2025 年四川省成都市中考数学预测试卷（五）
一、单选题：本大题共 8 小题，共 32 分。
1. 2025 的倒数是( )
A. 2025 B. 1 12025 C. 2025 D. 2025
2.如图，该几何体的左视图是( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. ( 2 3 2)3 = 6 9 6 B. ( 5) ÷ ( )2 = 3
C. (2 + )2 = 4 2 + 2 D. (2 + )( + 2 ) = 4 2 2
4.在平面直角坐标系中，点 ( 1,2)关于直线 = 3 对称的点的坐标是( )
A. (5, 2) B. (5,2) C. (7,2) D. ( 7, 2)
5.2024 年成都世界园艺博览会，是由国家林业和草原局、中国花卉协会、四川省人民政府主办，成都市人
民政府承办的 类世界园艺博览会，暑假期间，某校开展了“从世园看世界 与城市共生长”青少年世园研
学主题活动.学校为了解同学们园内的参观时间，从参与研学活动的学生中随机调查了 40 名学生，调查结果
列表如下．
参观时间/ 5 6 7 8
人数 9 13 12 6
则这 40 名学生参观时间的中位数为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6.如图， ， 是⊙ 的半径， 是⊙ 上的点，且 = 2 ，连接 ， ，若 = 3，∠ = 20°，
则扇形 的面积为( )
A.
B. 3 2
C. 2
D. 3
7.目前 大模型进入公众视野，深刻改变人们的生活和工作方式.以下是 大模型“文心一言”模拟我国古
代数学名著《算法统宗》中某道算术题的一道应用题：“某校图书馆有藏书若干册，分别存放于甲、乙两
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室.甲室教师说，我室藏书如果借出去一半，则比乙室藏书少 100 册；乙室教师说，我室藏书若再购进原来
的一半，则与甲室藏书一样多.问：甲、乙两室各有藏书多少册？”设甲室有藏书 册，乙室有藏书 册，则
可列出方程组为( )
(1 12 ) = 100, (1
1 ) = + 100,
A. B. 2
(1 + 12 ) = (1 +
1
2 ) =
(1 + 12 ) = 100, (1 +
1
2 ) = + 100,C. D.
(1 12 ) = (1
1
2 ) =
8.如图，在 中，按以下步骤作图：①以点 为圆心、 的长为半径作弧，交
于点 ，连接 1；②分别以点 ， 为圆心、大于2 的长为半径作弧，两弧在∠
的内部相交于点 ；③连接 并延长，交 于点 .若 = 8， = 6，则 tan∠
的值为( )
A. 2 B. 5 C. 2 53 3 5 D.
5
2
二、填空题：本大题共 5 小题，共 20 分。
9.若 + 2 + ( + 1)2 = 0，则 的立方根是______．
10 3 1.分式方程 1 = 2 1 的解为______．
11.若半径为 9 的扇形弧长为 5 ，则该扇形的圆心角的度数为______．
12.在一个不透明的盒子里装有 10 个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后随机摸出一个球，
4
摸到白球的概率是9，则白球有______个.
13.如图，在△ 中，∠ = 90°， = 2， = 3， 是△ 所在平面内
的一个动点，连接 ， ， .若点 在运动过程中，始终保持∠ = 90°，则
的最小值为______．
四、解答题：本题共 13 小题，共 98 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(1)计算：( 2025)0 2 45° 3 8 + |1 2|；
2( 3) < 5 + 6,①
(2)解不等式组： 2 +1 ．
3 ≤ 1
+3
2 .②
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15.为丰富学生业余活动，某中学决定再增加四种选修课，分别是： .青春舌战辩论； .时政瞭望； .美食
与地理； .动漫创作，为了解学生喜好，在全校七年级范围内展开抽样问卷调查(每位被调查的同学必须选
择且只能选择一种)，将数据进行整理后绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据上述信息，解答下列问题：
(1)这次一共调查了______名学生，并补全条形统计图；
(2)求扇形统计图中 所对应的扇形的圆心角度数；
(3)若该地区七年级学生共有 60000 人，估计该地区七年级学生中喜欢“动漫创作”的学生有多少人？
16.某景点的仿古建筑如图所示，为测得该建筑物的高度，一位无人机玩家利用无人机在点 处测得其顶点
的俯角 = 45°，其底端点 的俯角 = 58°，此时无人机到地面的垂直距离 = 72 ，求该仿古建筑的高
. (结果精确到 1 .参考数据： 58° ≈ 0.85， 58° ≈ 0.53， 58° ≈ 1.60， 2 ≈ 1.41)
17.如图， 是⊙ 的直径，弦 ⊥ 于点 ，连接 ， ，过点 作 ⊥ 于点 ，交直径 于点 ，
交⊙ 于点 ，交⊙ 过点 的切线于点 ，连接 ．
(1)求证； 2 = ；
(2)若 tan∠ = 43， = 6，求 的长．
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18.如图，在平面直角坐标系中，直线 = + 1 分别与 轴、 轴相交于点 ， (2,0)，过点 的直线与双曲
线 = ( > 0)交于 ， 两点(点 在点 的右侧)．
(1)求 的值及线段 的长；
(2)过点 作 ⊥ 轴于点 ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，若 = = 1，求 的值及△ 的面积；
(3) 将直线 沿 轴翻折得到新直线，新直线与 轴相交于点 ，再将 = ( > 0)的图象沿着直线 = 3 翻折，
翻折后的图象交直线 于点 ， (点 在点 左侧)，当△ ∽△ 时，求 的值．
19 3.如图，在△ 中，已知 = 2 ， = 3 ， = 4 ，将△ 沿 方向平移2 得到△ ，
则四边形 的周长为______．
20.已知 ， 是方程 2 2025 = 0 的两个实数根，则代数式 ( + 1) + 2 的值为______．
21.新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数 ， 的立方差，且 ≥ 2，则称这个正整数为“立方
差友好数”.例如：56 = 43 23，56 就是一个立方差友好数.若将“立方差友好数”从小到大排列，则第 5
个“立方差友好数”是______；第 28 个“立方差友好数”是______．
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22.如图，在矩形 中， = 2， 是 的中点，连接 ，点 与点 关于
对称，连接 并延长，交 于点 ，交 于点 .若 是 的中点，则 的长
为______．
23.在平面直角坐标系中，如果点 ( , )的坐标满足 = 2 1，那么称点 为“修正抛物点”.若二次函数
= 2 + ( + 2) + 1( , 是常数， > 1)的图象上有且只有一个“修正抛物点”，令 = 2 + 8 8，
当 3 ≤ ≤ 时， 的最大值与最小值之和为 16.则 的值为______．
24.某农场为了提高农作物产量和减少人力成本，计划引入 ， 两种型号的自动化灌溉装置.已知每套 型装
置每天比每套 型装置少灌溉 5 亩地，且农场使用 型装置灌溉 270 亩地与使用 型装置灌溉 300 亩地所用
天数相同．
(1)每套 型装置和每套 型装置每天分别能灌溉多少亩地？
(2)每套 型装置售价为 1.5 万元，每套 型装置售价为 2 万元，农场计划购买 ， 两种型号的装置共 20 套，
要求这些装置每天至少能灌溉 940 亩地，购买金额不超过 35 万元．
①设购买 型装置 台，购买金额 万元，请写出 与 之间的函数关系式；
②请为农场设计一个最经济的购买方案，并计算该方案下的最低购买总金额．
25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ： = ( + 2)( 4)( > 0)与 轴相交于点 ， (点 在点 的左
侧)，与 轴相交于点 ，其顶点为 . 是 轴正半轴上一点，直线 交抛物线 的对称轴于点 ，已知 tan∠ =
1
2，连接 ， ， 交抛物线 的对称轴于点 ．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)连接 ， ，当△ 和△ 面积相等时，求 的值；
(3)作点 关于点 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，把抛物线 沿 轴翻折后，经适当的平移得到抛物
线 ′，若抛物线 ′恰好同时经过点 ， .试探究抛物线 和抛物线 ′是否交于某个定点.若是，求出该定
点坐标；若不是，请说明理由．
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26.如图， 是△ 内一点，∠ + ∠ = 90°．
(1)如图 1， 是△ 外一点，当∠ = ∠ = 90°， = ， = 时，连接 ，若 = 1， = 4，
求 的长；
(2)如图 2， 是△ 外一点，若∠ = ∠ = 120°， = ， = ， = ， = ， = ，
试探究 ， ， 三者之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图 3，若∠ = 135°， = 4， = 5， = 2 ，求 的长．
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答案解析
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】 1
10.【答案】 = 1
11.【答案】100°
12.【答案】8
13.【答案】 10 1
14.解：(1)原式= 1 2 × 22 + 2 + 2 1
= 1 2 + 2 + 2 1
= 2；
(2)解不等式①得： > 4，
5
解不等式②得： ≤ 7，
则不等式组的解集为 4 < ≤ 57．
15.解：(1)调查总数为 120 ÷ 15% = 800(名)，
的人数是：800 120 160 200 = 320(名)，
补图如下：
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故答案为：800；
(2)360° × 160800 = 72°，
答： 所对应的扇形的圆心角度数为 72°；
(3)60000 × 200800 = 15000(人)，
答：估计该地区七年级学生中喜欢“动漫创作”的学生有 15000 人．
16.解：如图：延长 交 于点 ，
由题意得： ⊥ ， = = 72 ，
在 △ 中，∠ = 58°，
∴ = 58 ≈
72
1.6 = 45( )，
在 △ 中，∠ = 45°，
∴ = 45° = 45( )，
∴ = = 72 45 = 27( )，
∴该仿古建筑的高 的长约为 27 ．
17.(1)证明：如图，连接 ．
∵ 是直径，
∴ ∠ = 90°．
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∴ ∠ + ∠ = 90°．
∵ 是⊙ 的切线，
∴ ∠ + ∠ = 90°．
∴ ∠ = ∠ ．
又∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ．
又∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ．
∴ = ．
∴ 2 = ．
(2)解：如图，连接 ．
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ ．
∴ tan∠ = tan∠ = 43．
∵ 是直径， ⊥ ，
∴ = 12 =
1
2 × 6 = 3．
∴ = tan∠ =
3 = 94 4．
3
又∵ 2 = ，
∴ 32 = 94 ．
∴ = 4．
∴ = = 2 + 2 = 5．
又∵ = ，
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∴ = =
24
5．
∵ ∠ = 90°，
∴ = 2 2 = 52 ( 24 )2 = 7．5 5
∵ ⊥ ， ⊥ ，
∴ ∠ + ∠ = 90°，∠ + ∠ = 90°．
∴ ∠ = ∠ = ∠ ．
7
∴ = tan∠ =
5 21
tan∠ = 4 = 20．
3
又∵ ∠ = 90°， ⊥ ，
∴ 2 = ．
∴ =
2 7 7 21 28．
= 5 × 5 ÷ 20 = 15
∴ = + = 24 28 1005 + 15 = 15 =
20
3．
18.解：(1)将 (2,0)代入直线 = + 1 中，得 2 + 1 = 0，
故 = 12，
∴直线 1的表达式为 = 2 + 1．
令 = 0， = 1，即 (0,1)，
所以 = 1， = 2，
故 AB= 12 + 22 = 5．
(2)如图 1 所示，
由题意可得 = = 1，
故 C 的横坐标为 1， 的纵坐标为 1，
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又因为 、 两点在双曲线 = ( > 0)上，
故设 (1, )， ( , 1)．
由待定系数法可得直线 的表达式为 = + 1，
又因为 (0,1)在直线 上，
故 1 = 1，从而 = 2，
所以双曲线的表达式为 = 2 ， (1,2)， ( 2, 1)，
△ 1的面积= 2
1 = 2 × 1 × 2 = 1．
(3) ∵直线 沿 1轴翻折得到新直线 = 2 + 1，新直线与 轴相交于点 ，
= ( > 0)
的图象沿着直线 = 3 翻折后得到 = + 6，如图 2 所示，
则联立 = + 6 与 =
1
2 + 1，整理可得
2 10 + 2 = 0，
解得 1 = 5 + 25 2 ， 2 = 5 25 2 ，
故 1点的横坐标为 5 25 2 ，纵坐标为2 (5 25 2 ) + 1，
连接 ，当△ ∽△ 时，
有∠ = ∠ ，
∴ tan∠ = =
1
2，
∴ tan∠ = = 1 ，即 5 25 2 =
1 × ( 1 (5 25 2 ) + 1)，
2 4 2
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令 5 25 2 = = 1 + 1，即 4 2，解得 =
2
3，
从而可得 = 289．
19.解：根据题意，将△ 沿 方向平移得到△ ，
∴ = = 32 ， = ，
又∵ = 2 ， = 3 ， = 4 ，
∴四边形 的周长= + + + + = 3 32+ 2 + 4 + 2+ 3 = 12 ，
故答案为：12 ．
20.解：∵ ， 是方程 2 2025 = 0 的两个实数根，
∴ 2 2025 = 0， + = 11 = 1，
∴ 2 = 2025， + = 1．
∵ ( + 1) + 2 = 2 + + 2 = 2 + 2 + 2 = 2 + 2( + )，
∵ ( + 1) + 2 = 2025 + 2 × 1 = 2027．
故答案为：2027．
21.解：找到满足 3 3且 ≥ 2 的正整数 和 ，然后从小到大排列这些立方差的结果：
列举 = 2 的情况： = + 2，计算( + 2)3 3 = 6 2 + 12 + 8，
= 1，2，3….代入计算，得到 26，56，98，152…
列举 = 3 的情况： = + 3，
计算( + 3)3 3 = 9 2 + 27 + 27，
= 1，2，3…代入计算，得到 63，117，189．
列举 = 4 的情况： = + 4，计算( + 4)3 3 = 12 2 + 48 + 64，
= 1，2，3…代入计算，得到 124，208…
将所有结果从小到大排序：26，56，63，98，117，124，152，189，208．
找到第 5 个和第 28 个数：第 5 个是 117，第 28 个是 1001．
故答案为：117，1001．
22.解：过 点作 // ，连接 交 于点 ，连接 ，如下图所示：
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∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
= = 1又因为 2 ，
∴ =
= 2，设 = 2 ，则 = 4 ，
又因为 为 中点，
故 AG= = 4 ， = 2 ， = = = 4 ，
∵ // ，
∴ ∠ = ∠ ，
由轴对称性质可知∠ = ∠ ， ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
= ，
∠ = ∠ = 90°
∴△ ≌△ ( )．
∴ = ， = ，
∵ = 2 ，
∴ = = ，
∵ cos∠ = = ，
2 5
即 108 = 2，解得 = ．10
∵ // ，
∴△ ∽△ ，
2 10
∴ 5 2 = ，即 2 10 = 3 10 = 3，
5 5
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解得 = 4 10．15
故答案为：4 10．
15
23.解：由题意，∵根据“修正抛物点” = 2 1，而二次函数为 = 2 + ( + 2) + 1，
∴联立方程 2 + ( + 2) + 1 = 2 1．
∴ ( 1) 2 + ( + 2) + 2 = 0．
∵图象有且仅有一个交点，
∴ = 2 4 ，其中 = 1， = + 2， = 2．
联立方程得： 2 + ( + 2) + 1 = 2 1，
∴ ( 1) 2 + ( + 2) + 2 = 0．
∴ = ( + 2)2 4( 1) 2 = 0．
2
∴ ( + 2)2 = 8( 1)，即 = ( +2)8 + 1．
2
将 = ( +2)8 + 1 代入 =
2 + 8 8，
2
∴ = 2 + 8( ( +2)8 + 1) 8．
∴ = 2 + ( + 2)2 = 2 2 + 4 + 4 = 2( + 1)2 + 2．
∴抛物线开口向上，其顶点坐标为( 1,2)．
∴当 ≥ 1 时，最小值为 2，最大值可能在 = 3 或 = 处；当 < 1 时，函数在 3 ≤ ≤ 时内递减，
最大值在 = 3，最小值在 = ．
有∵当 ≥ 1 时，最大值为 {10,2 2 + 4 + 4}最小值为2.当 < 1 时，最大值为10，最小值为2 2 + 4 + 4，
∴当 ≥ 1 时，2 2 + 4 + 6 = 16，解得： = 1 + 6；当 < 1 时，2 2 + 4 + 14 = 16，解得： = 1 2．
又∵当 = 1 + 6时，由 = 2 导致 = 1，与 > 1 矛盾，故舍去；当 = 1 2时，符合题意，
∴ = 1 2．
故答案为： 1 2．
24.解：(1)设每套 型装置每天能灌溉 亩地，则每台每套 型装置每天能灌溉( + 5)亩地，
270 300
由题意得 = +5，
解得： = 45；
经检验 = 45 是原方程的解，
∴ + 5 = 50，
答：每套 型装置每天能灌溉 45 亩地，每套 型装置每天能灌溉 50 亩地．
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(2)①由题意可得：购买 型装置为(20 )台，
∴ = 1.5 + 2(20 ) = 0.5 + 40；
45 + 50(20 ) ≥ 940
②由题意得 0.5 + 40 ≤ 35 ，
解得：10 ≤ ≤ 12，
∵ 0.5 < 0，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 = 12 时， 有最小值，最小值为 0.5 × 12 + 40 = 46，
答：当购买 型装置 12 台， 型装置 8 台时，购买总金额最少，最低购买总金额为 940 万元．
25.解：(1)当 = 0 时， ( + 2)( 4) = 0，
解得： 1 = 2， 2 = 4，
∴ ( 2,0)， (4,0)，
∴ = 2，
∵ 1 = tan∠ = 2，
∴ = 12 = 1，
∴ (0,1)，
设直线 的函数表达式为 = + 2 + = 0，则 = 1 ，
= 1
解得： 2，
= 1
∴直线 的函数表达式为 = 12 + 1；
(2) ∵ = 2+42 = 1，
∴抛物线 的对称轴为直线 = 1，
∴ (1, 32 )，
∵△ 和△ 面积相等，
∴ // ，
1 1
设直线 的解析式为 = 2 + ，则2 × 4 + = 0，
解得： = 2，
∴直线 1的解析式为 = 2 2，
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∴ (0, 2)，
把 (0, 2)代入 = ( + 2)( 4)，得 8 = 2，
1
解得： = 4；
(3)抛物线 和抛物线 ′是交于定点( 2,0).理由如下：
∵ = ( + 2)( 4) = ( 1)2 9 ，
∴抛物线 的对称轴为直线 = 1，顶点为 (1, 9 )，
抛物线 关于 轴对称的抛物线为 = ( 1)2 + 9 ，
设平移后得到的抛物线 ′： = ( 1 + )2 + 9 + ，如图：
又 (4,0)， (0, 8 )，
∴直线 的解析式为 = 2 8 ，
∴ (1, 6 )，
∵点 与点 关于点 对称，
∴ (1, 3 )，
∵点 与点 关于 对称，
∴ (2, 8 )，
把 (1, 3 )， (2, 8 )代入 ′的解析式，
2 + 9 + = 3
得： ( + 1)2 + 9 + = 8 ，
= 2
解得： = 8 ，
∴抛物线 ′： = ( + 1)2 + ，
= ( + 1)2 +
联立得： ，
= ( 1)2 9
1 = 2 = 2解得： ， 2 ，1 = 0 2 = 8
∴抛物线 和抛物线 ′是交于定点( 2,0)．
26.解：(1) ∵ ∠ = ∠ = 90°， = ， = ，
∴△ 和△ 都是等腰直角三角形，
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= 故 = 2，∠ = ∠ = 45°，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = = 2，∠ = ∠ ， 2
∵ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，即∠ = 90°．
∵ = 4，
故 DE= 2 2，由勾股定理有 = 2 2 = 8 1 = 7，
故 BD= 2 = 14．
(2)如图 1 所示，作 ⊥ ， ⊥ ，
由(1)同理可证△ ∽△ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，即∠ = 90°．
∵ ∠ = ∠ = 120°， = ， = ，
∴ ∠ = ∠ = 30°，
∴ = 12 ， =
1 1
2 = 2 ，
1
∴ = 2 3 ， 30 = 3 =
在 △ 中，根据勾股定理有 = 2 2 = 13
2 2，
∵△ ∽△ ，
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∴
3 1
=
23
2
，即 3 ， =
整理可得： 2 3 2 = 2．
(3)如答图 3 所示，
作∠ = ∠ = 135°，∠ = ∠ ，
过点 作 的延长线于点 ，连接 ，
∵ = ∠ = 135°，∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = ，
∵ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 135°，
∴ ∠ = ∠ ，
又∵ = ，
∴△ ∽△ ，
∵ = 2 ，
∴ = = = 2，
∴ = 2 ，
∵ = 4，故 D = 2 2，
∵ ∠ = 135°，
∴ ∠ = 45°，
∴ = = 2， = + = 4 + 2 = 6，
在 △ 中，根据勾股定理有 = 2 + 2 = 36 + 4 = 2 10，
∵△ ∽△ ，
∴ ∠ = ∠ ，
第 18页，共 19页
∵ ∠ + ∠ = 90°．
∴ ∠ + ∠ = 90°.即∠ = 90°，
∴ = 2 2 = 40 25 = 15，
∴ = 2 = 30．
第 19页，共 19页
