度为0.25米时，摆动一个来回所用的时间大约为1.00秒。
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【分析】将钟摆长度l=0.25m，重力加速度g=9.8m/s2，圆周率π=3.14代入 计算即可.
25．【答案】（1）解：∵的立方根是3，
∴，解得，
∵的算术平方根是4，
∴，
又∵，
∴，
∵c是的整数部分，，
∴，
∴，，；
（2）解：把，，代入得
，
∴的平方根是．
【知识点】平方根的概念与表示；算术平方根的概念与表示；求算术平方根；算术平方根的实际应用；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）根据立方根和算数平方根的定义，即可分别求出a，b的值，再通过无理数的估算方法确定c的值；
（2）将（1）中a，b，c的值代入式中求值，再求其平方根即可.
26．【答案】（1）1；0；；-2；3
（2）解：因为m与n互为相反数，p与q互为倒数，，
所以，
所以=0+1-2=-1.
【知识点】实数的概念与分类；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，
∴a=1，b=0，
∵c=，
∴c=，
∵，
∴x+2=0，y-3=0，
∴x=-2，y=3，
故答案为：1，0，，-2，3．
【分析】（1）根据a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，可得a、b的值，根据题意，利用绝对值的性质以及非负数之和为0，求出c、x、y的值即可；
（2）首先，理解题目中给出的条件：m与n互为相反数，p与q互为倒数，以及e的绝对值等于根号2。根据这些条件，我们可以推导出m+n的值、pq的值以及e2的值。最后将这些值代入给定的代数式中，计算出结果。
