2024-2025学年山东省莱西市高二上学期强基班阶段性检测（二）
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的 条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.已知，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
4.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
5.已知二次函数，且不等式的解集为若不等式在上有解，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.某罐中装有大小和质地相同的个红球和个绿球，每次不放回地随机摸出个球，连续摸两次记“第一次摸球时摸到红球”，“第一次摸球时摸到绿球”，“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到绿球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是( )
A. 与为互斥事件 B.
C. D.
7.为研究光照时长小时和种子发芽数量颗之间的关系，某课题研究小组采集了组数据，绘制散点图如图所示，并对，进行线性回归分析若在此图中加上点后，再次对，进行线性回归分析，则下列说法正确的是( )
A. ，不具有线性相关性 B. 决定系数变大
C. 相关系数变小 D. 残差平方和变小
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则在上单调递减
D. 若，则在上单调递增
10.若，，且，则( )
A. B.
C. D. 的最大值为
11.有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字，，，，，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前次所得的数字之和是偶数的概率为，则( )
A. B.
C. 是等比数列 D. 是递减数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的图象关于直线对称，则 ．
13.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关“作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有 人．
参考数据及公式如下：
，．
14.若曲线与曲线存在公切线，则的最大值 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数其中场为一个周期与产品销售额千元的数据统计如下：
直播周期数
产品销售额千元
根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表：
其中，
请根据表中数据，建立关于的回归方程系数精确到；
乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？
由所得的结论，计算该直播间欲使产品销售额达到万元以上，直播周期数至少为多少？最终答案精确到
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，相关指数：．
16.本小题分
已知函数．
若，求不等式的解集；
对，不等式恒成立，求的最小值．
17.本小题分
甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积分且对方不得分，答错不得分且对方积分，然后换对方抽题作答，直到有领先分者晋级，比赛结束已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积分的概率为记甲乙两人的答题总次数为．
求
当时，求甲得分的分布列及数学期望
若答题的总次数为时，甲晋级的概率为证明：．
18.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
设函数有两个不同的零点，
求实数的取值范围：
(ⅱ)若满足，求实数的最大值．
19.本小题分
列奥纳多达芬奇是意大利文艺复兴三杰之一他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为．
证明：
求不等式：的解集
函数的图象在区间上与轴有个交点，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：将 两边取对数得 ，
令 ，则
，
根据最小二乘估计可知，
，
回归方程为 ，
即
甲建立的回归模型的 ．
乙建立的回归模型拟合效果更好．
由知，乙建立的回归模型拟合效果更好．
设 ，解得 ，直播周期数至少为．
16.【详解】因为，
由，得，
整理得，
所以，不等式对应方程的两根为或，
当时，，
所以不等式的解集为，
当时，，
所以不等式的解集为，
当时，，
所以不等式的解集为，
综上所述：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
由，不等式恒成立，可得，
所以，解得，
又当时，对，有，满足条件，
所以的最小值为．
17.解：记“第次答题时为甲”，“甲积分”，则，，
，，，
，则，解得；
由题意可知当时，可能的取值为，，，则由可知
，
，
，
的分布列为：
随机变量的数学期望为．
由答题总次数为时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为，则
，且，所以甲晋级时必为偶数，令，
当为奇数时，，
则
，
又时，随着的增大而增大，
．
18.解：
函数的定义域为，
求导得，
当时，恒成立，
函数在上单调递增；
当时，
由，得，
由，得，
即函数在上单调递增，
在上单调递减，
所以
当时， 在单调递增，
当时， 在 单调递增，
在 单调递减；
(ⅰ)由，得，
令，求导得，
当时，，
当时，，
则函数在上单调递增，
在上单调递减，
，
而当时，恒成立，且，
由有两个零点，
即方程有两个不等的正根，
亦即直线与的图象有两个公共点，
因此，即，
所以实数的取值范围是 ；
(ⅱ)由，
得，
且，
不妨设，
将代入，
得，
即，
令，
求导得，
令，
求导得，
则函数在上单调递减，
有，即，
函数在上单调递减，
由，得，
则，
因此函数在上单调递减，
即，
于是，有，
则
又，
令，
由(ⅰ)知，在上递增，
而，
因此在上递增，
则，即，
解得，
所以的最大值是．
19.解：证明：
因为，恒成立，故是奇函数，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
故是上的单调递增函数，
所以，即，
所以，解得，即所求不等式的解集为；
因为函数的图象在区间上与轴有个交点，
所以，在有个实数根，
所以在有个实数根，
令，易知，在上单调递增，所以，
则，
令，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，作函数草图如图，
当时，函数与有两个交点，
即函数的图象在区间上与轴有个交点，
所以，即
第1页，共1页
