吉安八中24-25学年第一学期第一次阶段性评估
八年级数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．在实数，，π，，，，，0.1010010001中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则最长边上的高为（ ）
A．3 B．4 C．2.4 D．3.75
5．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．﹣2+ B．﹣1 C．﹣1﹣ D．2﹣
6．一辆装满货物，宽为2.4m的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的高必须低于（ ）
A．4.1m B．4.0m C．3.9m D．3.8m
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（﹣9）2的平方根是 ，算术平方根是 ，立方根是 ．
8．一个正数的平方根分别是3a﹣4和1﹣6a，则a的值为 ．
9．比较大小：2 5（填“＞，＜，＝”）．
10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC⊥BD，，AB＝6，则BC2+AD2＝ ．
11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，连接AP、EP，当AP+EP最小时，这个最小值是 ．
12．已知，且|a+b|＝﹣a﹣b，则a﹣b的值是 ．
三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．计算：
（1）；
（2）．
14．先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝+1，y＝﹣1．
15．（1）图1中三角形ABC的面积为 ．
（2）在图2中画出边长为、、3的三角形并求其面积．
16．已知a+1的算术平方根是3，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2．
求：（1）a，b，c的值；
（2）a+4b﹣4c的平方根．
17．结合数轴先化简，后求值：．
四.（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．某村有如图所示的一笔直公路AB，水源C处与公路之间有小片沼泽地，为方便公路上的人用水，拟从C处铺设水管到公路上．已知AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求铺设水管的最小长度．
19．对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如．
请你计算：
（1）8*7；
（2）2 3；
（3）6 （5*4）．
20．化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，观察下列等式：
①；
②；
③；
…
利用你观察到的规律解决下列问题：
（1）化简；
（2）求的倒数；
（3）计算：．
五.（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，细心观察，认真分析各式，然后解答问题．
＝（）2+1＝2，S1＝；
＝（）2+1＝3，S2＝；
＝（）2+1＝4，S3＝；…
（1）请用含有n（n为正整数）的式子表示Sn＝ ；
（2）推算出OA10＝ ；
（3）求出+++…+的值．
22．在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC上一点时，请依题意补全图形，并判断以AE、BF、EF三条线段为边构成的三角形是 三角形；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，请依题意补全图2，并判断（1）中的结论是否仍成立，如果成立，请说明理由．
六.（本大题共1小题，共12分）
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值；
（3）若以P，C，B为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出t的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．选：C．
2．选：C．
3．选：C．
4．选：C．
5．选：A．
6．选：A．
二．填空题（共6小题）
7．答案为：±9；9；3．
8．答案为：﹣1．
9．答案为：＞．
10．答案为：49．
11．答案为：2．
12．答案为：﹣1或﹣7．
三．解答题（共11小题）
13．解：（1）
＝2+﹣
＝；
（2）
＝
＝3．
14．解：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y）
＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy
＝9xy
当x＝+1，y＝﹣1时，
原式＝9（+1）（﹣1）
＝9×（2﹣1）
＝9×1
＝9
15．解：（1）∵如图所示，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，DF＝3，
∴如图所示，△DEF即为所求，
∴，
∴三角形的面积为3．
16．解：（1）∵a+1的算术平方根是3，
∴a+1＝9，
∴a＝8；
∵﹣27的立方根是b﹣12，
∴b﹣12＝﹣3，
∴b＝9；
∵c﹣3的平方根是±2，
∴c﹣3＝4，
∴c＝7；
即a，b，c的值分别为8，9，7；
（2）由（1）知，a+4b﹣4c＝8+4×9﹣4×7＝16，
∴a+4b﹣4c的平方根是±4．
17．解：由数轴可知，
∵c＜a＜0＜b且|c|＞|b|＞|a|，
∴a+b＞0，b﹣c＞0，
∴＝﹣a﹣（a+b）+b﹣c＝﹣2a﹣c．
18．解：（1）在△ABC中，AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米，
∵AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°；
（2）当CD⊥AB时，铺设水管的长度最小，
∵△ABC的面积＝AB CD＝AC BC，
∴AB CD＝AC BC，
∴200CD＝120×160，
解得：CD＝96，
∴铺设水管的最小长度为96米．
19．解：（1）∵，
又8+7＝15＞0，
故8*7＝＝＝；
（2）∵，
故；
（3）∵5+4＝9＞0，
故5*4＝＝＝＝3，
6 （5*4）＝6*3＝＝．
20．解：（1）
＝
＝
＝；
（2）的倒数为，
∴的倒数为；
（3）
＝
＝
＝
＝10﹣1
＝9．
21．解：（1）+1＝n+1
Sn＝（n是正整数）；
故答案为：；
（2）∵＝1，
＝（）2+1＝2，
＝（）2+1＝3，
＝（）2+1＝4，
∴OA1＝，
OA2＝，
OA3＝，…
∴OA10＝；
故答案为：；
（3）+++…+＝（）2+（）2+（）2+…+（）2
＝（1+2+3+…+10）
＝．
即：+++ +＝．
22．解：（1）结论：以AE、BF、EF三条线段为边构成的三角形是直角三角形．
理由：延长FD到P，连接AP，PE，EF．
在△ADP和△BDF中，
，
∴△ADP≌△BDF（SAS），
∴∠APD＝∠DFB，AP＝BF，
∴AP∥BC，
∴∠PAE+∠ACB＝180°，
∴∠PAE＝90°，
∵ED⊥PF，DP＝DF，
∴EF＝PE，
∵PE2＝AP2+AE2，
∴AE2+BF2＝EF2，
∴以AE、BF、EF三条线段为边构成的三角形是直角三角形；
（2）结论：AE2+BF2＝EF2．
理由：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，
则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，
∵D点是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDM中，
，
∴△ADE≌△BDM（AAS），
∴AE＝BM，DE＝DM，
∵DF⊥DE，
∴EF＝MF，
∵BM2+BF2＝MF2，
∴AE2+BF2＝EF2．
23．解：（1）如图1，连接BP，
在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝＝8（cm），
则PC＝8﹣PA，
由勾股定理得，PB2＝PC2+BC2，
当PA＝PB时，PA2＝（8﹣PA）2+62，
解得，PA＝，
则t＝÷1＝；
（2）如图2，作PG⊥AB于G，
∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，∠C＝90°，PG⊥AB，
∴CP＝GP，
∴Rt△ACP≌Rt△AGP（HL），
∴AG＝AC＝8（cm），
∴BG＝10﹣8＝2（cm），
设CP＝x cm，则BP＝（6﹣x）cm，PG＝x cm，
∴Rt△BGP中，BG2+PG2＝BP2，即22+x2＝（6﹣x）2，
解得，x＝，
∴AC+CP＝（cm），
∴t＝÷1＝，
当点P沿折线A﹣C﹣B﹣A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上
此时，t＝（10+8+6）÷1＝24，
综上所述，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为或24；
（3）如图3，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，
则t＝8﹣6，
解得，t＝2；
如图4，当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，
∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20，
∴t＝20÷1＝20；
如图5，点P在AB上，CP＝CB＝6，作CD⊥AB于D，
×AB×CD＝×BC×AC，即×10×CD＝×6×8，
解得，CD＝4.8，
在Rt△BCD中，BD＝＝3.6，
∴PB＝2BD＝7.2，
∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2，
此时t＝21.2÷1＝21.2；
如图6，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，
∴PD为△ABC的中位线，
∴AP＝BP＝AB＝5，
∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19，
∴t＝19÷1＝19；
综上所述，t为2或19或20或21.2时，△BCP为等腰三角形．
