2024-2025 学年浙江省杭州市拱墅区杭十一中高一上学期期末数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若扇形的圆心角为2 ，半径为1，则该扇形的面积为( )
1
A. B. 1 C. 2 D. 4
2
2.已知 ( ) = | |是集合 到集合 的函数，如果集合 = {2}，那么集合 不可能是( )．
A. { 2,2} B. { 2} C. { 1,2} D. {2}
9
3.函数 ( ) = 4 + ， ∈ ( 1, +∞)的最小值为( )
+1
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
4.若角 的终边经过点 (1,3)，则sin cos + 2 =( )
6 2 2 6
A. B. C. D.
5 5 5 5
2( 1)2
5.设函数 ( ) = 2 的最大值为 ，最小值为 ，则 + =( ) +1
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
6.设函数 ( ) = sin ( + ) ( > 0)的最小正周期为 .若2 < < 3 ，且对任意 ∈ ， ( ) + ( ) ≥ 0恒
4 3
成立，则 =( )
2 3 4 5
A. B. C. D.
3 4 5 6
7.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”(明 《增广贤文》)是勉励人们专心学习的.假设
初始值为1，如果每天的“进步率”都是1%，那么一年后是(1 + 1%)365 = 1.01365；如果每天的“退步率”
1.01365 1.01
都是1%，那么一年后是(1 1%)365 = 0.99365.一年后“进步者”是“退步者”的 365
0.99365
= ( ) ≈ 1481
0.99
倍.照此计算，大约经过( )天“进步者”是“退步者”的2倍. (参考数据： 1.01 ≈ 0.00432， 0.99 ≈
0.00436， 2 ≈ 0.3010)
A. 33 B. 35 C. 37 D. 39
8.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( ) = ( + )，且当 ∈ [0, ]]时， ( ) = ，则( )
2 2
A. ( 120°) > (sin( 20°)) > ( 190°)
B. ( 120°) > ( 190°) > (sin( 20°))
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C. ( 190°) > ( 120°) > (sin( 20°))
D. ( 190°) > (sin( 20°)) > ( 120°)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中，计算结果为1的是( )
A. sin75 cos15 + cos75 sin15 B. 222. 5 222. 5
√ 3 tan15 tan22.5
C. D.
1+√ 3tan15 1 222.5
10.对 ∈ , [ ]表示不超过 的最大整数，如[3.14] = 3, [ 2.7] = 3，我们把 = [ ], ∈ 叫做取整函数，
也称为高斯函数．以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有( )
A. , ∈ , [ ] < [ ] [ ]
B. , ∈ ，若[ ] = [ ]，则 < 1
C. ∈ , [| |] = |[ ]|
D. 不等式2[ ]2 [ ] 3 ≥ 0的解集为( ∞, 0) ∪ [2, +∞)
11.如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为10(单位： )，它在 (单位： )时
相对于平衡位置(静止时的位置)的高度 由关系式 = sin ( + )确定，其中 > 0， ≥ 0.则下列说法
4
正确的是( )
A. 小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时2
B. 小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20
1
C. 小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为
2
1 1
D. 小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10次，则所用时间的范围是[20 , 21 )
4 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.如果cos( + ) = ，求sin ( ) = ．
3 2
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1
+ 1, <
13.已知函数 ( ) = { ，若 ( )的值域为[1,5]，则实数 的取值范围是 ．
2 2 + 2, ≤ ≤ 3
14.已知函数 ( ) = 4 sin 3 2 ， ∈ ，若关于 的方程 ( ) = 0在区间(0, )上有三个不同解
1, 2, 3，则 的值为 ， 1 + 2 + 3的值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知全集 = ，集 = { ∣ = sin + }， = { ∣ 2 4 ≤ 0}．
(1)若 ∩ = ，求实数 的取值范围；
(2)若 ∪ ≠ ，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
3 5
已知 ∈ (0, )， ∈ ( , )，tan = ，cos( ) = ．
2 2 4 13
(1)求sin ( )；
4
(2)求sin ．
17.(本小题12分)
已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0, < < )的部分图象如图所示．
(1)求 ( )的解析式及单调减区间；
(2)将函数 = ( )的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变
6
)，得到函数 = ( )的图象.若对任意 1、 2 ∈ [ , ]，| ( 1) ( 2)| ≤ ，求实数 的最小值． 6
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = (2 2 )(2 )，其中 ∈ ， ∈ ( , )．
2 2
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(1)当 = 时，求 ( )在区间[0,3]上的最值及取最值时 的值；
4
3
(2)若 ( )的最小值为 ，求 ．
4
19.(本小题12分)
欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函
数的性质．例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数 = ( )，如果对于其定义域 中任意给定的实数 ，
都有 ∈ ，并且 ( ) · ( ) = 1，就称函数 = ( )为倒函数．
1+
(1)已知 ( ) = 2 ， ( ) = ，判断 = ( )和 = ( )是否为倒函数；
1
1
(2)若 = ( )是 上的倒函数，当 ≤ 0时， ( ) = 2，方程 ( ) = 2023是否有正整数解？并说明理由； 2 +
1
(3)若 = ( )是 上的倒函数，其函数值恒大于0，且在 上是增函数．记 ( ) = ( ) ，证明： + >
( ) 1 2
0是 ( 1) + ( 2) > 0的充要条件．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
3
1
13.【答案】[ 1, ]
4
3
14.【答案】2；
2
15.【答案】【详解】(1) = { ∣ = sin + }，则 1 + ≤ ≤ 1 + ，
= { | 2 4 ≤ 0} = { |0 ≤ ≤ 4}，
∩ = ，
则 + 1 < 0或 1 + > 4，解得 < 1或 > 5，
故实数 的取值范围为{ | > 5或 < 1}；
1 ≥ 0
(2)当 ∪ = 时，则 ，且集合 不为空，则{ ，解得1 ≤ ≤ 3，
+ 1 ≤ 4
所以若 ∪ ≠ 时，则实数 的取值范围为{ | > 3或 < 1}；
sin 3
3 =
16.【答案】【详解】(1)因为tan = ，即{cos 4 ,
4
2 + 2 = 1
3 3
sin = sin =
解得{ 5或{ 5 ,
4 4
cos = cos =
5 5
3
sin =
又 ∈ (0, )，所以{ 5 ,
2 4cos =
5
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3 √ 2 4 √ 2 √ 2
则sin ( ) = sin cos cos sin = × × = ；
4 4 4 5 2 5 2 10
(2)因为 ∈ (0, )， ∈ ( , )，所以 ∈ ( , 0)，
2 2
5
又cos( ) = ，所以 ∈ ( , 0)，
13 2
12
所以sin( ) = √ 1 2( ) = ，
13
所以sin = sin[ ( )] = sin cos( ) cos sin( )
3 5 4 12 63
= × × ( ) = ．
5 13 5 13 65
17.【答案】【详解】(1)解：由图可得 = ( )max = 2，
7 2 2
函数 ( )的最小正周期为 = 4 × ( ) = ，则 = = = 2，
12 3
所以， ( ) = 2sin(2 + )，
7 7 7
因为 ( ) = 2sin ( + ) = 2，可得sin ( + ) = 1，
12 6 6
7 13 7 2
因为 < < ，则 < + < ，所以， + = ，所以， = ，
6 6 6 6 2 3
2
因此， ( ) = 2sin (2 )，
3
2 3 7 13
由2 + ≤ 2 ≤ 2 + ( ∈ )解得 + ≤ ≤ + ( ∈ )，
2 3 2 12 12
7 13
所以，函数 ( )的单调递减区间为[ + , + ] ( ∈ )．
12 12
(2)解：将函数 = ( )的图象向左平移 个单位长度，
6
2
可得到函数 = 2sin [2 ( + ) ] = 2sin (2 )，
6 3 3
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数 = ( )的图象，
则 ( ) = 2sin ( )，
3
2 1
当 ∈ [ , ]时， ≤ ≤ ，则 ≤ sin ( ) ≤ 1，则 1 ≤ ( ) ≤ 2，
6 6 3 3 2 3
对任意的 1、 2 ∈ [ , ]，| ( 6 1
) ( 2)| ≤ ，
则 ≥ ( )max ( )min = 2 ( 1) = 3，故实数 的最小值为3．
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18.【答案】解：(1)当 = 时， ( ) = (2 2 )(2 tan ) = (2 2)(2 1)，
4 4 4
令2 = ， ∈ [1,8]，则函数 ( )转化为 ( ) = ( 2)( 1)，
3
( )的图象对称轴为 = ，开口向上，
2
3 3 1
∴当 = 即 = 2 ，时， ( )取得最小值，最小值为 ； 2 2 4
当 = 8即 = 3时， ( )取得最大值，最大值为42，
1 3
∴ ( )在区间[0,3]上的最小值为 ，此时 =
4 2
；最大值为42，此时 = 3．
2
(2) ∵ ( ) = (2 2 )(2 ) = (2 )2 3 2 + 2 2
3 1 3
= (2 tan )2 tan2 的最小值为 ，
2 4 4
1 3
∴ 2 = = ±√ 3，
4 4
2 2
3√ 3 3 3√ 3 3 3当tan = √ 3时， ( ) = (2 + ) > ( ) = 6，最小值不为 ，
2 4 2 4 4
∴ tan = √ 3，
又 < < ，
2 2
∴ = ．
3
19.【答案】解：(1) ( ) = 2 的定义域为 ，
当 ∈ ， ∈ ，且 ( ) ( ) = 2 · 2 = 1，
所以函数 = ( )是倒函数；
1+
( ) = 的定义域为 = ( ∞, 1) ∪ (1, +∞)，
1
当 = 1时，1 ，故函数 = ( )不是倒函数；
1
(2)因为 = ( )是 上的倒函数，且当 ≤ 0时， ( ) =
2
，
+ 2
1
则当 > 0时， ( ) = = 2 + 2，
( )
对任意给定的 1， 2 ∈ (0, +∞)，且 1 < 2，
有2 1 < 2 2， 2 21 < 2，
则 ( 1) ( 2) = 2
1 2 2 + 2 21 2 < 0，
因此 ( 1) < ( 2)，
故函数 = ( )在区间(0, +∞)上是严格增函数，
经计算，得 (10) = 1124， (11) = 2169，
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由单调性可知，当 ∈ ，且 < 10时， ( ) < (10) < 2023，
当 ∈ ，且 > 11时， ( ) > (11) > 2023，
因此，任一正整数一定不是方程 ( ) = 2023的解，从而此方程没有正整数解；
(3)因为 = ( )是 上的倒函数，
1
则 ( ) = ( ) = ( ) ( )，
( )
因为 = ( )是 上的严格增函数，
对任意给定的 1， 2 ∈ (0, +∞)，且 1 < 2，有 ( 1) < ( 2)， ( 1) > ( 2)，
则 ( 1) ( 1) < ( 2) ( 2)，即 ( 1) < ( 2)，
故函数 = ( )在 上是严格增函数，
在 中任取一个实数 ，都有 ∈ ，
并且 ( ) = ( ) ( ) = ( )，
因此函数 = ( )是奇函数，
先证充分性：若 1 + 2 > 0，即 1 > 2，
则 ( 1) > ( 2) = ( 2)，即 ( 1) + ( 2) > 0，
再证必要性：用反证法证明．
假设 1 + 2 ≤ 0，即 1 ≤ 2，则 ( 1) ≤ ( 2) = ( 2)，
即 ( 1) + ( 2) ≤ 0，与己知条件 ( 1) + ( 2) > 0矛盾，
所以假设不成立，即 1 + 2 > 0，
综上， 1 + 2 > 0是 ( 1) + ( 2) > 0的充要条件．
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