广东省深圳外国语学校2024—2025学年八年级上学期期末考试数学试题
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数（）
方差
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．下列说法，错误的是（ ）
A．一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等
B．“若，则”的逆命题是真命题
C．在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
5．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的一元一次不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点F在射线上，，点E在的角平分线上，，．若，则的面积是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．18
7．如图，已知是等边三角形，，E在上，交于点F，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则正方形的面积为（ ）
A．16 B．9 C．8 D．12
二、填空题
9．已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设 ．
10．如图，已知A，B的坐标分别为，，将沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为 ．
11．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰中，，则它的特征值等于 ．
12．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ．
13．如图，在中，，，平分交边于点．将绕点逆时针旋转一定角度使边落在边上，得到，连接．若，则的长为 ．
三、解答题
14．（1）解不等式：，并写出该不等式的最大整数解．
（2）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．
15．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
（1）【操作与实践】
①步骤一：将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；（点A、B的对应点分别为、）
②步骤二：平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的；（点A、B、C的对应点分别为、、）
（2）【应用与求解】
将绕某一点M旋转可以得到，则旋转中心M的坐标为 ．
16．为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级．
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整．
(2)补全下面的表格中的数据：________，________，________．
学校 平均数/分 中位数/分 众数/分
甲校测试班级
乙校测试班级
(3)若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？
17．如图，已知点、在的边上，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
18．根据以下素材，探索完成任务．
背景 深外初中部与南科大物理系联合开发“高阶科学实验之旅”拓展课程，学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，带领学生走进南科大，了解量子物理全球前沿发展动态，参观高精尖实验室．
素材1 A型车最大载客量是60人，B型车的最大载客量是40人，已知A型车每辆的租金是500元，B型车每辆的租金是350元．
素材2 八年级的师生共有360人，根据学校预算，租车的费用需要控制在3300元（包含3300元）以内．
问题解决
任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．（用一元一次不等式组求解）
任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算3300元省多少钱？
19．若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含．
(1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：，
①的解集中点值为 ．
②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含．
(2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围．
(3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围．
20．初二年级学生以“图形的旋转”为主题开展数学探究．
【操作探究】
（1）和都是等腰直角三角形，，，．
如图，当点是上一点时， ；
如图，当点在延长线上时，求的长；
【迁移探究】
（2）如图，是等腰直角三角形，，，过点作直线，点为直线上一动点，点为直线上一动点，，点都不与点重合．当为等腰三角形时，直接写出的长．
《广东省深圳外国语学校2024—2025学年八年级上学期期末考试数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A B C C B D
9．
10．
11．
12．
13．
14．解：（1）去分母得，，
即，
∴
∴
∴最大整数解为7
（2）解：解①得：，
解②得：，
∴不等式组的解集为，在数轴上表示为：
15．解：（1）如图，和为所作；
（2）如图，绕点旋转得到．旋转中心的坐标为．
故答案为．
16．（1）解：乙学校测试班级有人的成绩是级，
从乙校测试班级成绩统计图中可以看出乙学校成绩是级的占总人数的，
乙校参加测试的学生的总人数为(人)，
甲校参加测试的学生总数也是人，
甲校成绩为级的人数为(人)，
补全甲校测试班级成绩统计图如下：
（2）解：甲校参加测试的共有人，按照成绩从高到低排列第名学生应在级，
甲校测试班级的中位数是分，
即，
乙校测试成绩获得组的人数为(人)，获得级的有(人)，
获得级的有(人)，获得级的有(人)，
乙校测试成绩的平均数为：，
乙校测试成绩中获得级的人数最多，
乙校测试成绩的众数是，
故答案为：，，；
（3）解：甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的，
甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的，
甲校测试成绩为级及以上的人数占测试总人数的，
利用样本估计总体，可得：甲校测试成绩达到级及以上的人数为(人)，
答：估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有人．
17．（1）证明：如图，过点作于，
，，
，
，，
，
，
即；
（2）解：，
是等边三角形，
，
，
，
又，
，
．
18．解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，
根据题意得：
解得：
又∵a为整数，
∴或3
∴共有2种租车方案，
方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；
方案2：租用A型车3辆，B型车5辆；
任务2：选择方案1所需总租金为（元）；
选择方案2所需总租金为（元）．
∵，则（元），
∴花费最少的方案比预算3300元省200元钱．
19．（1）解：①解不等式组得，，
∴不等式组的解集中点值为，
故答案为：；
②∵不等式组：，不等式组的解集中点值为，
∴不等式组对于不等式组是中点包含，
故答案为：是；
（2）解：解不等式组得，，
∴不等式组的解集中点值为
解不等式组得，，
∵不等式组对于不等式组中点包含，
∴
解得；
（3）解：解不等式组得，，
∴不等式组的解集中点值为，
解不等式组得，，
∵不等式组对于不等式组中点包含，
∴，
解得，
∵所有符合要求的整数之积为，
∴可取或可取，
∴或，
即．
20．解：（）∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴由勾股定理得：；
如图，连接，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴由勾股定理得：；
（）如图，当在左侧，且时，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴；
如图，当在左侧，且时，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴；
如图，当在左侧，且时，
由上得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
综上可知：的长为或或．
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