贵州省2025年初中学业水平考试数学模拟训练卷（五）

贵州省2025年初中学业水平考试数学模拟训练卷（五）
1．（2024·贵州模拟）在，，，2中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是有理数，是无理数．
故答案为：B．
【分析】根据无限不循环小数是无理数解答即可．
2．（2024·贵州模拟）下列博物馆（院）图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用中心对称图形的定义“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”逐项判断解题．
3．（2024·贵州模拟）某同学对数据35，29，32，4■，45，45进行统计分析，发现两位数“4■”的个位数字模糊不清，则下列统计量一定不受影响的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：该数据共有6个数，其中35排在第三位，第三位与第四位的平均数就是中位数，故该题中位数受到影响，且平均数，方差均受到影响，
因为其中45有两个，污损的数字十位数是4，
所以众数不受影响，
故答案为：C．
【分析】利用平均数，中位数，众数，方差的定义解答即可．
4．（2024·贵州模拟）大头针把3根平放在桌上的细直木条分别固定在M、N处，并使木条可以绕点M、N转动，若，只转动木条a使其与b平行，则木条a转动的度数至少是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵要使木条与平行，，
∴木条旋转的度数至少是．
故答案为：B．
【分析】利用平行线的性质得到旋转后的同位角的度数，在运用角的和差解题即可．
5．（2024·贵州模拟）如图，在中，，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，F为的中点，连接，则的长为（　　）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
由作图可知，垂直平分，
∴，
又∵F为的中点，
∴为的中位线，
∴，
故答案为：C．
【分析】首先根据勾股定理求得BC的长度，然后根据三角形中位线定理，即可得出EF的长.
6．（2024·贵州模拟）下列分式一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A、，分式有意义，符合题意；
B、，当时，分式无意义，不符合题意；
C、，当时，分式无意义，本选项不符合题意；
D、时，分式无意义，本选项不符合题意，
故答案为：A．
【分析】利用分式的分母不为零判断解题．
7．（2024·贵州模拟）若一次函数的图像经过点，则该图像一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：经过点
将代入得：
解得：
该函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限
故答案为：D．
【分析】把代入求出一次函数解析式，得到直线经过的象限解题即可．
8．（2024·贵州模拟）有理数a 、b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；相反数的意义与性质；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据数轴上的点所表示数的特点，可得b＜0＜a ，且|b|＞|a|，
∴-a＜0＜-b，ab＜0，a+b＜0，a-b＞0，
∴，，，a+b＜a-b，
∴A选项正确，符合题意，B、C、D选项错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点，可得b＜0＜a ，且|b|＞|a|，然后根据不等式性质及有理数的加减法及乘法法则可得-a＜0＜-b，ab＜0，a+b＜0，a-b＞0，从而即可逐项判断得出答案．
9．（2024·贵州模拟）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（　　）
A． B． C．π D．2π
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，
∴ = = = = ，
根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，
即凸轮的周长= + + =3× =π．
故选C．
【分析】由“凸轮”的外围是以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，然后根据弧长公式计算出三段弧长，三段弧长之和即为凸轮的周长．
10．（2024·贵州模拟）下列说法正确的是（　　）．
A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用全面调查方法；
B．天气预报说“明天的降水概率为80%”，意味着明天有80%的时间在下雨；
C．某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币5次，结果都是正面朝上，则他第6次抛这枚硬币必定正面朝上；
D．“买中奖率为的奖券100张，中奖”是随机事件．
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；概率的意义
【解析】【解答】解：A、为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽样调查方法，故该项不正确，不符合题意；
B、天气预报说“明天的降水概率为80%”，意味着明天有的概率下雨，故该项不正确，不符合题意；
C、某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币5次，结果都是正面朝上，则他第6次抛掷这枚硬币不一定正面朝上，故该项不正确，不符合题意；
D、“买中奖率为的奖券100张，中奖”是随机事件，故该项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据调查的分类，概率的意义，事件的分类逐项判断解题即可．
11．（2024·贵州模拟）我国古代算书《四元玉鉴》记载“二果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱 ”其大意是：现有九百九十九文钱，共买甜果和苦果一千个．已知九个甜果十一文钱，七个苦果四文钱，请问甜果和苦果各买多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？设甜果买个，苦果买个，则下列关于，的二元一次方程组中符合题意的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意可得：，
故答案为：C．
【分析】 设甜果买个，苦果买个， 然后根据“ 九百九十九文钱，共买甜果和苦果一千个．已知九个甜果十一文钱，七个苦果四文钱“得到方程组即可．
12．（2024·贵州模拟）已知抛物线的图象上有三点，，，其中，则下列说法错误的是（　　）
A．方程有3个根，则
B．
C．关于的一元二次方程的两根为，，且，则
D．抛物线的顶点坐标为
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线为，即，
∴抛物线的顶点坐标为．故D选项正确；
把代入函数中，得，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点为，，
∵抛物线的开口向上，
且抛物线上的两点，中，，
结合的图象知，，
∴．故B选项正确；
将抛物线向下平移m个单位长度，得到，
该抛物线与x轴的一个交点在点的左侧，另一交点在点的右侧，
∴关于x的一元二次方程（）的两解为，，满足，故C选项正确．
∵方程有3个根，
∴函数的图象与直线有3个交点，
∵函数的图象与x轴的交点为，，
如图，当直线经过点时，直线与函数的图象有3个交点，即
此时把点代入函数中，得到，
解得，
当时，，
如图，当直线与函数只有一个交点时，直线与函数的图象有3个交点
∴对于方程可化为，即，
∴，
解得，
综上所述，或．故A选项错误．
故答案为：A．
【分析】把点C的坐标代入中，求出抛物线解析式，得到顶点坐标，判断D；根据抛物线与x轴的交点坐标判断B；抛物线先下平移m个单位长度后，与x轴的交点的横坐标是方程的解，判断C；画出函数的图象，结合图像判断A解题即可．
13．（2024·贵州模拟）化简的结果是　 　．
【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】先运算单项式乘以多项式，然后合并解题即可．
14．（2024·贵州模拟）如图，是反比例函数（为常数且，）的图象的一部分，则的值可能是　 　．（只写一个）
【答案】-6（答案不唯一）
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：结合图象及根据比例系数的几何意义可得：且，
∴，
∴的值可以为-6．（答案不唯一）
故答案为：-6.
【分析】由于反比例函数（为常数且，） 的图象的一支在第二象限，可得比例系数k+3＜0①，然后根据反比例函数系数的几何意义可得k+3＞-4②，联立①②组成的不等式组，求解得出k的取值范围，即可得出答案.
15．（2024·贵州模拟）“在生活的舞台上，我们都是不屈不挠的拳击手，面对无尽的挑战，挥洒汗水，拼搏向前！”今年的春节档《热辣滚烫》展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小星、小红两人也观看了此电影．如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图，若分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，建立平面直角坐标系，他们这样描述自己的座位：①小星：表示我座位的坐标为；②小红：在小星的座位向右走4个座位，再向上走2个座位，就可以找到我了，则表示小红座位的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
16．（2024·贵州模拟）如图，矩形的边长，为的中点， F在边上，且，分别与相交于点M，N，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，延长交点为，
∵矩形，
∴，，，，
∵为的中点，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∵AB∥CD
∴，
∴，即，
解得，，
同理，
∴，即，
解得，，
∴，
故答案为：．
【分析】如图，延长DC、AF交点为G，由矩形性质得AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，CD=AB=2，BC=AD=3，由已知易得AE=1，BF=2，CF=1，从而可推出△ABF与△CFG都是等腰直角三角形，得CG=CF=1，由∠BAF的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出AF的长，由∠G的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出FG的长，由平行于三角形一边得直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△ANB∽△GND，△AME∽△GMD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AN、AM的长，最后根据MN=AN-AM计算可得答案.
17．（2024·贵州模拟）（1） 计算：；
（2） 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并选择你认为合适的方法解方程．
①； ②； ③； ④．
【答案】解：（1） 解：原式．
（2） 答案不唯一，若选择①和②，
①，
整理得，
，
，．
②，
，
，
，
，．
【知识点】零指数幂；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
18．（2024·贵州模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，轴，且，点的坐标为，点的坐标为．
（1）若反比例函数的图象经过点，求此反比例函数的表达式；
（2）若将向下平移个单位长度得到，，两点的对应点，恰好同时落在反比例函数的图象上，求的值．
【答案】（1）解： 反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：，
反比例函数的表达式为．
（2）解：∵，轴，且，∴，
∵，将向下平移个单位长度得到，
∴，，
，两点同时落在反比例函数图象上，
∴，
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数的解析式即可；
（2）表示出点， 得坐标，代入反比例函数解析式即可得到，求出m值即可．
（1）解： 反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：，
反比例函数的表达式为．
（2）解：∵，轴，且，
∴，
∵，将向下平移个单位长度得到，
∴，，
，两点同时落在反比例函数图象上，
∴，
．
19．（2024·贵州模拟）为弘扬中国地域文化，某校七、八年级开展了“知中国爱中国兴中国”知识竞赛，竞赛后，随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩(百分制)，学生的成绩用x来表示，分四个等级∶，，，，并绘制了如下统计图表．
信息1∶抽样调查的20名八年级学生成绩的频数分布直方图∶
信息2∶抽样调查的20名八年级学生的成绩在C组中的数据是∶
80　81　82　82　85　86　86　88　89　89　89
信息3∶七、八年级抽取的学生竞赛成绩相关统计结果
年级 七年级 八年级
平均数 85.85 86.25
中位数 84.5 a
众数 84 89
方差 71.43 54.09
根据以上信息，解答下列问题∶
（1）______．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对中国地域文化知识掌握较好？请说明理由．（一条理由即可）
（3）两个年级成绩在95分以上的6名同学中有男生3名，女生3名，学校准备从中任意抽取2名同学交流活动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）87
（2）解：我认为八年级学生对中国地域文化知识掌握较好．因为八年级学生竞赛成绩的平均数比七年级的高，而且方差比七年级的小．（答案不唯一，只要合理即可）
（3）解：将3名男生分别记为男1，男2，男3，3名女生分别记为女1，女2，女3，然后列表如下：
一 二 男 男 男 女 女 女
男
男
男
女
女
女
总共有种等可能的结果，而恰好是一名男生和一名女生的结果数有种，所以，一名男生一名女生的概率为
【知识点】频数（率）分布直方图；用列表法或树状图法求概率；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：八年级有名同学，是第10，11位同学的分数平均数就是该组数据的中位数，组、组共有3人，C组11人，故中位数是落在组，
∴中位数是，即，
故答案为：；
【分析】（1）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可求出a的值；
（2）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，平均数是反应一组数据集中趋势的量；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，简单的说，就是一组数据中占比最多的那个数，反应的是一组数据的集中趋势的量；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，数组中，一半的数据比中位数大，另一半的数据比中位数小，中位数是一种衡量集中趋势的量；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此进行阐述即可；
（3）运用列表法把所有等可能结果表示出来，由表可知总共有30种等可能的结果，而恰好是一名男生和一名女生的结果数有18种，再根据概率的计算方法即可求解．
（1）解：八年级有名同学，是第10，11位同学的分数平均数，组、组共有3人，故中位数是落在组，
∴中位数是，即，
故答案为：．
（2）解：我认为八年级学生对中国地域文化知识掌握较好．因为八年级学生竞赛成绩的平均数比七年级的高，而且方差比七年级的小．（答案不唯一，只要合理即可）
（3）解：将3名男生分别记为男1，男2，男3，3名女生分别记为女1，女2，女3，然后列表如下：
一 二 男 男 男 女 女 女
男
男
男
女
女
女
总共有种等可能的结果，而恰好是一名男生和一名女生的结果数有种，所以，一名男生一名女生的概率为．
20．（2024·贵州模拟）如图，在正方形中，为边上的一个动点，为延长线上的一个动点，连接，，交于点，为边上一点且，连接．有下列条件：
，．
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：；
（2）若为的中点，，求的长．
【答案】（1）解：若选择，
证明如下： 四边形是正方形，
， ．
，
．
若选择①，
证明如下： 四边形是正方形，
， ．
，
，
，
．
（2）解：如图，过点作交于点，
，．
，
，，
．
由（1）得，，
．
为的中点，
，
，
，
．
设，则，
在中，，
即，
解得或（舍去），
．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）选择条件后，根据全等三角形的判定定理解答即可；
（2）根据平行得到，利用三角形相似的对应边成比例得到，求出GP长，然后设，在中，利用勾股定理求出a的值解题即可．
（1）解：若选择，
证明如下： 四边形是正方形，
， ．
，
．
若选择①，
证明如下： 四边形是正方形，
， ．
，
，
，
．
（2）解：如图，过点作交于点，
，．
，
，，
．
由（1）得，，
．
为的中点，
，
，
，
．
设，则，
在中，，
即，
解得或（舍去），
．
21．（2024·贵州模拟）“满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱、某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的“青提”和“红提”供客户对比品尝，其中购买“青提”用了480元，购买“红提”用了360元，已知每千克“青提”的进价比每千克“红提”的进价多3元．
（1）求每千克“红提”和“青提”进价各是多少元．
（2）若该水果商城决定再次购买同种“红提”和“青提”共40千克，且再次购买的费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若“红提”的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的“红提”和“青提”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设每千克“红提”的进价是元，则每千克 “青提”的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：每千克“红提”的进价是9元，则每千克 “青提”的进价是12元
（2）解：设购买“红提”千克，则购买“青提”千克，由题意得：，
解得：，
令利润为，
则，
，
当时，有最大值，最大值为，此时，
即购买“红提”10千克，则购买“青提”30千克，售完后获得利润最大，最大利润是元
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克“红提”的进价是x元，则每千克 “青提”的进价是(x+3)元，根据总价除以单价等于数量及购买“青提”和“红提”的数量相等列分式方程求解，检验后即可得到答案；
（2）设购买“红提”a千克，则购买“青提”(40-a)千克，根据单价乘以数量等于总价及购买同种“红提”和“青提”共40千克的费用不超过450元列不等式，求出a的取值范围；令利润为w，根据总利润等于每千克的利润×销售数量及销售a千克“红提”的利润+销售(40-a)千克“青提”的利润=总利润得到w关于a的函数关系式，再利用一次函数的增减性，最求最大值，即可得到答案．
22．（2024·贵州模拟）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果精确到）．
【答案】（1）解：由题意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴，
答：
（2）解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，由∠CAB的余弦函数及特殊锐角三角函数值可算出AB的长；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理算BC的长，在Rt△BCD，由∠CDB的正弦函数算BD的长，由绳子长度不变得BC+AB=BE+BD，从而代值计算可算出BE的长，最后根据CE=BC-BE可算出答案.
（1）解：由题意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴，
答：；
（2）解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为．
23．（2024·贵州模拟）如图，是以为直径的的内接三角形，为上一点，连接，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接．已知为的切线．
（1）若，，则线段的长为______________________；
（2）求证：
（3）若 ，请判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）证明：如图，
∵为直径，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：四边形为菱形，理由如下：
∵
∴由上知：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：；
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后根据勾股定理求出CF长，然后根据平行线分线段成比例得到，解题即可；
（2）根据圆周角定理得到，即可得到，再根据，即可证明结论；
（3）先得到，，即可得到，然后根据得到，则有，可得，则为平行四边形，再根据AD=AC的得以证明．
（1）解：连接，
∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图，
∵为直径，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：四边形为菱形，理由如下：
∵
∴由上知：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
24．（2024·贵州模拟）如图是南水北调某段河道的截面图．河道轮廓为某抛物线的一部分，小红在枯水期测得河道宽度米，河水水面截痕米，水面到河岸水平线的距离为7.5米，以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，解决如下问题：
（1）求河道轮廓的函数表达式，并求此时最大水深为多少米？
（2）在丰水期，测得水面到的距离为米，求此时水面截痕的长；
（3）在（2）的条件下，小红乘坐小船游弋到河道正中央时，向右侧河岸抛出一个小球，小球恰好落在点处，小球飞行过程中到水面最大距离是8米，若小红抛球的力道和角度不改变，要想让小球飞到河岸上（即点右侧），求小红的小船至少要向右划行多少米？
【答案】（1）解：如解图，过点作轴于点，由二次函数图象的对称性可得．，
，
∵，
．
设二次函数表达式为，
将代入得
，
解得，
二次函数表达式为．
，
二次函数图象的顶点纵坐标为，此时最大水深为（米）．
（2）解： 丰水期时水面到的距离是3.6米，
令，
即，
解得，，
，
此时水面截痕的长为16米．

（3）解：由题易知小球的轨迹是抛物线，如解图，设的中点为，小球轨迹的顶点是点，
．
由（2）知，
小球飞行过程中到水面最大距离是8米，且经过，两点，
，两点关于对称轴对称，
．
设小球的轨迹抛物线的表达式为，
将代入得，
解得，
．
设向右划行米，小球落到点，此时抛物线表达式为，
将代入可得，
解得（舍去）或．
答：小红的小船至少要向右划行米．
【知识点】二次函数的其他应用；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先求出点点坐标，然后运用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先得到点和点的纵坐标为，代入值求出x值，即可求出DE长；
（3）先利用待定系数法求出船在中间时小球的运动轨迹解析式，再设向右划行米的解析式，把点坐标代入求出的值即可．
（1）解：如解图，过点作轴于点，由二次函数图象的对称性可得．
，
，
∵，
．
设二次函数表达式为，
将代入得
，
解得，
二次函数表达式为．
，
二次函数图象的顶点纵坐标为，此时最大水深为（米）．
（2）解： 丰水期时水面到的距离是3.6米，
令，
即，
解得，，
，
此时水面截痕的长为16米．
（3）解：由题易知小球的轨迹是抛物线，如解图，设的中点为，小球轨迹的顶点是点，
．
由（2）知，
小球飞行过程中到水面最大距离是8米，且经过，两点，
，两点关于对称轴对称，
．
设小球的轨迹抛物线的表达式为，
将代入得，
解得，
．
设向右划行米，小球落到点，此时抛物线表达式为，
将代入可得，
解得（舍去）或．
答：小红的小船至少要向右划行米．
25．（2024·贵州模拟）综合与探究：在中， ，．
（1）【动手操作】如图①，为斜边上一点，连接并延长到点，使得，过点作于点．根据题意作出图形，则与的数量关系为 ____________________________；
（2）【问题探究】如图②，为边上一点，连接并延长到点，使得，过点作，交直线于点．当点，位于点异侧时，探究，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，若点，位于点同侧，，，求的长．
【答案】（1）
（2）解：过点C作于G，如图，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，
∴，
，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∴；
（3）解：过点C作于G，如图，
，，
同理可证，
∵，
当点F在点A、D之间时，有
∴，
∴；
当点D在点A、F之间时，如图：
∴，
∴；
综合上述，线段的长为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：作图如下：过点C作于G，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）过点作于G，先得到，即可得到，再根据勾股定理解题即可；
（2）过点作于G，根据平行可以得到，即可得到，然后根据勾股定理求出解题即可；
（3）过点C作于G，根据、两种情况，根据（2）结论解题．
（1）解：作图如下：过点C作于G，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：过点C作于G，如图，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，
∴，
，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∴；
（3）解：过点C作于G，如图，
，，
同理可证，
∵，
当点F在点A、D之间时，有
∴，
∴；
当点D在点A、F之间时，如图：
∴，
∴；
综合上述，线段的长为或．
贵州省2025年初中学业水平考试数学模拟训练卷（五）
1．（2024·贵州模拟）在，，，2中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．2
2．（2024·贵州模拟）下列博物馆（院）图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024·贵州模拟）某同学对数据35，29，32，4■，45，45进行统计分析，发现两位数“4■”的个位数字模糊不清，则下列统计量一定不受影响的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4．（2024·贵州模拟）大头针把3根平放在桌上的细直木条分别固定在M、N处，并使木条可以绕点M、N转动，若，只转动木条a使其与b平行，则木条a转动的度数至少是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·贵州模拟）如图，在中，，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，F为的中点，连接，则的长为（　　）．
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2024·贵州模拟）下列分式一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·贵州模拟）若一次函数的图像经过点，则该图像一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2024·贵州模拟）有理数a 、b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么（　　）
A． B． C． D．
9．（2024·贵州模拟）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（　　）
A． B． C．π D．2π
10．（2024·贵州模拟）下列说法正确的是（　　）．
A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用全面调查方法；
B．天气预报说“明天的降水概率为80%”，意味着明天有80%的时间在下雨；
C．某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币5次，结果都是正面朝上，则他第6次抛这枚硬币必定正面朝上；
D．“买中奖率为的奖券100张，中奖”是随机事件．
11．（2024·贵州模拟）我国古代算书《四元玉鉴》记载“二果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱 ”其大意是：现有九百九十九文钱，共买甜果和苦果一千个．已知九个甜果十一文钱，七个苦果四文钱，请问甜果和苦果各买多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？设甜果买个，苦果买个，则下列关于，的二元一次方程组中符合题意的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2024·贵州模拟）已知抛物线的图象上有三点，，，其中，则下列说法错误的是（　　）
A．方程有3个根，则
B．
C．关于的一元二次方程的两根为，，且，则
D．抛物线的顶点坐标为
13．（2024·贵州模拟）化简的结果是　 　．
14．（2024·贵州模拟）如图，是反比例函数（为常数且，）的图象的一部分，则的值可能是　 　．（只写一个）
15．（2024·贵州模拟）“在生活的舞台上，我们都是不屈不挠的拳击手，面对无尽的挑战，挥洒汗水，拼搏向前！”今年的春节档《热辣滚烫》展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小星、小红两人也观看了此电影．如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图，若分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，建立平面直角坐标系，他们这样描述自己的座位：①小星：表示我座位的坐标为；②小红：在小星的座位向右走4个座位，再向上走2个座位，就可以找到我了，则表示小红座位的坐标为　 　．
16．（2024·贵州模拟）如图，矩形的边长，为的中点， F在边上，且，分别与相交于点M，N，则的长为　 　．
17．（2024·贵州模拟）（1） 计算：；
（2） 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并选择你认为合适的方法解方程．
①； ②； ③； ④．
18．（2024·贵州模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，轴，且，点的坐标为，点的坐标为．
（1）若反比例函数的图象经过点，求此反比例函数的表达式；
（2）若将向下平移个单位长度得到，，两点的对应点，恰好同时落在反比例函数的图象上，求的值．
19．（2024·贵州模拟）为弘扬中国地域文化，某校七、八年级开展了“知中国爱中国兴中国”知识竞赛，竞赛后，随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩(百分制)，学生的成绩用x来表示，分四个等级∶，，，，并绘制了如下统计图表．
信息1∶抽样调查的20名八年级学生成绩的频数分布直方图∶
信息2∶抽样调查的20名八年级学生的成绩在C组中的数据是∶
80　81　82　82　85　86　86　88　89　89　89
信息3∶七、八年级抽取的学生竞赛成绩相关统计结果
年级 七年级 八年级
平均数 85.85 86.25
中位数 84.5 a
众数 84 89
方差 71.43 54.09
根据以上信息，解答下列问题∶
（1）______．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对中国地域文化知识掌握较好？请说明理由．（一条理由即可）
（3）两个年级成绩在95分以上的6名同学中有男生3名，女生3名，学校准备从中任意抽取2名同学交流活动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
20．（2024·贵州模拟）如图，在正方形中，为边上的一个动点，为延长线上的一个动点，连接，，交于点，为边上一点且，连接．有下列条件：
，．
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：；
（2）若为的中点，，求的长．
21．（2024·贵州模拟）“满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱、某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的“青提”和“红提”供客户对比品尝，其中购买“青提”用了480元，购买“红提”用了360元，已知每千克“青提”的进价比每千克“红提”的进价多3元．
（1）求每千克“红提”和“青提”进价各是多少元．
（2）若该水果商城决定再次购买同种“红提”和“青提”共40千克，且再次购买的费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若“红提”的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的“红提”和“青提”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
22．（2024·贵州模拟）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果精确到）．
23．（2024·贵州模拟）如图，是以为直径的的内接三角形，为上一点，连接，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接．已知为的切线．
（1）若，，则线段的长为______________________；
（2）求证：
（3）若 ，请判断四边形的形状，并说明理由．
24．（2024·贵州模拟）如图是南水北调某段河道的截面图．河道轮廓为某抛物线的一部分，小红在枯水期测得河道宽度米，河水水面截痕米，水面到河岸水平线的距离为7.5米，以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，解决如下问题：
（1）求河道轮廓的函数表达式，并求此时最大水深为多少米？
（2）在丰水期，测得水面到的距离为米，求此时水面截痕的长；
（3）在（2）的条件下，小红乘坐小船游弋到河道正中央时，向右侧河岸抛出一个小球，小球恰好落在点处，小球飞行过程中到水面最大距离是8米，若小红抛球的力道和角度不改变，要想让小球飞到河岸上（即点右侧），求小红的小船至少要向右划行多少米？
25．（2024·贵州模拟）综合与探究：在中， ，．
（1）【动手操作】如图①，为斜边上一点，连接并延长到点，使得，过点作于点．根据题意作出图形，则与的数量关系为 ____________________________；
（2）【问题探究】如图②，为边上一点，连接并延长到点，使得，过点作，交直线于点．当点，位于点异侧时，探究，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，若点，位于点同侧，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是有理数，是无理数．
故答案为：B．
【分析】根据无限不循环小数是无理数解答即可．
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用中心对称图形的定义“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”逐项判断解题．
3．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：该数据共有6个数，其中35排在第三位，第三位与第四位的平均数就是中位数，故该题中位数受到影响，且平均数，方差均受到影响，
因为其中45有两个，污损的数字十位数是4，
所以众数不受影响，
故答案为：C．
【分析】利用平均数，中位数，众数，方差的定义解答即可．
4．【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵要使木条与平行，，
∴木条旋转的度数至少是．
故答案为：B．
【分析】利用平行线的性质得到旋转后的同位角的度数，在运用角的和差解题即可．
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
由作图可知，垂直平分，
∴，
又∵F为的中点，
∴为的中位线，
∴，
故答案为：C．
【分析】首先根据勾股定理求得BC的长度，然后根据三角形中位线定理，即可得出EF的长.
6．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A、，分式有意义，符合题意；
B、，当时，分式无意义，不符合题意；
C、，当时，分式无意义，本选项不符合题意；
D、时，分式无意义，本选项不符合题意，
故答案为：A．
【分析】利用分式的分母不为零判断解题．
7．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：经过点
将代入得：
解得：
该函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限
故答案为：D．
【分析】把代入求出一次函数解析式，得到直线经过的象限解题即可．
8．【答案】A
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；相反数的意义与性质；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据数轴上的点所表示数的特点，可得b＜0＜a ，且|b|＞|a|，
∴-a＜0＜-b，ab＜0，a+b＜0，a-b＞0，
∴，，，a+b＜a-b，
∴A选项正确，符合题意，B、C、D选项错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点，可得b＜0＜a ，且|b|＞|a|，然后根据不等式性质及有理数的加减法及乘法法则可得-a＜0＜-b，ab＜0，a+b＜0，a-b＞0，从而即可逐项判断得出答案．
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，
∴ = = = = ，
根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，
即凸轮的周长= + + =3× =π．
故选C．
【分析】由“凸轮”的外围是以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，然后根据弧长公式计算出三段弧长，三段弧长之和即为凸轮的周长．
10．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；概率的意义
【解析】【解答】解：A、为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽样调查方法，故该项不正确，不符合题意；
B、天气预报说“明天的降水概率为80%”，意味着明天有的概率下雨，故该项不正确，不符合题意；
C、某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币5次，结果都是正面朝上，则他第6次抛掷这枚硬币不一定正面朝上，故该项不正确，不符合题意；
D、“买中奖率为的奖券100张，中奖”是随机事件，故该项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据调查的分类，概率的意义，事件的分类逐项判断解题即可．
11．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意可得：，
故答案为：C．
【分析】 设甜果买个，苦果买个， 然后根据“ 九百九十九文钱，共买甜果和苦果一千个．已知九个甜果十一文钱，七个苦果四文钱“得到方程组即可．
12．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线为，即，
∴抛物线的顶点坐标为．故D选项正确；
把代入函数中，得，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点为，，
∵抛物线的开口向上，
且抛物线上的两点，中，，
结合的图象知，，
∴．故B选项正确；
将抛物线向下平移m个单位长度，得到，
该抛物线与x轴的一个交点在点的左侧，另一交点在点的右侧，
∴关于x的一元二次方程（）的两解为，，满足，故C选项正确．
∵方程有3个根，
∴函数的图象与直线有3个交点，
∵函数的图象与x轴的交点为，，
如图，当直线经过点时，直线与函数的图象有3个交点，即
此时把点代入函数中，得到，
解得，
当时，，
如图，当直线与函数只有一个交点时，直线与函数的图象有3个交点
∴对于方程可化为，即，
∴，
解得，
综上所述，或．故A选项错误．
故答案为：A．
【分析】把点C的坐标代入中，求出抛物线解析式，得到顶点坐标，判断D；根据抛物线与x轴的交点坐标判断B；抛物线先下平移m个单位长度后，与x轴的交点的横坐标是方程的解，判断C；画出函数的图象，结合图像判断A解题即可．
13．【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】先运算单项式乘以多项式，然后合并解题即可．
14．【答案】-6（答案不唯一）
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：结合图象及根据比例系数的几何意义可得：且，
∴，
∴的值可以为-6．（答案不唯一）
故答案为：-6.
【分析】由于反比例函数（为常数且，） 的图象的一支在第二象限，可得比例系数k+3＜0①，然后根据反比例函数系数的几何意义可得k+3＞-4②，联立①②组成的不等式组，求解得出k的取值范围，即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，延长交点为，
∵矩形，
∴，，，，
∵为的中点，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∵AB∥CD
∴，
∴，即，
解得，，
同理，
∴，即，
解得，，
∴，
故答案为：．
【分析】如图，延长DC、AF交点为G，由矩形性质得AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，CD=AB=2，BC=AD=3，由已知易得AE=1，BF=2，CF=1，从而可推出△ABF与△CFG都是等腰直角三角形，得CG=CF=1，由∠BAF的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出AF的长，由∠G的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出FG的长，由平行于三角形一边得直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△ANB∽△GND，△AME∽△GMD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AN、AM的长，最后根据MN=AN-AM计算可得答案.
17．【答案】解：（1） 解：原式．
（2） 答案不唯一，若选择①和②，
①，
整理得，
，
，．
②，
，
，
，
，．
【知识点】零指数幂；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
18．【答案】（1）解： 反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：，
反比例函数的表达式为．
（2）解：∵，轴，且，∴，
∵，将向下平移个单位长度得到，
∴，，
，两点同时落在反比例函数图象上，
∴，
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数的解析式即可；
（2）表示出点， 得坐标，代入反比例函数解析式即可得到，求出m值即可．
（1）解： 反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：，
反比例函数的表达式为．
（2）解：∵，轴，且，
∴，
∵，将向下平移个单位长度得到，
∴，，
，两点同时落在反比例函数图象上，
∴，
．
19．【答案】（1）87
（2）解：我认为八年级学生对中国地域文化知识掌握较好．因为八年级学生竞赛成绩的平均数比七年级的高，而且方差比七年级的小．（答案不唯一，只要合理即可）
（3）解：将3名男生分别记为男1，男2，男3，3名女生分别记为女1，女2，女3，然后列表如下：
一 二 男 男 男 女 女 女
男
男
男
女
女
女
总共有种等可能的结果，而恰好是一名男生和一名女生的结果数有种，所以，一名男生一名女生的概率为
【知识点】频数（率）分布直方图；用列表法或树状图法求概率；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：八年级有名同学，是第10，11位同学的分数平均数就是该组数据的中位数，组、组共有3人，C组11人，故中位数是落在组，
∴中位数是，即，
故答案为：；
【分析】（1）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可求出a的值；
（2）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，平均数是反应一组数据集中趋势的量；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，简单的说，就是一组数据中占比最多的那个数，反应的是一组数据的集中趋势的量；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，数组中，一半的数据比中位数大，另一半的数据比中位数小，中位数是一种衡量集中趋势的量；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此进行阐述即可；
（3）运用列表法把所有等可能结果表示出来，由表可知总共有30种等可能的结果，而恰好是一名男生和一名女生的结果数有18种，再根据概率的计算方法即可求解．
（1）解：八年级有名同学，是第10，11位同学的分数平均数，组、组共有3人，故中位数是落在组，
∴中位数是，即，
故答案为：．
（2）解：我认为八年级学生对中国地域文化知识掌握较好．因为八年级学生竞赛成绩的平均数比七年级的高，而且方差比七年级的小．（答案不唯一，只要合理即可）
（3）解：将3名男生分别记为男1，男2，男3，3名女生分别记为女1，女2，女3，然后列表如下：
一 二 男 男 男 女 女 女
男
男
男
女
女
女
总共有种等可能的结果，而恰好是一名男生和一名女生的结果数有种，所以，一名男生一名女生的概率为．
20．【答案】（1）解：若选择，
证明如下： 四边形是正方形，
， ．
，
．
若选择①，
证明如下： 四边形是正方形，
， ．
，
，
，
．
（2）解：如图，过点作交于点，
，．
，
，，
．
由（1）得，，
．
为的中点，
，
，
，
．
设，则，
在中，，
即，
解得或（舍去），
．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）选择条件后，根据全等三角形的判定定理解答即可；
（2）根据平行得到，利用三角形相似的对应边成比例得到，求出GP长，然后设，在中，利用勾股定理求出a的值解题即可．
（1）解：若选择，
证明如下： 四边形是正方形，
， ．
，
．
若选择①，
证明如下： 四边形是正方形，
， ．
，
，
，
．
（2）解：如图，过点作交于点，
，．
，
，，
．
由（1）得，，
．
为的中点，
，
，
，
．
设，则，
在中，，
即，
解得或（舍去），
．
21．【答案】（1）解：设每千克“红提”的进价是元，则每千克 “青提”的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：每千克“红提”的进价是9元，则每千克 “青提”的进价是12元
（2）解：设购买“红提”千克，则购买“青提”千克，由题意得：，
解得：，
令利润为，
则，
，
当时，有最大值，最大值为，此时，
即购买“红提”10千克，则购买“青提”30千克，售完后获得利润最大，最大利润是元
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克“红提”的进价是x元，则每千克 “青提”的进价是(x+3)元，根据总价除以单价等于数量及购买“青提”和“红提”的数量相等列分式方程求解，检验后即可得到答案；
（2）设购买“红提”a千克，则购买“青提”(40-a)千克，根据单价乘以数量等于总价及购买同种“红提”和“青提”共40千克的费用不超过450元列不等式，求出a的取值范围；令利润为w，根据总利润等于每千克的利润×销售数量及销售a千克“红提”的利润+销售(40-a)千克“青提”的利润=总利润得到w关于a的函数关系式，再利用一次函数的增减性，最求最大值，即可得到答案．
22．【答案】（1）解：由题意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴，
答：
（2）解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，由∠CAB的余弦函数及特殊锐角三角函数值可算出AB的长；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理算BC的长，在Rt△BCD，由∠CDB的正弦函数算BD的长，由绳子长度不变得BC+AB=BE+BD，从而代值计算可算出BE的长，最后根据CE=BC-BE可算出答案.
（1）解：由题意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴，
答：；
（2）解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为．
23．【答案】（1）
（2）证明：如图，
∵为直径，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：四边形为菱形，理由如下：
∵
∴由上知：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：；
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后根据勾股定理求出CF长，然后根据平行线分线段成比例得到，解题即可；
（2）根据圆周角定理得到，即可得到，再根据，即可证明结论；
（3）先得到，，即可得到，然后根据得到，则有，可得，则为平行四边形，再根据AD=AC的得以证明．
（1）解：连接，
∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图，
∵为直径，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：四边形为菱形，理由如下：
∵
∴由上知：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
24．【答案】（1）解：如解图，过点作轴于点，由二次函数图象的对称性可得．，
，
∵，
．
设二次函数表达式为，
将代入得
，
解得，
二次函数表达式为．
，
二次函数图象的顶点纵坐标为，此时最大水深为（米）．
（2）解： 丰水期时水面到的距离是3.6米，
令，
即，
解得，，
，
此时水面截痕的长为16米．

（3）解：由题易知小球的轨迹是抛物线，如解图，设的中点为，小球轨迹的顶点是点，
．
由（2）知，
小球飞行过程中到水面最大距离是8米，且经过，两点，
，两点关于对称轴对称，
．
设小球的轨迹抛物线的表达式为，
将代入得，
解得，
．
设向右划行米，小球落到点，此时抛物线表达式为，
将代入可得，
解得（舍去）或．
答：小红的小船至少要向右划行米．
【知识点】二次函数的其他应用；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先求出点点坐标，然后运用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先得到点和点的纵坐标为，代入值求出x值，即可求出DE长；
（3）先利用待定系数法求出船在中间时小球的运动轨迹解析式，再设向右划行米的解析式，把点坐标代入求出的值即可．
（1）解：如解图，过点作轴于点，由二次函数图象的对称性可得．
，
，
∵，
．
设二次函数表达式为，
将代入得
，
解得，
二次函数表达式为．
，
二次函数图象的顶点纵坐标为，此时最大水深为（米）．
（2）解： 丰水期时水面到的距离是3.6米，
令，
即，
解得，，
，
此时水面截痕的长为16米．
（3）解：由题易知小球的轨迹是抛物线，如解图，设的中点为，小球轨迹的顶点是点，
．
由（2）知，
小球飞行过程中到水面最大距离是8米，且经过，两点，
，两点关于对称轴对称，
．
设小球的轨迹抛物线的表达式为，
将代入得，
解得，
．
设向右划行米，小球落到点，此时抛物线表达式为，
将代入可得，
解得（舍去）或．
答：小红的小船至少要向右划行米．
25．【答案】（1）
（2）解：过点C作于G，如图，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，
∴，
，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∴；
（3）解：过点C作于G，如图，
，，
同理可证，
∵，
当点F在点A、D之间时，有
∴，
∴；
当点D在点A、F之间时，如图：
∴，
∴；
综合上述，线段的长为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：作图如下：过点C作于G，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）过点作于G，先得到，即可得到，再根据勾股定理解题即可；
（2）过点作于G，根据平行可以得到，即可得到，然后根据勾股定理求出解题即可；
（3）过点C作于G，根据、两种情况，根据（2）结论解题．
（1）解：作图如下：过点C作于G，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：过点C作于G，如图，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，
∴，
，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∴；
（3）解：过点C作于G，如图，
，，
同理可证，
∵，
当点F在点A、D之间时，有
∴，
∴；
当点D在点A、F之间时，如图：
∴，
∴；
综合上述，线段的长为或．