2025年中考第一次模拟考试数学试卷
盐城卷
注意事项：
1．考试时间：120分钟，试卷满分：150分。本试卷分选择题和非选择题两个部分。
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．|-2025|的相反数是（ ）
A．2025 B．-2025 C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．2024年9月25日，中国向太平洋公海发射了一枚东风31AG洲际导弹，导弹在飞行12000000米以后精准打击到了预定目标，充分展现出了中国导弹的可靠性．根据当前各国媒体的报道来看，中国的这次导弹实验是相当成功的．将12000000用科学记数法表示为（ ）
A．12×106 B．1.2×107 C．1.2×106 D．0.12×106
4．窗花是我国民间传统剪纸艺术．新春到来之际，小雪设计了如下一组窗花，其中为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．图①是古代必备的粮食度量用具叫“斗”，图②是它的示意图，则该“斗”的三视图中图形相同的是（ ）
图① 图②
A．主视图与俯视图 B．左视图与主视图
C．左视图与俯视图 D．左视图、主视图、俯视图均相同
6．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则线段EF的长为（ ）
A． B． C． D．
第6题 第7题
7．魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．如图，六边形是的内接正六边形，把每段弧二等份，即可得到的内接正十二边形，取弧的中点G；连接．若，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
8．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．若，，则_________．
10．已知，则代数式的值为_________．
11．如图①，春臼（chōngjiù）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图②是该春臼的侧面简易示意图，点是支点，点距地面cm，且，在春臼使用过程中，若端上升至距地面cm处，则端此时距地面_________cm．
12．如图，四边形内接于，，，，则的半径长为_________．
第12题 第13题
13．如图是中国邮政集团公司发行的《二十四节气》特殊版式小全张，图（1）是由24枚大小相同的邮票组成的一个圆环，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，图（2）以“大雪”节气单枚邮票为例，该邮票的“直边长”为d，则“上圆弧”长与“下圆弧”长的差为_________（用含，d的式子表示）．
14．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，则天头长为_________cm．
第14题 第15题
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象在第一象限交于点C，若，则k的值为_________．
16．如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是_________．
三、解答题（本大题共有11题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题6分）计算：．
18．（本题6分）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围．
19．（本题8分）代数式的值为P．
（1）当时，求x的值；
（2）在（1）的条件下，求P的值．
20．（本题8分）一次访谈活动，主办方邀请9名学生参加活动，在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有学生入座的椅子．
（1）如图1，如果有两名学生入座，又有一名学生随机入座，则这三名同学刚好在同一直线上的概率为_________；
（2）如图2，如果有五名学生入座（剩余座位分别记为A，B，C，D），又有甲、乙两名同学随机入座，请用树状图或列表法求甲和乙坐在同一横排且相邻的概率．
21．（本题8分）如图，在中，，，点D为上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转到（点D的对应的为E），连接．
（1）求证：；
（2）若，，直接写出线段的长为．
22．（本题10分）如图，点在反比例函数的图象上，把点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点B，点B仍然在这个反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点E是反比例函数图象上点A右侧一点，连接，将线段AE绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
23．（本题10分）数学定理的证明是数学知识体系的基础，它确保了数学理论的严谨性和可靠性．其次，定理的证明有于提高助思维能力和创新能力．
（1）证明相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，请画出示意图，写出已知与求证，并证明此定理．
（2）请利用（1）证明的定理解决第（2）小题，如图；在正方形中，P是上的点，且，Q是的中点．与是否垂直？为什么？
24．（本题10分）为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识竞赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：．，．，．，．），得到如下不完全的信息：
八年级抽取的竞赛成绩在组中的数据为：
九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
请根据以上信息完成下列问题：
（1）填空：______，______，并补全八年级的成绩条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）规定在分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？
25．（本题10分）【发现问题】数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，并与双曲线交于点．
【提出问题】徐老师认为可以求出直线与双曲线的解析式；
【分析问题】徐老师在图中连接，过点作于点（如图2），问同学们是否能求出的值；老师又提出，若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解决问题】
（1）求直线与双曲线的解析式；
（2）连接，过点作于点，求的值：
（3）若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（本题12分）随着时代的进步，我国交通出行结构发生根本性变化．汽车出行成为交通常态．某数学兴趣小组观察校门口的汽车发现，很多车尾部贴上了保持车距的贴纸．小组成员产生了一个困惑——“保持怎样的车距才能保障道路安全？”为解决这一困惑．小组成员分工开展活动：
成员小梧查阅某型号汽车官网数据得到汽车行驶速度与刹车距离的关系如表．（刹车距离：从发现前方道路有异常情况到车辆完全停止所行驶的距离．）
某型号汽车行驶速度与刹车距离的关系
行驶速度
刹车距离
任务：小梧认为该型号汽车的行驶速度与刹车距离之间存在函数关系，请你协助小梧求出该函数解析式；
任务：成员小杭发现小区门口路段限速．请你帮小杭计算，如果该型号汽车以最高限速行驶，至少保持多少车距才能保障道路安全？实际驾驶过程中，驾驶员难以预估与前车的距离，且难以实时计算不同行驶速度对应的安全距离，是否存在简单、实用且能维持适当安全距离的方案？小组成员带着困惑与陈老师进行交流，陈老师分享了他保持车距常用的方案“秒定律”一一跟车行驶时设定一个参照物，前车超越参照物后，后车如果在两秒内到达该参照物，说明与前车的距离不足，反之距离充足；
任务：你认为陈老师常用的“秒定律”是否适用于该型号汽车的日常驾驶（） 如果适用，说明理由；如果不适用，请求出“秒定律”的适用范围．
27．（本题14分）【发现问题】如图1，在一根长的铁丝上任取一点弯折后，再连接形成（如图，当点在不同位置及取不同的大小时，的面积也不同．
【提出问题】的面积是否存在最大值？
【分析问题】由于点C的位置及的大小都是不确定的，故可借助函数关系式来探究．设，．对于，可以先确定几个特定的便于计算的角度进行尝试，然后再推广到一般的情形．
【解决问题】
（1）如图3，当时，试求y与x的函数关系式，并判断此时的面积是否存在最大值？如果存在，的值为多少？
（2）当时，记为，当时，记为，若存在一个的值，使得，请求出的长；
（3）的面积是否存在最大值？如果存在，最大值是多少，此时的多大，点C在什么位置？如果不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．选：B．
2．选：B．
3．选B．
4．选：C．
5．选：B．
6．选C．
7．选：D．
8．选：C．
二、填空题
9．答案为：7．
10．答案为：．
11．答案为：．
12．答案为：．
13．答案为：．
14．答案为：．
15．答案为：2．
16．答案为：．
三、解答题
17．解：
．
18．解；
去分母：，
去括号：，
合并同类项：，
∴，
去括号：，
合并同类项：，
∵不等式组有5个整数解，
∴不等式组的解集为，且5个整数解为：2，1，0，，，
∴，
∴．
19．（1）解：，
即x的值为；
（2）
当时，
20．（1）解：如图1，共有7个空位置，只有当坐在第3排第2列的那个位置时，符合题意，则这三名同学刚好在同一直线上的概率为；
故答案为：
（2）解：列表如下：
， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
共有12种等可能的结果，其中甲和乙坐在同一横排且相邻的共有4种等可能的结果，
∴．
21．（1）证明：∵将线段绕点C顺时针旋转到，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
由（1）得，，
∴，
故答案为：．
22．（1）解：由题意点B的坐标为，
∵点、B都在反比例函数图象上，
∴，解得，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：设点E的坐标为，
过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N，
∴，
由旋转可知，，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∵点A坐标为，点E坐标为，
∴，，
∴点F的坐标为．
∵点F在函数图象上，
∴，
解得，，
因为点A坐标为，
所以舍去，所以点E坐标为．
23．（1）解：已知：如图，在和中，，，
求证：．
证明：在中，在截取，过D作，交于E，
则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，又，，
∴，
∴；
（2）解：与垂直，理由：
∵正方形，
∴；
∵，
∴设，
则，
∵Q是的中点，
∴，
∴，，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
∴，
即与垂直．
24．（1）解：由题意可得，，
∵九年级抽取的学生竞赛成绩中分的人数最多，
∴，
故答案为：，，
由八年级的成绩条形统计图可得，成绩在组的学生人数为人，
∴补全八年级的成绩条形统计图如下：
（2）解：九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由如下：
两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，但九年级学生竞赛成绩的中位数和众数都高于八年级学生的，所以九年级学生的竞赛成绩更优秀；
（3）解：，
答：估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有人．
25．（1）解：将代入，得，
解得，
直线解析式为，
点在直线上，
，
，
将代入，得：，
解得，
双曲线的解析式为；
（2）解：，，
，，，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点A作轴，垂足为点N，
对于直线，令，得，
，
，，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
若以点、、为顶点构成的三角形与相似，
则或，
或，
或，
解得或，
，点D在点C右侧，
点的坐标为或．
26．解：任务：由表格可知，当时，刹车距离随着汽车行驶速度的增大而增大，
∴是的二次函数，
∵函数图象经过点，
∴设，把、代入得，
，
解得，
∴函数解析式为；
任务：，
当时，，
∴如果汽车以最高限速行驶，至少保持车距才能保障道路安全；
任务：不适用，理由如下：
画函数与图象如下：
由图象得，当函数的图象位于函数图象下方时，意味着与前车距离充足，即适用于“秒定律”；当函数图象位于函数图象上方时，意味着与前车距离不足，即不适用“秒定律”，
当时，解得，，
∴结合函数图象可得，当时，函数的图象位于函数图象下方，
∵，
∴“秒定律”的适用范围为．
27．（1）解：此时的面积存在最大值；理由如下：
如图3所示，过点作于点，
设，．
在中，，，
．
，
，
有最大值，此时的面积存在最大值，
当，
；
（2）解：当时，．
当时，过作于，如图4，
，
，
，
，
根据题意得：，
解得：，，
的长为或；
（3）解：的面积存在最大值；理由如下：
由（1）（2）可得：
当为锐角或直角三角形时，
，
当为钝角三角形时，
，
当时，有最大值是2，此时，点是的中点．
