2025年“大梦杯”青少年数学水平测试参考答案
测试时间2025年3月9日9：00一11：00满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A,B,C,
D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，
不填、多填或错填都得0分)
1.已知A,B,C为反比例函数y=(k>0)图象上的三点，D为线段AB的中点，
CD⊥AB,若点A,B关于直线y=x对称，且CD=√2，AB=6N2,则k=()
A.8
B.12
C.16
D.36
【答案】C
【解答】因为反比例函数y=《的图象关于直线y=x对称，且点A,B关于直线y=x对
称，CD⊥AB,
所以点C在直线y=x上，设C(u,),则k=t2.
如图，作等腰直角三角形△ECD和△DFA.
因为CD=√2，AB=6N2,
所以D(t+1,t+1),A(t+1+3,t+1-3),
即
A1+4,t-2).
因为点A在反比例函数y=上的图象上，
0
所以(t+4)t-2)=k=t2
解得t=4,于是k=t2=16.选C
(第1题答题图)
2.方程V3x2-3x+6-V3x2-6x+8-6x+4=0(
)
A.无实数根
B.有且仅有一个实数根
C.有两个不同的实数根
D.有三个不同的实数根
【答案】B
【解答】依题意原方程化为V3x2-3x+6-V3x2-6x+8=6x-4.
所以3r2-3x+6)-3x2-6x+8
=6x-4,
V3x2-3x+6+V3x2-6x+8
即
3x-2
=2(3x-2).
V3x2-3x+6+V3x2-6x+8
所以3x-2=0,即x=号或r-3x+6+5r-6+8=
因为5r-3+6=岁+马2,6r-6+8=-r4525,
所以3x-3x+6+6r-6x+8>即方程5x-3x+6+5x-6c+8=无实数解。
因此方程有且仅有一个实数根.选B.
3.满足方程组
2×3+3=39
的有序整数组(a,b,c,d)有（)
a+b=cd
A.2组
B.3组
C.4组
D.5组
【答案】C
【解答】若a≤b,则3<3=2×3+3≤2×3+3=3+'，于是b
于是2×3°+3=3+1，由此可得a=b,于是a=b=c-1.
若a>b,则3<3=2×3+3<2×3”+3=3+'，于是a
综上可知，a=b=c-1.
将a=b=c-1代入a+b=cd,得2c-2=cd,
显然c≠0，于是d=2-2
因为c,d为整数，
所以
d=0'或/c2
d=1
由此可得符合条件的有序整数组(a,b,c,d)为(-3，-3，-2,3)，(-2，-2，-1,4)，
(0,0,1,0),(1,1,2,1),共4组.选C
4.如图，G为△ABC的重心，D,E,F分别为过点G的直线与△ABC的边AB,AC,
BC延长线的交点，若CF=号BC,则△ADE与△ABC的面积之比为()
A.B.
c.月
D.3
A
D
E
B
【答案】A
(第4题图)
【解答】如图，连接AG并延长交BC于点M
因为直线DGF交△ABM的边AB,AM,BM的延长线于点D,G,F,
所以由梅涅芳斯定理知D.BF.MC=1
…①.
DB FM GA
A
同理，由直线GEF交△AMC的边AM,AC,MC的
延长线于点G,E,F,得AC.M.CE=1
…②.
D
GM FC EA
因为G为△ABC的重心，
所以M为BC中点，且MC=1,AC-2
GA2'GMT
B
M
又CF=BC,
21
(第4题答题图)
BF 3 MF 2
F BM MC=CF,FM-FC
22025年“大梦杯”青少年数学水平测试
测试时间2025年3月9日9：00-11：00满分150分
三
题
号
总分
1~5
6≈10
11
12
13
14
得分
评卷人
复查人
答题时注意：
1.用圆珠笔或钢笔作答；不使用计算器；
2.解答书写时不要超过装订线；
3.草稿纸不上交
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为
A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的
代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分)
1.己知A,B,C为反比例函数y=k(k>0)图象上的三点，D为线段
AB的中点，CD⊥AB,若点A,B关于直线y=x对称，且CD=√2，AB=6N2,
则k=()
A.8
B.12
C.16
D.36
2.方程√3x2-3x+6-√3x2-6x+8-6x+4=0()
A.无实数根
B.有且仅有一个实数根
C.有两个不同的实数根
D.有三个不同的实数根
2025年“大梦杯”青少年数学水平测试第1页
共8页
3.满足方程组
2×3+3=3
的有序整数组(a,b,c,d)有()
a+b=cd
A.2组
B.3组
C.4组
D.5组
4.如图，G为△ABC的重心，D,E,F分别为过点G的直线与△ABC的
边AB,AC,BC延长线的交点，若CF=BC,则△ADE与△ABC的面积之
比为()
A.16
5
B.
c
D.
3
G
B
(第4题图)
5.己知a>0,b>0,min
,+26，引=m,则的最大植为()
A.3
B.4
C.3+2W2
D.4+2W2
(符号min{a,b,c}表示实数a,b,c中的最小者，如
min{-l,l,v5}=-l,min{1,l,5}=l.)
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6.若实数x,y满足：x2+V5y=6,y2+5x=6,且x≠y,则
y+
x Y
2025年“大梦杯”青少年数学水平测试第2页
共8页
7.如图，圆O的半径为5，两条互相垂直的弦AB与CD相交于点P,若
PA=3,PC=4,则PB2+PD2=
(第7题图)
[x<2a,
8.设a是正整数，若关于x的不等式组
1的所有整数解的和
x-a
是435，则a=
9.已知a为正整数，若关于x的方程x+(a+5)x3+(3a+10)x2-4a-16=0有
四个互不相同的整数根，则a=一
10.若对任意不小于m的正整数d,总存在正整数a,b,c,使得：①
1
2025年“大梦杯”青少年数学水平测试第3页共8页
