浙江省杭州市杭州中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题
1．（2024九下·杭州期中）的绝对值是（ ）
A．2024 B． C． D．
2．（2024九下·杭州期中）我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．蔚来 B．小鹏
C．小米 D．哪吒
3．（2024九下·杭州期中）“湘”约春天，2024杭州湘湖半程马拉松3月31日鸣枪开跑，本次赛事规模为一万人，预报名人数达到了19665人，比去年增长近多．数据19665用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·杭州期中）我校举行“寻味宋韵·品味春天”的宋韵知识竞赛活动，全校所有班级得分如下：
组别 第一组 第二组 第三组 第四组
总分
班级数 3 6
根据统计表中的数据，中位数在（ ）
A．第一组 B．第二组 C．第三组 D．第四组
5．（2024九下·杭州期中）不等式的解集在数轴上表示为（ ）．
A． B．
C． D．
6．（2024九下·杭州期中）如图，为等腰直角三角形，，将按如图方式进行折叠，使点A与边上的点F重合，折痕分别与、交于点D、点E．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024九下·杭州期中）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数的最大值是5 D．当时，y随x的增大而增大
8．（2024九下·杭州期中）如图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程正确的是（ ）
隔壁听得客分银， 不知人数不知银， 七两分之多四两， 九两分之少半斤． 《算法统宗》 注：明代时1斤两，故有“半斤八两”这个成语
A． B． C． D．
9．（2024九下·杭州期中）如图，已知为的直径，弦与交于点E，连结，设，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九下·杭州期中）已知函数，若则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有最小值 B．当时，无最大值
C．当时，有最小值 D．当时，有最大值
11．（2024九下·杭州期中） ；分解因式： ．
12．（2024九下·杭州期中）在拼音“”中任意选择一个字母，字母“n”出现的概率是 ．
13．（2024九下·杭州期中）有一个圆心角为120°，半径长为9cm的扇形，若将其围成一圆锥侧面，那么这个圆锥的底面圆的半径是 cm．
14．（2024九下·杭州期中）如图，A、D、E三点共线，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，则点B到点E的距离为 ．
15．（2024九下·杭州期中）如图所示，已知的半径等于4，P为外一点，为的切线，，直线与相交于C，D两点，则的长为 ．
16．（2024九下·杭州期中）如图，点为反比例函数上一点，连结并延长交反比例函数于点，且．点在轴正半轴上，连结并延长交轴于点，连结交轴于点，若，，则的面积为 ．
17．（2024九下·杭州期中）以下是圆圆进行化简的解答过程．
解：原式
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
18．（2024九下·杭州期中）如图，的角平分线交于点F，．
（1）求证：．
（2）当时，求的度数．
19．（2024九下·杭州期中）我国男性的体质系数计算公式是：，其中W表示体重（单位：），H表示身高（单位：）．通过计算出的体质系数m对体质进行评价．具体评价如下表：
m
评价结果 明显消瘦 消瘦 正常 过重 肥胖
（1）某男生的身高是，体重是，他的体质评价结果是________．
（2）现从某校九年级学生中随机抽取n名男生进行体质评价，评价结果统计如下：
①抽查的学生数________；图②中a的值为________．
②图①中，体质评价结果为“正常”的扇形圆心角为________°．
（3）若该校九年级共有男生450人，试估计该校九年级体质评价结果为“过重”或“肥胖”男生人数的和．
20．（2024九下·杭州期中）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点A，支架交于点G，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，．
（1）求的度数．
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据）
21．（2024九下·杭州期中）如图1，在正方形中，是对角线，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，点E关于直线的对称点是点F，射线交线段于点G，连接．
（1）当时，依据题意用尺规补全图形，保留作图痕迹．
（2）求的大小．
22．（2024九下·杭州期中）设二次函数（a，c是常数）的图象与x轴有交点．
（1）若图象与x轴交于A，B两点的坐标分别为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
（2）若图象与x轴只有一个交点，且过，求此时a，c的值．
（3）已知，若函数的表达式还可以写成（m，n为常数，且），设二次函数，求的最小值．
23．（2024九下·杭州期中）如图，已知是的弦，点、是上的两个点，交于点，连结，．
（1）求证：点是的中点．
（2）若，求的值．
（3）若，则的值是否为定值？如果是，请求出其值；如果不是，请说明理由．
24．（2024九下·杭州期中）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：一个负数的绝对值等于它的相反数，故-2024的绝对值为2024，
故答案为：A.
【分析】本题考查负数的绝对值，属于简单题，根据概念即可作答。
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
B、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；
C、图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故不符合要求；
D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求.
故答案为：B．
【分析】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180°后能与自身重合，这个图形是中心对称图形，据此逐项进行判断即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：19665用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此求解即可.
4．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：由题意知，班级总数为，
∴中位数为第位的平均数，
∵，
∴中位数落在第三组，
故答案为：C．
【分析】中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
5．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
．
在数轴上表示如图所示：
．
故选：B．
【分析】本题考查一元一次不等式的解法即在数轴上表示不等式的解集。根据一元一次不等式的性质解出未知数的取值范围可得：，在数轴上表示出不等式可选出答案．
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质，，，，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，故选项①正确；
设，，
∴，，，
∴①+②，得，
∴，故选项②正确；
∵，
∴与不一定相等，选项③不一定正确；
∵点在边上，不固定，与不一定平行，选项④不一定正确，
综上，正确的结论有①②共两个.
故答案为：B．
【分析】由折叠性质得∠A=∠3，，，再由等腰直角三角形性质得，即可得到，从而即可判断①；设，，根据平角的定义可得，，由三角形的内角和定理得，即可推导出据此可判断②；∠1与∠2不一定相等据此可判断③；与不一定平行，据此可判断④.
7．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数
∴，开口向上，故A是错误的；
∴函数图象的顶点坐标是，该函数的最小值是5，故B、C是错误的；
当时，y随x的增大而增大，故D是正确的.
故答案为：D.
【分析】二次函数顶点式的一般形式y=a(x-h)2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴直线为x=h，当a＞0时，图象开口向上，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大，x=h时，函数有最小值k；当a＜0时，图象开口向下，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，x=h时，函数有最大值k，据此逐一判断得出答案.
8．【答案】D
【知识点】列一元一次方程；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差八两，
或．
故答案为：D.
【分析】根据“如果每人分七两，则剩余四两”可得银子的总数可表示为7y+4；如果“每人分九两，则还差八两”可得银子的总数可表示为9y-8，根据银子总数不变，列出方程7y+4=9y-8；根据“如果每人分七两，则剩余四两”可得人的总数可表示为；如果“每人分九两，则还差八两”可得人的总数可表示为，根据人的数量不变，列出方程，从而即可逐一判断得出答案.
9．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图：连接
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：B.
【分析】先由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出，再运用三角形内角和以及等边对等角，得出，最后运用三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，即可作答．
10．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的图象；数形结合；分类讨论
11．【答案】；
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】第一空：先代入特殊锐角三角函数值，然后再合并同类二次根式即可；第二空：先提取公因式“2”，再将剩下的商式利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意知，字母“n”出现的概率是，
故答案为：．
【分析】拼音“hangzhong”一共9个拼音字母，其中字母“n”出现了2次，从而概率公式计算求解即可．
13．【答案】3
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设这个圆锥的底面圆的半径是r，根据题意得
，
解之：r=3.
故答案为：3
【分析】设这个圆锥的底面圆的半径是r，利用圆锥展开扇形的弧长等于底面圆的周长，可得到关于r的方程，解方程求出r的值.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BE交CD于O，
∵四边形是菱形，CD=4，
∴，，，
在Rt△BDO中，由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
【分析】如图，连接BE交CD于O，由菱形的对角线互相垂直平分得，，，在Rt△BDO中，由勾股定理算出BO，进而可求BE的长．
15．【答案】2
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
由题意知，，
∵为的切线，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍），
故答案为：2．
【分析】如图，连接OA，由题意知，，由圆的切线垂直经过切点的半径可得，设，则，在Rt△OAP中，由勾股定理建立方程，计算求出满足要求的解即可．
16．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数的一点一垂线型；8字型相似模型
17．【答案】解：圆圆的解答过程是有错误，括号内加括号时，没变号，正确如下：
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】把整式看成分母为“1”的式子，先通分计算括号内的减法，括号内加括号时，由于括号前面是“-”号，所以括到括号内的各项需要改变符号，圆圆出错了；再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而约分化简，即可作答．
18．【答案】（1）证明：
是的角平分线，
又
（2）解：∵∠A=40°
是的角平分线，
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
19．【答案】（1）过重
（2）①60，5；②96
（3）解：（人．
答：该校体质监测结果为“过重”或“肥胖”的男生人数为270人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：某男生的身高是，体重是
，
他的体质评价结果是过重．
故答案为：过重；
（2）解：①抽查的学生数，
过重的人数为，
．
故答案为：60，5；
②图1中，体质评价结果为“正常”的所在扇形圆心角为．
故答案为：96；
【分析】（1）将W=80，H=175代入我国男性的体质系数计算公式求出，即可得出评价结果；
（2）①根据统计图表提供的信息，用肥胖的人数除以它所占的百分比得出抽查的学生数n，进而用本次抽查的学生人数乘以过重人数所占的百分比即可求出过重的人数，然后根据各组人数之和等于数据总数求出a；
②用360°乘以体质评价结果为“正常”的人数所占的百分比即可；
（3）用该校男生的总人数乘以样本中体质评价结果为“过重”与“肥胖”的男生所占的百分比之和，即可估计该校九年级体质评价结果为“过重”或“肥胖”男生人数的和.
20．【答案】（1）解：，
，
，
，
的度数为；
（2）解：该运动员能挂上篮网，
理由如下：延长，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
在中，米，
（米），
（米），
米米，
该运动员能挂上篮网．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
（2）延长OA，ED交于点M，利用二直线平行，内错角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后在中，利用∠ADM得正弦函数求出AM的长，再根据OM=OA+AM算出OM的长，最后将OM的长与3比较即可得出结论.
21．【答案】（1）解：①如图，补全图形如下：
（2） 解：如图，由正方形，结合旋转可得：，，，
，
，，
点关于直线的对称点是点，
，
∴；
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；旋转的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
22．【答案】（1）解：将代入得，
，
解得，，
∴，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：令y1=ax2-4x+c中的y=0得ax2-4x+c=0，
∵图象与x轴只有一个交点，
∴，即，
将代入得，，
解得，或或（舍去），
∴当时，；当时，；
（3）解：当时，，
∵，，
∴，
∴，
∴y2=-(x-m)(x-n)=-x2+(m+n)x-mn=-x2+4x-2
∴，
∵，
∴当时，的值最小，最小值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出y1的解析式，再将解析式化成顶点式可得顶点坐标；
（2）令y1=ax2-4x+c中的y=0得ax2-4x+c=0，由图象与x轴只有一个交点，得方程ax2-4x+c=0有两个相等的实数根，则根的判别式b2-4ac=0，据此求得；将代入得，，可求或或（舍去），然后求解作答即可；
（3）将a=1代入1=ax2-4x+c并结合已知化简可得，从而得到y1与y2的解析式，最后整体代入y1-y2化简后，利用配方法配成顶点式，根据二次函数的性质即可作答.
23．【答案】（1）证明：∵，，又，
∴，
∴，
∴是的中点；
（2）解：如图所示，过点作交的延长线于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：结论：，的值不变．理由：
如图，连接，，C交于，过点作交的延长线于点，
∵，∠ABC=30°
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）可得，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—边角关系；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA
24．【答案】解：任务1：变化量分别为，；；；；
任务2：设，
∵时，，时，；
∴
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为．
任务3：（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴
．
（2）设，则
．
当时，w最小．
∴优化后的函数解析式为．
任务4：时间刻度方案要点：
①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；
任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解；
任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值；
（2）设，然后代入w计算化简，进而利用二次函数性质求w的最小值即可；
任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可．
浙江省杭州市杭州中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题
1．（2024九下·杭州期中）的绝对值是（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：一个负数的绝对值等于它的相反数，故-2024的绝对值为2024，
故答案为：A.
【分析】本题考查负数的绝对值，属于简单题，根据概念即可作答。
2．（2024九下·杭州期中）我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．蔚来 B．小鹏
C．小米 D．哪吒
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
B、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；
C、图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故不符合要求；
D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求.
故答案为：B．
【分析】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180°后能与自身重合，这个图形是中心对称图形，据此逐项进行判断即可．
3．（2024九下·杭州期中）“湘”约春天，2024杭州湘湖半程马拉松3月31日鸣枪开跑，本次赛事规模为一万人，预报名人数达到了19665人，比去年增长近多．数据19665用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：19665用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此求解即可.
4．（2024九下·杭州期中）我校举行“寻味宋韵·品味春天”的宋韵知识竞赛活动，全校所有班级得分如下：
组别 第一组 第二组 第三组 第四组
总分
班级数 3 6
根据统计表中的数据，中位数在（ ）
A．第一组 B．第二组 C．第三组 D．第四组
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：由题意知，班级总数为，
∴中位数为第位的平均数，
∵，
∴中位数落在第三组，
故答案为：C．
【分析】中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
5．（2024九下·杭州期中）不等式的解集在数轴上表示为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
．
在数轴上表示如图所示：
．
故选：B．
【分析】本题考查一元一次不等式的解法即在数轴上表示不等式的解集。根据一元一次不等式的性质解出未知数的取值范围可得：，在数轴上表示出不等式可选出答案．
6．（2024九下·杭州期中）如图，为等腰直角三角形，，将按如图方式进行折叠，使点A与边上的点F重合，折痕分别与、交于点D、点E．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质，，，，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，故选项①正确；
设，，
∴，，，
∴①+②，得，
∴，故选项②正确；
∵，
∴与不一定相等，选项③不一定正确；
∵点在边上，不固定，与不一定平行，选项④不一定正确，
综上，正确的结论有①②共两个.
故答案为：B．
【分析】由折叠性质得∠A=∠3，，，再由等腰直角三角形性质得，即可得到，从而即可判断①；设，，根据平角的定义可得，，由三角形的内角和定理得，即可推导出据此可判断②；∠1与∠2不一定相等据此可判断③；与不一定平行，据此可判断④.
7．（2024九下·杭州期中）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数的最大值是5 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数
∴，开口向上，故A是错误的；
∴函数图象的顶点坐标是，该函数的最小值是5，故B、C是错误的；
当时，y随x的增大而增大，故D是正确的.
故答案为：D.
【分析】二次函数顶点式的一般形式y=a(x-h)2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴直线为x=h，当a＞0时，图象开口向上，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大，x=h时，函数有最小值k；当a＜0时，图象开口向下，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，x=h时，函数有最大值k，据此逐一判断得出答案.
8．（2024九下·杭州期中）如图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程正确的是（ ）
隔壁听得客分银， 不知人数不知银， 七两分之多四两， 九两分之少半斤． 《算法统宗》 注：明代时1斤两，故有“半斤八两”这个成语
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列一元一次方程；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差八两，
或．
故答案为：D.
【分析】根据“如果每人分七两，则剩余四两”可得银子的总数可表示为7y+4；如果“每人分九两，则还差八两”可得银子的总数可表示为9y-8，根据银子总数不变，列出方程7y+4=9y-8；根据“如果每人分七两，则剩余四两”可得人的总数可表示为；如果“每人分九两，则还差八两”可得人的总数可表示为，根据人的数量不变，列出方程，从而即可逐一判断得出答案.
9．（2024九下·杭州期中）如图，已知为的直径，弦与交于点E，连结，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图：连接
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：B.
【分析】先由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出，再运用三角形内角和以及等边对等角，得出，最后运用三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，即可作答．
10．（2024九下·杭州期中）已知函数，若则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有最小值 B．当时，无最大值
C．当时，有最小值 D．当时，有最大值
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的图象；数形结合；分类讨论
11．（2024九下·杭州期中） ；分解因式： ．
【答案】；
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】第一空：先代入特殊锐角三角函数值，然后再合并同类二次根式即可；第二空：先提取公因式“2”，再将剩下的商式利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
12．（2024九下·杭州期中）在拼音“”中任意选择一个字母，字母“n”出现的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意知，字母“n”出现的概率是，
故答案为：．
【分析】拼音“hangzhong”一共9个拼音字母，其中字母“n”出现了2次，从而概率公式计算求解即可．
13．（2024九下·杭州期中）有一个圆心角为120°，半径长为9cm的扇形，若将其围成一圆锥侧面，那么这个圆锥的底面圆的半径是 cm．
【答案】3
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设这个圆锥的底面圆的半径是r，根据题意得
，
解之：r=3.
故答案为：3
【分析】设这个圆锥的底面圆的半径是r，利用圆锥展开扇形的弧长等于底面圆的周长，可得到关于r的方程，解方程求出r的值.
14．（2024九下·杭州期中）如图，A、D、E三点共线，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，则点B到点E的距离为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BE交CD于O，
∵四边形是菱形，CD=4，
∴，，，
在Rt△BDO中，由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
【分析】如图，连接BE交CD于O，由菱形的对角线互相垂直平分得，，，在Rt△BDO中，由勾股定理算出BO，进而可求BE的长．
15．（2024九下·杭州期中）如图所示，已知的半径等于4，P为外一点，为的切线，，直线与相交于C，D两点，则的长为 ．
【答案】2
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
由题意知，，
∵为的切线，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍），
故答案为：2．
【分析】如图，连接OA，由题意知，，由圆的切线垂直经过切点的半径可得，设，则，在Rt△OAP中，由勾股定理建立方程，计算求出满足要求的解即可．
16．（2024九下·杭州期中）如图，点为反比例函数上一点，连结并延长交反比例函数于点，且．点在轴正半轴上，连结并延长交轴于点，连结交轴于点，若，，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数的一点一垂线型；8字型相似模型
17．（2024九下·杭州期中）以下是圆圆进行化简的解答过程．
解：原式
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】解：圆圆的解答过程是有错误，括号内加括号时，没变号，正确如下：
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】把整式看成分母为“1”的式子，先通分计算括号内的减法，括号内加括号时，由于括号前面是“-”号，所以括到括号内的各项需要改变符号，圆圆出错了；再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而约分化简，即可作答．
18．（2024九下·杭州期中）如图，的角平分线交于点F，．
（1）求证：．
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）证明：
是的角平分线，
又
（2）解：∵∠A=40°
是的角平分线，
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
19．（2024九下·杭州期中）我国男性的体质系数计算公式是：，其中W表示体重（单位：），H表示身高（单位：）．通过计算出的体质系数m对体质进行评价．具体评价如下表：
m
评价结果 明显消瘦 消瘦 正常 过重 肥胖
（1）某男生的身高是，体重是，他的体质评价结果是________．
（2）现从某校九年级学生中随机抽取n名男生进行体质评价，评价结果统计如下：
①抽查的学生数________；图②中a的值为________．
②图①中，体质评价结果为“正常”的扇形圆心角为________°．
（3）若该校九年级共有男生450人，试估计该校九年级体质评价结果为“过重”或“肥胖”男生人数的和．
【答案】（1）过重
（2）①60，5；②96
（3）解：（人．
答：该校体质监测结果为“过重”或“肥胖”的男生人数为270人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：某男生的身高是，体重是
，
他的体质评价结果是过重．
故答案为：过重；
（2）解：①抽查的学生数，
过重的人数为，
．
故答案为：60，5；
②图1中，体质评价结果为“正常”的所在扇形圆心角为．
故答案为：96；
【分析】（1）将W=80，H=175代入我国男性的体质系数计算公式求出，即可得出评价结果；
（2）①根据统计图表提供的信息，用肥胖的人数除以它所占的百分比得出抽查的学生数n，进而用本次抽查的学生人数乘以过重人数所占的百分比即可求出过重的人数，然后根据各组人数之和等于数据总数求出a；
②用360°乘以体质评价结果为“正常”的人数所占的百分比即可；
（3）用该校男生的总人数乘以样本中体质评价结果为“过重”与“肥胖”的男生所占的百分比之和，即可估计该校九年级体质评价结果为“过重”或“肥胖”男生人数的和.
20．（2024九下·杭州期中）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点A，支架交于点G，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，．
（1）求的度数．
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据）
【答案】（1）解：，
，
，
，
的度数为；
（2）解：该运动员能挂上篮网，
理由如下：延长，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
在中，米，
（米），
（米），
米米，
该运动员能挂上篮网．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
（2）延长OA，ED交于点M，利用二直线平行，内错角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后在中，利用∠ADM得正弦函数求出AM的长，再根据OM=OA+AM算出OM的长，最后将OM的长与3比较即可得出结论.
21．（2024九下·杭州期中）如图1，在正方形中，是对角线，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，点E关于直线的对称点是点F，射线交线段于点G，连接．
（1）当时，依据题意用尺规补全图形，保留作图痕迹．
（2）求的大小．
【答案】（1）解：①如图，补全图形如下：
（2） 解：如图，由正方形，结合旋转可得：，，，
，
，，
点关于直线的对称点是点，
，
∴；
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；旋转的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
22．（2024九下·杭州期中）设二次函数（a，c是常数）的图象与x轴有交点．
（1）若图象与x轴交于A，B两点的坐标分别为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
（2）若图象与x轴只有一个交点，且过，求此时a，c的值．
（3）已知，若函数的表达式还可以写成（m，n为常数，且），设二次函数，求的最小值．
【答案】（1）解：将代入得，
，
解得，，
∴，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：令y1=ax2-4x+c中的y=0得ax2-4x+c=0，
∵图象与x轴只有一个交点，
∴，即，
将代入得，，
解得，或或（舍去），
∴当时，；当时，；
（3）解：当时，，
∵，，
∴，
∴，
∴y2=-(x-m)(x-n)=-x2+(m+n)x-mn=-x2+4x-2
∴，
∵，
∴当时，的值最小，最小值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出y1的解析式，再将解析式化成顶点式可得顶点坐标；
（2）令y1=ax2-4x+c中的y=0得ax2-4x+c=0，由图象与x轴只有一个交点，得方程ax2-4x+c=0有两个相等的实数根，则根的判别式b2-4ac=0，据此求得；将代入得，，可求或或（舍去），然后求解作答即可；
（3）将a=1代入1=ax2-4x+c并结合已知化简可得，从而得到y1与y2的解析式，最后整体代入y1-y2化简后，利用配方法配成顶点式，根据二次函数的性质即可作答.
23．（2024九下·杭州期中）如图，已知是的弦，点、是上的两个点，交于点，连结，．
（1）求证：点是的中点．
（2）若，求的值．
（3）若，则的值是否为定值？如果是，请求出其值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵，，又，
∴，
∴，
∴是的中点；
（2）解：如图所示，过点作交的延长线于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：结论：，的值不变．理由：
如图，连接，，C交于，过点作交的延长线于点，
∵，∠ABC=30°
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）可得，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—边角关系；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA
24．（2024九下·杭州期中）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
【答案】解：任务1：变化量分别为，；；；；
任务2：设，
∵时，，时，；
∴
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为．
任务3：（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴
．
（2）设，则
．
当时，w最小．
∴优化后的函数解析式为．
任务4：时间刻度方案要点：
①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；
任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解；
任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值；
（2）设，然后代入w计算化简，进而利用二次函数性质求w的最小值即可；
任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可．
