4.1.2 空间几何体的直观图
课标要求 能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.
【引入】 如图，国家游泳中心(又称“水立方”)可以抽象为一个几何体——长方体，你能画出一个长方体吗？
一、水平放置的平面图形的直观图的画法
【知识梳理】
直观图的概念
把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.
温馨提示 (1)直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体而获得的图形.
(2)空间几何体的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
例1 (链接教材P140例2)画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
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思维升华 画水平放置的平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.
(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定.
(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.
训练1 用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.
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二、空间几何体的直观图的画法
探究 我们可以把长方体看成底面ABCD沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？
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【知识梳理】
用斜二测画法画空间图形的直观图的步骤
(1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox，Oy，再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.
(2)画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝________(或135°)，∠x′O′z′＝________，x′O′y′所确定的平面表示水平平面.
(3)已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段.
(4)已知图形中平行于____________的线段，在直观图中保持长度不变，平行于________的线段，长度取原来的________.
温馨提示 用斜二测画法画出的直观图，直线的平行关系不变，点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化，有些线段的度量关系发生变化.
例2 (链接教材P141例3)用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.
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思维升华 1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上相关的点，最后连点成图便可.
2.直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变.”
3.当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图.注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验.
训练2 画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图.
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三、直观图的还原与计算
例3 如图，矩形O′A′B′C′是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________，其面积为________.
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思维升华 由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得，直观图面积是原图形面积的倍.
训练3 已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
【课堂达标】
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )
A.原来相交的仍相交
B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行
D.原来共点的仍共点
2.将如图所示的由斜二测画法得到的直观图还原成平面图形ABCD是( )
A.任意梯形 B.直角梯形
C.任意四边形 D.平行四边形
3.如图是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________.
4.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，则其直观图的面积为________.
4.1.2 空间几何体的直观图
例1 解 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，
在y′轴上取O′E′＝OE，
以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
训练1 解 (1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，
以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，
在y′轴上截取O′A′＝OA，
连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.
探究 提示 先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体.
知识梳理
(2)45° 90° (4)x轴或z轴 y轴 一半
例2 解 画法步骤：
(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.
分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，
设它们的交点分别为A，B，C，D，
四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.
(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm
长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，
并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.
训练2 解 (1)画轴.画x轴、y轴、z轴，
∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
(2)画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB＝1.2 cm，EF＝0.6 cm.
(3)画顶点，在Oz轴上截取OP，使OP＝1.5 cm.
(4)成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.
例3 菱形 24 cm2 [如图，在原图形OABC中，
应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，
又CD＝C′D′＝2 (cm)，
所以OC＝＝＝6(cm)，
所以OA＝OC＝BC＝AB，
故四边形OABC是菱形.
S四边形OABC＝OA×OD＝6×4＝24 (cm2).]
训练3 D [法一 建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.
如图②所示，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，
由直观图画法，知A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a.
过点C′作C′D′⊥O′x′于点D′，
则C′D′＝O′C′＝a.
所以△A′B′C′的面积是S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2.
法二 S△ABC＝a2，而＝，
所以S△A′B′C′＝S△ABC＝×a2＝a2.]
课堂达标
1.B [根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.]
2.B
3.2.5 [由直观图知原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，
计算得AB＝5，所求中线长为2.5.]
4. [在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.
由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变.
如图所示，在直观图中O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，
于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝×(1＋2)×＝.](共48张PPT)
4.1.2 空间几何体的直观图
第4章 4.1 空间的几何体
课标要求
能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.
引入
如图，国家游泳中心(又称“水立方”)可以抽象为一个几何体——长方体，你能画出一个长方体吗？
课时精练
一、水平放置的平面图形的直观图的画法
二、空间几何体的直观图的画法
三、直观图的还原与计算
课堂达标
内容索引
水平放置的平面图形的直观图的画法
一
直观图的概念
把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.
知识梳理
温馨提示
(1)直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体而获得的图形.
(2)空间几何体的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
例1
(链接教材P140例2)画出如图所示水平放置的等腰梯形的直
观图.
画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，
以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
画水平放置的平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.
(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定.
(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.
思维升华
用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直
观图.
训练1
(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，
以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，
连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.
空间几何体的直观图的画法
二
探究 我们可以把长方体看成底面ABCD沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？
提示 先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体.
知识梳理
用斜二测画法画空间图形的直观图的步骤
(1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox，Oy，再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.
(2)画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝________ (或135°)，∠x′O′z′＝________，x′O′y′所确定的平面表示水平平面.
(3)已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段.
(4)已知图形中平行于____________的线段，在直观图中保持长度不变，平行于______的线段，长度取原来的______.
45°
90°
x轴或z轴
y轴
一半
温馨提示
用斜二测画法画出的直观图，直线的平行关系不变，点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化，有些线段的度量关系发生变化.
例2
(链接教材P141例3)用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.
画法步骤：
(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
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分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，
设它们的交点分别为A，B，C，D，
四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.
(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm
长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，
并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.
思维升华
1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上相关的点，最后连点成图便可.
2.直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变.”
3.当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图.注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验.
画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图.
训练2
(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
(2)画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB＝1.2 cm，EF＝0.6 cm.
(3)画顶点，在Oz轴上截取OP，使OP＝1.5 cm.
(4)成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.
直观图的还原与计算
三
例3
如图，矩形O′A′B′C′是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________，其面积为__________.
如图，在原图形OABC中，
菱形
所以OA＝OC＝BC＝AB，故四边形OABC是菱形.
思维升华
训练3
法一 建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.
√
如图②所示，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，
【课堂达标】
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是
A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点
√
根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.
√
2.将如图所示的由斜二测画法得到的直观图还原成平面图
形ABCD是
A.任意梯形 B.直角梯形
C.任意四边形 D.平行四边形
3.如图是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________.
由直观图知原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，
计算得AB＝5，所求中线长为2.5.
2.5
4.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，则其直观图
的面积为________.
在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.
由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变.
【课时精练】
√
1.关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是
A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B.正方形的直观图为平行四边形
C.梯形的直观图不是梯形
D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°；
当线段与x轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x轴平行，因此答案为B.
√
2.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成
A.平行于z′轴且大小为10 cm B.平行于z′轴且大小为5 cm
C.与z′轴成45°且大小为10 cm D.与z′轴成45°且大小为5 cm
平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.
√
3.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是
A.AB B.AD
C.BC D.AC
还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故斜边AC最长.
√
4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是
√
5.下面每个选项中的两个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是
可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论.
6.在用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图时，若在直角坐标系中∠A的两边分别平行于x轴，y轴，则在直观图中∠A′＝___________.
因为∠A的两边分别平行于x轴，y轴，
45°或135°
所以在原图中∠A＝90°，
由斜二测画法知∠x′O′y′＝45°或∠x′O′y′＝135°，
即∠A′＝45°或∠A′＝135°.
7.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方
形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.
16或64
8.已知一个水平放置的正方形的直观图是一个平行四边形如图，其中有一边长为4，则此正方形的面积为________.
若O′A′＝4，则正方形边长为4，其面积为16，若O′C′＝4，则正方形边长为8,面积为64.
9.一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图.
(1)如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy＝45°,∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的两底面.在xOy平面上画出底面圆O，使直径为3 cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝3 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′，使其直径为3 cm.
(3)画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
(4)成图.连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.
10.如图，四边形O′A′B′C′是梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，求梯形OABC的面积S′.
设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h，
C′B′＝CB，O′A′＝OA.
√
12.如图所示，四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法画出这个梯形的直观图
O′A′B′C′，则梯形O′A′B′C′的高为________.
13.如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图.
画法：(1)如图a所示，在梯形ABCD中，
以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，
建立平面直角坐标系xOy.
如图b所示，
画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.
在图b中，在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，
过点E′作E′D′∥y′轴，
再过点D′作D′C′∥x′轴，
且使D′C′＝DC＝2 cm.
(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，
如图c所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图.
14.(多选)如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原平面图形ABC中
A.AB与AC相等 B.AD的长度大于AC的长度
C.AB的长度大于AD的长度 D.BC的长度大于AD的长度
由直观图易知A′D′∥y′轴，根据斜二测画法规则，在△ABC中有AD⊥BC，
又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形，
则AB与AC相等，且长度都大于AD的长度，
但BC与AD的长度大小不确定，故选A，C.
√
√第4章 课时精练30 空间几何体的直观图
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共6分.
一、基础巩固
1.关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是( )
等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
正方形的直观图为平行四边形
梯形的直观图不是梯形
正三角形的直观图一定为等腰三角形
2.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成( )
平行于z′轴且大小为10 cm
平行于z′轴且大小为5 cm
与z′轴成45°且大小为10 cm
与z′轴成45°且大小为5 cm
3.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )
AB AD
BC AC
4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )
A B
C D
5.下面每个选项中的两个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
A B
C D
6.在用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图时，若在直角坐标系中∠A的两边分别平行于x轴，y轴，则在直观图中∠A′＝________.
7.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.
8.已知一个水平放置的正方形的直观图是一个平行四边形如图，其中有一边长为4，则此正方形的面积为________.
9.(13分)一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图.
10.(15分)如图，四边形O′A′B′C′是梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，求梯形OABC的面积S′.
二、综合运用
11.已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是一个( )
等边三角形 直角三角形
等腰三角形 钝角三角形
12.如图所示，四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则梯形O′A′B′C′的高为________.
13.(16分)如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图.
三、创新拓展
14.(多选)如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原平面图形ABC中( )
AB与AC相等
AD的长度大于AC的长度
AB的长度大于AD的长度
BC的长度大于AD的长度
课时精练30 空间几何体的直观图
1.B [由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°；
当线段与x轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x轴平行，因此答案为B.]
2.A [平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.]
3.D [还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故斜边AC最长.]
4.A [由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.]
5.C [可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论.]
6.45°或135° [因为∠A的两边分别平行于x轴，y轴，
所以在原图中∠A＝90°，
由斜二测画法知∠x′O′y′＝45°或∠x′O′y′＝135°，
即∠A′＝45°或∠A′＝135°.]
7. [画出直观图，则B′到x′轴的距离为·OA＝OA＝.]
8.16或64 [若O′A′＝4，则正方形边长为4，其面积为16，若O′C′＝4，则正方形边长为8，面积为64.]
9.解 (1)如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的两底面.在xOy平面上画出底面圆O，使直径为3 cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝3 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′，使其直径为3 cm.
(3)画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
(4)成图.连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.
10.解 设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h，
C′B′＝CB，O′A′＝OA.
过C′作C′D′⊥O′A′于D′，则C′D′＝h.
由题意知C′D′·(C′B′＋O′A′)＝S，
即h(C′B′＋O′A′)＝S.
原直角梯形面积为S′＝·2h(CB＋OA)
＝h(C′B′＋O′A′)＝＝2S，
即梯形OABC的面积为2S.
11.A [由已知△ABC的直观图中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，
得在△ABC中，BO＝CO＝1，AO＝，
由勾股定理得AB＝AC＝2.
又BC＝2，所以△ABC为等边三角形.
故选A.]
12. [因为四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，所以等腰梯形OABC的高为1，面积S＝×(1＋3)×1＝2，所以等腰梯形OABC的直观图的面积S′＝2×＝.
设梯形O′A′B′C′的高为h，则×(1＋3)·
h＝，解得h＝.]
13.解 画法：
(1)如图a所示，在梯形ABCD中，
以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，
建立平面直角坐标系xOy.
如图b所示，
画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.
在图b中，在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，
A′E′＝AE＝≈2.598 cm；
过点E′作E′D′∥y′轴，
使E′D′＝ED＝×＝0.75 cm；
再过点D′作D′C′∥x′轴，
且使D′C′＝DC＝2 cm.
(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，
如图c所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图.
14.AC [由直观图易知A′D′∥y′轴，
根据斜二测画法规则，在△ABC中有AD⊥BC，
又AD为BC边上的中线，
所以△ABC为等腰三角形，
则AB与AC相等，
且长度都大于AD的长度，
但BC与AD的长度大小不确定，故选A，C.]
