2024-2025学年安徽省六安市皖西当代中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在直角坐标系中，下列直线的倾斜角为钝角的是( )
A. B. C. D.
2.平行于直线：，且与的距离为的直线的方程为( )
A. B. 或
C. D. 或
3.在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.已知，是椭圆的两个焦点，过且垂直轴的直线交于，两点，且，则的方程为( )
A. B. C. D.
5.周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则芒种日影长为( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
6.如图所示，在平行六面体中，，，，是的中点，点是上的点，且，用，，表示向量的结果是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知数列满足，，则下列结论正确的是( )
A. 数列是公差为的等差数列 B. 数列是公差为的等差数列
C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列是公比为的等比数列
8.已知的半径为，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知：，则下述正确的是( )
A. 圆的半径 B. 点在圆的内部
C. 直线：与圆相切 D. 圆：与圆相交
10.已知数列是等比数列，则下列命题中正确的是( )
A. 数列是等比数列
B. 若，，则
C. 若数列的前项和，则
D. 若，公比，则数列是递增数列
11.已知抛物线：的焦点为，直线与交于点，在第一象限，以为直径的圆与的准线相切于点若，则( )
A. ，，三点共线 B. 的斜率为
C. D. 圆的半径是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为______．
13.记为数列的前项和，若，则 ______．
14.已知是双曲线：的右焦点，是的左支上一点，当周长最小时，该三角形的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．
求抛物线的方程；
过点且斜率为的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积．
17.本小题分
已知数列满足，．
证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
求数列的前项和．
18.本小题分
如图，平面，，，，，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ若二面角的余弦值为，求线段的长．
19.本小题分
已知点，，动点满足直线与的斜率之积为记的轨迹为曲线．
求的方程，并说明是什么曲线；
过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点．
证明：是直角三角形；
求面积的最大值．
参考答案
1.
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8.
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10.
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13.
14.
15.解：设等差数列的公差为，
由，，得，解得，
所以；
由可知，
所以．
16.解：由已知及抛物线定义可得，，抛物线的方程为分
由可得，：，设，，
将方程代入方程整理得，，，
原点到直线的距离为，
的面积分
17.解：证明：因为，
所以两边同除以可得：，
所以，
又因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则；
，
即，
设，
则，
减得：，
所以，
所以．
18.Ⅰ证明：因为平面，，在平面内，
则，，又，
故以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
可得，，，，．
设，则．
则是平面的法向量，又，可得．
又直线平面，
平面；
Ⅱ解：依题意，，，．
设为平面的法向量，
则
令，得．
．
直线与平面所成角的正弦值为；
Ⅲ解：设为平面的法向量，
则
取，可得，
由题意，，
解得．
经检验，符合题意．
线段的长为．
19.解：由题意得，
整理得曲线的方程：，
曲线是焦点在轴上不含长轴端点的椭圆；
设，则，
，，
直线的方程为：，
与联立消去，
得，
，
，
，
，
把代入上式，
得，
，
，故为直角三角形；
令，则，
利用“对勾”函数在的单调性可知，
时取等号，
此时，
故面积的最大值为．
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