2024-2025学年四川省眉山市洪雅县高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若点关于平面和轴对称的点分别为，，则( )
A. B. C. D.
2.已知圆：与圆：外切，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为，则等于( )
A. B. C. D.
4.如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是( )
A. 平行 B. 垂直 C. 异面垂直 D. 异面不垂直
5.样本数据：，，，，，，，，，的第百分位数是( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，且的一条渐近线与直线平行．分别是在第一、二、三、四象限内的四点，且四边形是平行四边形．若三点共线，则面积的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛掷一枚骰子两次．设“第一次向上的点数是”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被整除”为事件，则下列说法正确的是( )
A. 事件与事件互为对立事件 B.
C. D. 事件与事件相互不独立
10.已知，，点满足 ，则( )
A. 点的轨迹为双曲线 B. 直线上存在满足题意的点
C. 满足的点共有个 D. 的周长的取值范围是
11.如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，则( )
A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值
B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D. 使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点在直线上，若的最小值为，则 ．
13.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的大小为 ．
14.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，设线段的中点为，若点到的准线的距离为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点．
求圆的方程；
过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
16.本小题分
年以来，四川省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，为进一步发展四川文旅，提升四川经济，在月份对来川旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．
求图中的值并估计满意度得分的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
若有超过的人满意度在分及以上，则认为该月文旅成绩合格．四川省月份文旅成绩合格了吗
四川文旅月份继续对来川旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知月日月日调查的万份数据中其满意度的平均值为，方差为；月日月日调查的万份数据中满意度的平均值为，方差为由这些数据计算月份的总样本的平均数与方差．
17.本小题分
已知直三棱柱中，，且，点分别为线段和的中点．
证明：平面；
求平面与平面的夹角．
18.本小题分
已知椭圆的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于．
求椭圆的标准方程；
若过点的直线与椭圆交于两点，，设直线，的斜率分别为，．
求证：为定值；
求面积的最大值．
19.本小题分
已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于，两点，点在的准线上，且直线的斜率为的面积为．
求抛物线的方程；
试问在上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于，两点，求证：直线与的交点在一条定直线上．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：易知过点且与直线垂直的直线斜率为，
故圆心与切点连线方程为，
联立解得
所以；
所以圆的半径为，
所以圆的方程为．
如图，由可知圆的方程为，
因为直线被圆截得的弦长为，
所以到直线的距离为，
若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，不符合题意；
若直线的斜率存在，设方程为，
则，即，解得或，
所以直线的方程为或．
16.解：由题意知，解得．
估计满意度得分的平均值为．
超过的人满意度在分及以上，即为分位数大于等于，
因为满意度在的频率为，满意度在的频率为，
可知分位数位于．
则，可以估计分位数为，
所以有超过的人满意度在分及以上，河北省月份文旅成绩合格了．
把月日月日的样本记为，其平均数记为，方差记为，
把月日月日的样本记为，其平均数记为，方差记为，
则总样本平均数，
则总样本方差
，
所以总样本平均值为，总样本方差为．
17.解：证明：平面平面，
又，
又，平面，平面，
又平面．
又，
，
即．
又平面，
平面．
如图所示，以点为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
易得，
设平面的法向量，则，
取，则法向量．
由可知平面的法向量．
结合平面和平面所成角的范围，
可得平面与平面的夹角为．
18.解：由题意可得椭圆焦点在轴上，且
所以椭圆的方程为．
证明：由题意可知直线斜率存在，
当直线斜率为时，显然，所以；
当直线斜率不为时，设直线方程为，
联立
则，
设，则，
所以，
因为，
所以．
综上，为定值．
由可得，
所以，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以面积的最大值为．
19.解：
由题意得，直线方程为：，
令，则，故，
于是，解得负值舍去，
故抛物线方程为．
设的方程为，，，
由题意得，，即，
可得，通分可得，
联立和抛物线，得到，，
由，代入可得，
整理可得，解得或，
故，满足题意．
由题意，，
则直线，直线，
两直线方程相减得到：，
由知，，于是，
即，
即，
即，
于是，
解得，
即直线与的交点在一条定直线上
第1页，共1页
