2025年海城市四中九年级数学月考模拟试卷
(时间120 分钟 满分120分)
一、单选题 (每题3分共30分)
1. 某种球形病毒的直径为0.00000047米, 将数据0.00000047 用科学记数法表示为( )
2.如图，这是用5个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是( )
3.下表中记录了大洋洲、欧洲、亚洲和南美洲的陆地海拔的最低海拔：
大洲 大洋洲 欧洲 亚洲 南美洲
最低海拔/m -16 -26.6 -430.5 -40
其中这四大洲中陆地海拔的最低海拔最小的大洲是( )
A.大洋洲 B. 欧洲 C. 亚洲 D.南美洲
4.下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是( )
5.下列计算正确的是 ( )
6.下列命题中，真命题的个数有 ( )
①两直线平行，同旁内角互补；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. P点横坐标是-3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是( )
A. (-3,5)或(-3,-5) B. (5,-3)或(-5,-3)C. (-3,5) D. (-3,-5)
8.一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是2，1，0，-1，卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之和为正数的概率是 ( )
A. B. C. D.
9. 如图, 在△ABC中, DE∥BC, 若 则EC的长为( )
A. 2cm B. 3cm
C. 4cm D. 5cm
10.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点D为BC中点,连结AD,若BBAD=y,∠B=2x,则y与x之间的函数关系式是 ( )
二、填空题
11.因式分解：
12. 如图, 在⊙O中, 点D 为弧 BC的中点, ∠COD=40°, 则∠BAD = .
13.若分式 的值为2, 则x= .
14. 如图, 在 ABCD中, ∠A=60°, 以点B为圆心, 适当长为半径作弧,分别交AB，BC于 M，N两点，再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点E，交CD的延长线于 点 F , 连接 CE , 若点 E 恰 好 是 AD 的 中 点 , 则 的 值为 .
15. 如图,在等腰直角三角形ABC中, ∠ACB=90°, 点A、B在抛物线 上,点C在y轴上,A、B两点的横坐标分别为1和b(b>1),b的值为 .
三、解答题(16题10分, 17—21题每题8分, 22题12分, 23题13分)
16.(10分) 计算(1) 计算:
(2)
17.(8分)2024年度“涟商大会”在国家级地质公园湄江举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“湄江焕彩，涟商倾情”的绘画比赛，并购买A、B两种徽章作为奖品.已知购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元；购买4个A种徽章和5个B种徽章需284元.
(1)每个A种徽章与每个B 种徽章的价格分别为多少元
(2)学校计划购进A、B两种徽章共60个，已知购进的A种徽章数不少于 B 种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进A种徽章的个数是多少
(8分)为弘扬中华文化，丰富校园生活，某校计划举办“飞花令”.为了解学生对中华传统文化知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析(测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级: D: 60≤x<70, C: 70≤x<80, B: 80≤x<90, A: 90≤x≤
100), 部分信息如下:信息一：如图，学生成绩频数分布直方图和扇形统计图；信息二：学生成绩在 B等级的数据(单位: 分) 如下: 80, 81, 82, 83, 84, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 89. 请根据信息,
解答下列问题：
(1)求所抽取的学生的人数，并补全频数分布直方图；
(2)求所抽取的学生成绩的中位数；
(3)该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数.
19.(8分)如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图.已知斜屋面的倾斜角为 ，长度为2米的真空管AB 与水平线AD的夹角为 安装热水器的铁架水平管BC长0.2米，CE为铁架的垂直管.(参考值： )
(1) 求AD的长度 (结果精确到0.1米);
(2)求铁架垂直管CE的长度(结果精确到0.1米).
20.(8分)某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，当销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具.设该种品牌玩具的实际销售单价为x元(x>40)，销售该品牌玩具获得的利润为w元.
(1)求出w与x之间的函数关系式；
(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少
21. 如图, AB 是⊙O的直径, 点C在⊙O上, 的平分线交⊙O于点 D，交 BC于点H，过点D的直线. , 分别交AB, AC的延长线于点E, F.
(1) 求证: 直线EF是⊙O 的切线;
(2) 若 求AD的长.
22.(12分)如图1,在Rt△ABC中, ∠BAC=90°, 点D为边AC上一点, 连接BD, 点E是BD的中点，连接AE.
(1) 求证: ∠EAD=∠EDA;
(2)如图2,在图1的基础上, 若点D为AC的中点,且AC=BD, 延长EA至点F,连接CF, 使∠BCF=60°, 延长BA交CF于点G.
①求证: △BDC≌△CAF;
②若CD=2, 求线段AG的长;
(3) 如图3,在图1的基础上, 连接CE, 过点E作EM⊥AC于点M, 点N为EM 延长线上一点, 连接CN, 使∠NEC=∠NCE, 线段 CN, EA 延长线交于点 P, 若tan∠EAC=3, 请直接写出线段AP的长.
23.(13分)定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如A(a，2a)就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数. 就是“友好二次函数”.
(1) 直线y=4x-1上的“友好点”坐标为 ;
(2)若“友好二次函数” 的图象与y轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式；
(3)若“友好二次函数” 的图象过点 (-2，8)，且顶点在第一象限.
①当m-1≤x≤m时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求m的值；
②已知点M (5，4)，N(1，n)，当线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出n的取值范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B D B A C C D
11．
12．20°
13．9
/3
15．2
16．
解：（1）
原式 2分
4分
； 5分
（2）解：原式＝[﹣] 1分
＝ 3分
＝ 4分
＝； 5分
17解：（1）设每个A种徽章的价格为x元，每个B种徽章的价格为y元，
由题意得：， 2分
解得：， 3分
答：每个A种价格为36元，每个B种价格分别为28元； 4分
（2）设购进m个A种徽章，则：
， 6分
∴，
∴m＝40， 7分
答：购进A种徽章的个数是40． 8分
18．解：（1）由信息二可知B等级的人数为12人，
12÷40%＝30（人），
∴所抽取的学生的人数为30人．
A等级的学生的人数为30﹣1﹣7﹣12＝10（人），1分
补全频数分布直方图如图所示：
2分
（2）将30名学生的成绩按照由低到高顺序排列，第15名成绩为84分，第16名成绩为86分， 4分
（分），
则抽取学生成绩的中位数为85分； 5分
（3）（人）． 7分
答：该校七年级成绩为A等级的人数大约为120人． 8分
19．
【解答】解：（1）如图，过点B作BF⊥AD于F，则四边形BFDC为矩形，
∴DF＝BC＝0.2米，BF＝DC，
在Rt△ABF中，AF＝AB cos∠BAF＝2×cos36.87°≈2×0.80＝1.60，
∴AD＝AF+DF＝1.6+0.2＝1.8米； 4分
（2）BF＝AB sin∠BAF＝2×sin36.87°≈2×0.60＝1.20，
∴DC＝BF＝1.20，
在Rt△AED中，，
ED＝AD tan∠EAD＝1.8×tan25°≈1.8×0.47＝0.846，
∴CE＝DC﹣ED＝1.2﹣0.846≈0.4（米），
答：铁架垂直管CE的长度约为0.4米． 8分
20.解：（1）由题意得w＝（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]，
整理得w＝﹣10x2+1300x﹣30000，
答：w与x之间的函数关系式为w＝﹣10x2+1300x﹣30000；3分
（2）由题意得，
解得44≤x≤50，
∵w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250，﹣10＜0，
∴当x＝50时，函数取得最大值，且最大值为﹣10×（50﹣65）2+12250＝10000，
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润10000元. 8分
w21.
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA．
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴AC∥OD，
∴∠ODE＝∠F．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠ACB＝∠ODE＝90°，
即OD⊥EF，
∴直线EF是⊙O的切线；3分
（2）/5
2.（1）证明：∵∠BAC＝90°，点E是BD的中点，
∴AE＝BE＝DE＝BD，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA； 3分
（2）①证明：如图，
∵点D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AC，
∵AC＝BD，
∴AD＝BD．
∵∠BAC＝90°，
∴∠DBA＝30°，
∴∠BDA＝60°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠BDA＝60°．
∵∠BCF＝60°，
∴∠DCB+∠ACF＝60°，
∴∠DBC＝∠ACF．
∵AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA＝60°，
∴∠FAC＝∠CDB＝120°．
在△BDC和△CAF中，
，
∴△BDC≌△CAF（ASA）； 6分
②解：过点G作GM⊥AF于点G，如图，
设AG＝x，
∵∠FAG＝180°﹣∠GAC﹣∠EAD＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴MG＝AG＝x，AM＝AG＝x．
∵△BDC≌△CAF，
∴CD＝AF＝2，∠ACB＝∠F，
∴FM＝FA﹣AM＝2﹣x，
∵∠FMG＝∠BAC＝90°，
∴△FMG∽△CAB，
∴，
∵AD＝CD＝2，∠ABD＝30°，
∴AB＝AD＝2，
∴，
∴x＝．
∴线段AG的长为； 9分
（3）解：线段AP的长为． 12分
延长BA交PC于点F，如图，
由（1）知：AE＝DE，
∵EM⊥AC，
∴AM＝MD，
∵tan∠EAC＝3，tan∠EAC＝，
∴＝3，
设AM＝m，则EM＝3m，AD＝2AM＝2m，
∵BA⊥AC，EM⊥AC，
∴EM∥AB，
∵点E是BD的中点，
∴AB＝2EM＝6m，
∵AB2+AD2＝BD2，BD＝2，
∴，
∵m＞0，
∴m＝1，
∴AM＝MD＝1，AB＝6，EM＝3，
∴AC＝5．
∵CD＝3，
∴CM＝4，
∵∠NEC＝∠NCE，
∴NE＝NC．
设MN＝n，则NE＝NC＝NM+MN＝3+n，
∵MN2+CM2＝NC2，
∴n2+42＝（n+3）2，
∴n＝，
∴MN＝．
∵EM∥AB，
∴△CMN∽△CAF，
∴，
∴，
∴AF＝．
∵∠BAC＝90°，点E是BD的中点，
∴AE＝，
∵EM∥AB，
∴△PAF∽△PEN，
∴，
∴，
∴，
∴PA＝
23.解：（1）设直线y＝4x﹣1上的“友好点”的坐标为（b，2b），
∴2b＝4b﹣1，
解得：，
∴，
∴直线y＝4x﹣1上的“友好点”坐标为，
故答案为：； 2分
（2）∵函数y＝﹣x2+bx+c是“友好二次函数”，设它的顶点为（h，2h），
∴y＝﹣（x﹣h）2+2h，
由题意知，“友好二次函数”y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点是“友好点”，
∴与y轴交点为（0，0），
将（0，0）代入y＝﹣（x﹣h）2+2h得：
0＝﹣h2+2h，
解得：h1＝0，h2＝2，
当h＝0时，y＝﹣x2；
当h＝2时，y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，
∴这个“友好二次函数”的表达式为y＝﹣x2或y＝﹣x2+4x； 6分
（3）“友好二次函数”的图象过点（﹣2，8），且顶点在第一象限．设“友好二次函数”的解析式为，
∴，
解得h1＝2，h2＝﹣14，
∵这个“友好二次函数”的图象顶点在第一象限，
∴h＞0，
∴h＝2，
∴．
①∵“友好二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，4），
当m≤2时，m﹣1≤x≤m在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴当x＝m时，函数有最小值6，
∴，
解得：，，
∵m≤2，
∴，
当，即2＜m≤3时，函数的最小值为4，
∴不存在最小值为6；
当m﹣1＞2，即m＞3时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴当x＝m﹣1时，函数有最小值6，
∴，
解得：，，
∵m＞3，
∴，
综上所述，m的值为或； 10分
②n的取值范围为或n＝4． 13分
已知点M（5，4），N（1，n），线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点，如图，
∵N（1，n），
∴点N在直线x＝1上运动，
设直线x＝1与“友好二次函数”交于点C，
当x＝1时，，
∴，
设二次函数的顶点为A，
∴A（2，4），
∵M（5，4），
∴当点B的坐标为（1，4）时，此时点B、A、M共线且与二次函数的图象只有一个交点，
当点N在点C上方时，线段MN与抛物线有且只有一个交点；
当点N在点B时，线段MN与抛物线有且只有一个交点，
∴当线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为或n＝4．
