天津市静海区第六中学 2024-2025 学年高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知向量 ， 满足| | = 1，| | = √ 3，| 2 | = 3，则 · =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
2.若在 中， = , = ，且| | = | | = 1，| + | = √ 2，则 的形状是( )
A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
3.已知两个单位向量 1 , 2 的夹角为 ，则下列说法正确的有( )① 1 在 2 上的投影向量为cos 2 ② 1
2 2
2 = 1③ 1 = 2 ④( 1 + 2 ) ⊥ ( 1 2 )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4.已知向量 = ( , 3)， = (1,4)， = (2,1)，且(2 3 ) ⊥ ，则实数 =
9 15
A. B. 0 C. 3 D.
2 2
3√ 3
5.已知 ， 均为单位向量，(2 + ) ( 2 ) = ，则 与 的夹角为( )
2
A. B. C. D.
6 3 4 2
6.设向量 , 的夹角为 ，定义： = | || |sin .若平面内不共线的两个非零向量 , 满足：| | = | | = 1，
5
与 的夹角为 ，则 的值为( )
6
√ 3 1 3
A. B. √ 3 C. D.
2 2 2
1
7.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若， = 3， = 2，cos ( + ) = ，则 等于( )
3
2√ 2 2√ 30 2√ 34 2√ 38
A. B. C. D.
3 15 17 19
8.如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 , ，若 = ，
2 8 = ， > 0, > 0，则 + 的最小值( )
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A. 2 B. 8 C. 9 D. 18
9.在如图所示的半圆中， 为直径，点 为圆心， 为半圆上一点，且∠ = 30 ，| | = 2，则| |等于
( )
A. 1 B. √ 2 C. √ 3 D. 2
10.一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形(它们有共同的对称中心
与对称轴)单独拿出来放置于同一平面，如图2所示．已知 = 6分米， = 3分米，点 在正方形 的
四条边上运动，当 取得最大值时， 与 夹角的余弦值为( )
√ 5 2√ 5
A. B. C. 5 D. 2√ 5
5 5
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.若向量 = (1,1), = ( 3, 2)分别表示两个力 1 , 2，则| 1 + 2| = ．
2
12.在 中，cos = ， = 4， = 3，则tan =
3
13.在 中， = 8， 、 、 分别是边 、 、 的中点， = 6，则 = ．
14.已知向量 = (2,1)， = (1,7)， = (5,1)，设 是直线 上的一点( 为坐标原点)，那么 的
最小值是 ．
15.在 中， = √ 3, = 2，若 为 内部的一点，且满足 + + = 0 ，则 = ．
三、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
化简：
1 1 1 3
(1) [(3 + 2 ) ( + )] 2( + )
2 2 2 8
2 1 1
(2) [(4 3 ) + (6 7 )]
3 3 4
17.(本小题12分)
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已知| | = 4，| | = 2，且 与 夹角为120 .求：
(1)( 2 ) ( + )
(2) 与 + 的夹角．
18.(本小题12分)
已知 = (1,0), = (2,1)．
(1)当 为何值时， 与 + 2 共线；
(2)若 = 2 + 3 ， = + 且 , , 三点共线，求 的值以及| |．
19.(本小题12分)
在 中，内角 , , 所对的边分别为 ， ， ，已知已知 2 = 2 + 2 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 2， = 3，求 的值；
(3)若 2 = ，判断 的形状．
20.(本小题12分)
平面几何中有如下结论：“三角形 的角平分线 分对边所成的两段之比等于角的两边之比，即 = .”
已知△ 中， = 3， = 1， 为角平分线，过点 作直线交 ， 的延长线于不同两点 ， ，且
满足 = ， = ．
1 3
(1)求 + 的值，并说明理由；
(2)若∠ = 120°，求 的最小值．
21.(本小题12分)
如图，已知 中，点 关于点 的对称点为 , 在线段 上，且 = 2 , 和 相交于点 .设 =
, = ．
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(1)用 表示向量 ．
(2)若 = ，求实数 的值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】√ 5
12.【答案】4√ 5
13.【答案】5
14.【答案】 8
1
15.【答案】
3
1 3
16.【答案】【详解】(1)原式= (2 +
3 3 3
) = + = 0
2 2 4 4 4
2 1 3 7 2 3 1 7
(2)原式= [4 3 + + ) = [(4 ) + ( 3 + + ) ]
3 3 2 4 3 2 3 4
2 5 11 5 11
= ( ) =
3 2 12 3 18
17.【答案】解：∵ | | = 4，| | = 2，且 与 夹角为120°，
2 1∴ | | = 16，| |2 = 4， = | | | | 120° = 4 × 2 × ( ) = 4，
2
2
2
(1)( 2 ) ( + ) = 2 = 12；
2 2
(2) ∵ | + |2 = + + 2 = 16 + 4 8 = 12，
∴ | + | = 2√ 3，
2
∵ ( + ) = + · = 16 4 = 12，
设 与 + 的夹角为 ，
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( + ) √ 3
∴ = = ，
| || + | 2
又0° ≤ ≤ 180°，
所以 = 30°， 与 + 的夹角为30°．
1
18.【答案】【详解】(1)易知 = ( 2, 1), + 2 = (5,2)，所以2( 2) = 5 × ( 1) = ，
2
1
即 = 时， 与 + 2 共线；
2
3
(2)易知 = (8,3), = (2 + 1, )，由 , , 三点共线得8 = 3(2 + 1) = ，
2
2
3 3 √ 73
= (4, ) | | = √ 42 + ( ) =
2 2 2
2
2 2 2 +
2 2 1
19.【答案】【详解】(1)在 中，由 = + 及余弦定理得cos = = ，而0 < < ，
2 2
所以 = ．
3
(2)由 = 2， = 3及 2 = 2 + 2 ，得 2 = 22 + 32 2 × 3 = 7，
所以 = √ 7．
(3)由 2 = 2 + 2 及 2 = ，得( )2 = 0，则 = ，由(1)知 = ，
3
所以 为正三角形．
20.【答案】解：(1)根据三角形的角平分线定理，可知 = = 3，
由 = 3 ，得
1 3
= 3( )，整理得 = + ，
4 4
因为 = ， = ，
1所以 =
3
+
1 3
= + ，
4 4 4 4
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1 3 1 3
根据 、 、 三点共线，可得 + = 1，整理得 + = 4．
4 4
(2)根据题意，可得 = = + ， = = + ，
2 2
所以 = ( + ) · ( + ) = ( + ) + + ，
2 2 3
结合 = | |2 = 9， = | |2 = 1， = | | | | 120° = ， 2
可得
3 21 5 21 5 1 3 9 1 63 5 9 3
= ( + ) ( ) + 9 + = + = ( + )( + ) = + ( + ) ≥ + √ 35．
2 2 2 2 2 4 4 2 8 2 4
63 5
当且仅当 = 时，即 1 √ 35 3 3√ 35 = + ， = + 时，等号成立． 4 28 4 20
因此，
9 3
的最小值为 + √ 35．
2 4
21.【答案】【详解】(1)根据条件 为线段 中点；
∴ = + = + 2 = + 2( ) = 2 = 2 ；
= =
2 2 5
= 2 = 2 ．
3 3 3
(2) = + ， 与与 共线；∴存在实数 ，使 =
5
= 2 ； = 2 + 2
3
5
5
= (2 + 2 ) (1 + ) ，
3 3
2 + 2 =
又 =
4
= ；故{ 5 ，解得 = ．
1 + = 0 5
3
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