第 12 讲 不等式培优练习 （含答案）

第 12 讲 不等式
板块一 不等式及其解集
方法技巧<
1.常见的不等号有:>,<,≤,≥,≠.
2.满足不等式的未知数的值叫做不等式的解，所有解组成不等式的解集.
3.用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定边界点，一般在数轴上只标出原点和边界点即可.定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点包含于解集则为实心点，若不包含于解集则为空心圈；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”.
典 例 精 讲
题型一 不等式的概念
【例1】 以下表达式:①-3<0;②4x+3y>0;③x=3;④x + xy+y ;⑤x≠5;⑥x+2>y+3.其中是不等式的有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.1个
题型二 不等式的解(集)
【例2】 已知实数a>2，且a一定是关于x的不等式x+b≥3的一个解，则b不可能是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
题型三 不等式的解集的表示
【例3】 若一个不等式的正整数解恰为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是下列的( )
针 对 训 练
1.在下列式子中，不属于不等式的是( )
A.2x<1 B. x=3 C.4x+5>0 D. x≠-2
2.数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列不等式成立的是( )
A. a>b B. ab>0 C.|a|<|b| D. a+b<0
3.如图，天平左盘中物体A的质量为 mg，天平右盘中每个砝码的质量都是1g，则m的取值范围在数轴上可表示为( )
4. x与y的平方和一定是非负数，用不等式表示为 .
5.如图所示的不等式的解集是 .
6.若x的取值范围在数轴上的表示如图所示，则x为整数的个数是 个.
7.下列哪些数是不等式2x-5>3的解 哪些不是
-3,0,2,4,4.001,5,51
8.定义：对于任意有理数a，b，都有a*b=b(a-b)-b，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如:2*5=5×(2-5)-5=-20.
(1)求2*(-5)的值;
(2)若x*(-2)的值大于-6且小于9，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来.
板块二 不等式的性质
典 例 精 讲
题型一 根据不等式的性质变形
【例1】 若a>b，则下列不等式变形一定正确的是( )
C. -ca<-cb D.3a-c>3b-c
【练1】 若aA. a+c题型二 根据不等式的性质求取值范围
【例2】 根据不等式性质，把下列不等式化为x>a或x(2)-0.3x<-1.5.
【练2】 把下列不等式化成x>a或x(1)2x+5>3;
(2)-6(x-1)<0.
题型三 根据不等式的性质比较大小
【例3】 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若 ,则a>b;若a-b=0,则a=b;若( 则 ；反之也成立.这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”.请运用这种方法尝试解决下面的问题：
(1)比较 与 的大小；
(2)若 ，则a，b的大小关系是 .(直接写出答案)
针 对 训 练
1.实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是( )
x
A. a-c>b-c B. a+c bc
2.已知x>y,且 xy<0,|x|<|y|,a为任意实数,下列式子正确的是( )
A. -x>-y C. -x+a<-y+a D. x>-y
3.若x(m--2)y,则m的取值范围是 .
4.若a5.已知06.根据不等式的性质，将下列不等式化成“x>a”或“x(1)4x>3x+5; (2)10x-1>7x; (4)-2x-16<1.
7.有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b 哪个大
8.提出问题:已知x-y=2,且x>1,y<0,试确定x+y的取值范围.
分析问题：先根据已知条件用一个量如y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建关于y的不等式，从而确定y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式的性质即可获解.
解决问题:解:∵x-y=2,∴x=y+2.又∵x>1,∴y+2>1,∴y>-1..又∵y<0,
∴--1∴x+y的取值范围是0尝试应用:已知x-y=-3,且x<-1,y>1,求x+y的取值范围.
第12 讲 不等式
板块一 不等式及其解集
方法技巧
1.常见的不等号有:>,<,≤,≥,≠.
2.满足不等式的未知数的值叫做不等式的解，所有解组成不等式的解集.
3.用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定边界点，一般在数轴上只标出原点和边界点即可.定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点包含于解集则为实心点，若不包含于解集则为空心圈；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”.
典 例 精 讲
题型一 不等式的概念
【例1】以下表达式:①-3<0;②4x+3y>0;③x=3;④x + xy+y ;⑤x≠5;⑥x+2>y+3.其中是不等式的有( B )
A.5个 B.4个 C.3个 D.1个
【分析】用不等号表示不等关系的式子叫做不等式，常见的不等号有：>，<，≤，≥，≠.
【解答】③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式.不等式有①②⑤⑥，共4个.故选B.
题型二 不等式的解(集)
【例2】 已知实数a>2，且a一定是关于x的不等式x+b≥3的一个解，则b不可能是( A )
A.0 B.1 C.2 D.3
【分析】能使一个不等式(组)成立的未知数的一个值叫做这个不等式(组)的一个解.不等式的所有解，叫做这个不等式的解集.求出b=0，1，2，3时不等式的解集，判断是否包括实数a即可得.
【解答】A.当b=0时，不等式x+b≥3的解集为x≥3，此时不一定包括实数a的解，此选项符合题意；B.当b=1时，不等式x+b≥3的解集为x≥2，此时不等式的解集一定包括实数a，此选项不符合题意；C.当b=2时，不等式x+b≥3的解集为x≥1，此时不等式的解集一定包括实数a，此选项不符合题意；D.当b=3时，不等式x+b≥3的解集为x≥0，此时不等式的解集一定包括实数a，此选项不符合题意；故选A.
题型三 不等式的解集的表示
【例3】 若一个不等式的正整数解恰为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是下列的( D )
【分析】根据不等式解集的表示方法：>，≥向右画；<，≤向左画；在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示.
【解答】选D.
针 对 训 练
1.在下列式子中，不属于不等式的是( B )
A.2x<1 B. x=3 C.4x+5>0 D. x≠-2
2.数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列不等式成立的是( D )
A. a>b B. ab>0 C.|a|<|b| D. a+b<0
3.如图，天平左盘中物体A的质量为 mg，天平右盘中每个砝码的质量都是1g，则m的取值范围在数轴上可表示为( D )
4. x与y的平方和一定是非负数，用不等式表示为
5.如图所示的不等式的解集是 x≤2 .
6.若x的取值范围在数轴上的表示如图所示，则x为整数的个数是 5 个.
7.下列哪些数是不等式2x-5>3的解 哪些不是
-3,0,2,4,4.001,5,51
【解答】4.001,5,51是不等式的解,-3,0,2,4不是不等式的解.
8.定义：对于任意有理数a，b，都有a*b=b(a-b)-b，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如:2*5=5×(2-5)-5=-20.
(1)求 2*(-5)的值;
(2)若x*(-2)的值大于-6且小于9，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来.
3
【解答】(1)2*(-5)=-5×[2-(-5)]-(-5)=-30;
(2)由题意,得-6<-2(x+2)-(-2)<9,解得-5.5板块二 不等式的性质
典 例 精 讲
题型一根据不等式的性质变形
【例1】 若a>b，则下列不等式变形一定正确的是( D )
C. -ca<-cb D.3a-c>3b-c
【练1】 若aA. a+c题型二 根据不等式的性质求取值范围
【例2】 根据不等式性质，把下列不等式化为x>a或x(2)-0.3x<-1.5.
【解答】(1)原不等式的两边同时减去 x,得 不等式的两边同时乘以2，得x>-12；
(2)原不等式的两边同时除以-0.3，不等号的方向改变，即x>5.
【练2】 把下列不等式化成x>a或x(1)2x+5>3;
(2)-6(x-1)<0.
【解答】(1)x>-1;
(2)x>1.
题型三 根据不等式的性质比较大小
【例3】 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a(1)比较 与 的大小；
(2)若2a+2b-1>3a+b,则a,b的大小关系是 .(直接写出答案)
【分析】根据作差法，差大于零被减数大，差小于零被减数小，可得答案.
【解答】( 1;
(2)两边都减(3a+b),得-a+b-1>0,即b-a>1,∴a针 对 训 练
1.实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是( B )
A. a-c>b-c B. a+c bc
【解答】由题意,得a2.已知x>y,且 xy<0,|x|<|y|,a为任意实数,下列式子正确的是( C )
A. -x>-y C. -x+a<-y+a D. x>-y
【解答】因为x>y，利用不等式的性质3，两边都乘以-1，得-x<-y，则A错误；因为-x<-y，利用不等式的性质1，两边都加上a，得-x+a<-y+a，因此选项C正确；因为x>y，利用不等式的性质2，两边都乘以 得 ，而这里没有确定a是不等于0的，故 不一定成立，因此B错误;另外由x>y, xy<0,得x>0,y<0,又|x|<|y|,可得x+y<0,即x<-y,故D错误.
3.若x(m-2)y,则m的取值范围是 m<2 .
4.若a5.已知06.根据不等式的性质，将下列不等式化成“x>a”或“x(1)4x>3x+5; (2)10x-1>7x; (4)-2x-16<1.
【解答】(1)x>5; (3)x<2;
7.有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b 哪个大
【解答】由题意,得10a+b>10b+a,解得a>b.
8.提出问题:已知x-y=2,且x>1,y<0,试确定x+y的取值范围.
分析问题：先根据已知条件用一个量如y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建关于y的不等式，从而确定y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式的性质即可获解.
解决问题:解:∵x-y=2,∴x=y+2.又∵x>1,∴y+2>1,∴y>-1.又∵y<0,
∴-1∴x+y的取值范围是0尝试应用:已知x-y=-3,且x<-1,y>1,求x+y的取值范围.
【解答】 ∵x-y=-3,∴x=y-3.又∵x<-1,∴y-3<-1,∴y<2.
又∵y>1,∴1由①+②得1-2