2024年浙江中考数学模拟卷临考安心卷
1．（2024九下·浙江模拟）若收入2元记为，则支出3元记为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：收入2元记为，故支出3元记为．
故选：C．
【分析】根据相反意义的量收入记为+，则支出记为．
2．（2024九下·浙江模拟）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确；
B、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误；
C、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；
D、图形不是中心对称轴图形，也不是轴对称图形，此选项错误；
故答案为：A．
【分析】轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形旋转180度后与原图重合，根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项中的图形逐一判断即可.
3．（2024九下·浙江模拟）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．明天会下雨
B．抛出一枚硬币恰好正面朝上
C．从装有8个白球的袋子中，摸出红球
D．367人中至少2人生日在同一天
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、∵ 因为天气变化是不确定的，既有可能下雨，也可能不下雨 ，∴“明天会下雨”，是随机事件，不符合题意；
B、∵ 因为硬币抛出后正面朝上或反面朝上的概率各为50% ，∴“抛一枚硬币正面朝上”，是随机事件，不符合题意；
C、∵ 因为袋子里只有白球，不可能摸出红球 ，∴“从只装有8个白球的袋子中摸出红球”，是不可能事件，符合题意；
D、∵ 因为一年最多有366天（闰年），所以367人中至少有2人生日在同一天 ，∴“367人中至少2人生日在同一天”，是必然事件，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可一一判断得出答案.
4．（2024九下·浙江模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，即可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
5．（2024九下·浙江模拟）下图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条虚线，
故答案为：．
【分析】根据三视图的特点，能看到的棱是实线，看不见的棱是虚线，即可解答.
6．（2024九下·浙江模拟）根据下面栗栗和小齐的对话，判断小齐买平板电脑的预算是（ ）
栗栗：小齐，你之前提到的平板电脑买了没？ 小齐：还没，它的售价比我的预算多元呢！ 栗栗：这台平板电脑现在正在打7折呢！ 小齐：是嘛，太好了，这样比我的预算还要少元！
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设小齐买平板电脑的预算是x元，则电脑原售价为(x+1000)元，
由题意得：
解得：
故答案为：C.
【分析】设小齐买平板电脑的预算是x元，则电脑原售价为(x+1000)元，则打折后的售价为0.7(x+1000)元或(x-500)元，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等，建立方程，求解即可.
7．（2024九下·浙江模拟）如图，△ABC内接于⊙O，且OB⊥OC，则∠A的度数是（ ）
A．90° B．50° C．45° D．30°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OB⊥OC，
故答案为：C．
【分析】由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得答案.
8．（2024九下·浙江模拟）若关于x的一元一次不等式结 的解集为 ；且关于 的分式方程 有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7 B．－14 C．28 D．－56
【答案】A
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 ，解得x≤7，
∴不等式组整理的 ，
由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y a＋3y 4＝y 2，即3y 2＝a，
解得：y＝ ，
由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，
1×7＝7，
故答案为：A.
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可.
9．（2024九下·浙江模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．顶点为，把这条抛物线向上平移至顶点落在轴上，则两条抛物线、对称轴和轴围成的图形（图中阴影部分）的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：如图连接、．
与轴交于，两点，与轴交于点，
∴顶点的坐标为，
平移后顶点的坐标为，
∴抛物线向上平移了1个单位．
．
故答案为：B．
【分析】根据函数图象平移性质可得抛物线向上平移了1个单位，则，结合平行四边形性质即可求出答案.
10．（2024九下·浙江模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形与正方形，点O为对角线的中点，过点O，分别交，于点M，N，若，，连．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图，连接，过作交于，
∵，
∴，
∵，
∴∠GCO=∠EAO，
∵O为AC的中点，
∴AO=CO，
∴△GCO≌△EAO（SAS）
∴OG=EO，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，设，
∴，，，，
∴，，
∵正方形，
∴，，
∴，
由题意可设，
由等面积法可得：
，
解得：，（负根舍去），
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】如图，连接GE，过H作HQ∥MN交EF于Q，首先用SAS证△GCO≌△EAO，由全等三角形的对应边相等得OG=EO，再用AAS证明△MGO≌△NEO，得GM=EN；利用两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形QNMH是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得，，设，则，，，，利用勾股定理得，则，由等腰直角三角形性质得，由题意可设，由等面积法可得：，再利用面积公式可得答案．
11．（2024九下·浙江模拟）某种商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m袋，用式子表示在这个月内销售这种商品的收入 ．
【答案】4.8m元
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m袋，
∴在这个月内销售这种商品的收入为元．
故答案为：4.8m元.
【分析】根据总价等于单价乘以销售量列式计算即可. 其中，单价为每袋商品的价格，数量为一个月内销售的袋数 .
12．（2024九下·浙江模拟）分解因式：3a2﹣12= ．
【答案】3（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a2﹣12=3（a+2）（a﹣2）．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
13．（2024九下·浙江模拟）某校共有1200名学生．为了解学生的立定跳远成绩分布情况，随机抽取100名学生的立定跳远成绩，画出如图所示条形统计图，根据所学的统计知识可估计该校立定跳远成绩优秀的学生人数是 ．
【答案】288
【知识点】条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：根据题意得：
（人，
即该校立定跳远成绩优秀的学生人数大约是288人．
故答案为：288．
【分析】根据条形图信息，用总人数乘以优秀所占百分比即可估计该校立定跳远成绩优秀的学生人数.
14．（2024九下·浙江模拟）已知二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为 ．
【答案】(﹣3，1)
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1，
∴﹣b=1，
∴b=-1，
∴该二次函数解析式为y=a(x+3)2+1(a≠0)，
∴该函数图象的顶点坐标为(﹣3，1)．
故答案为：(﹣3，1)．
【分析】根据二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k），即可求解．
15．（2024九下·浙江模拟）如图，，以为直径作半圆，弦，将上方的图形沿向下折叠，使弧与直径恰好相切于点，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】垂径定理；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥CD于点E，交CD于F，连接OC、OD，则由垂径定理得CF=DF，
由折叠的性质得，
．
故答案为：．
【分析】过点O作OE⊥CD于点E，交CD于F，连接OC、OD，则由垂径定理得CF=DF，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得OC=OD，由等腰三角形的三线合一得∠COF=∠DOF，由∠COF的余弦函数及特殊锐角三角函数值推出∠COF=60°，则∠COD=120°，由勾股定理算出CF的长，从而可得CD的长，然后根据S阴影=S扇形OCD-S△OCD，列式计算可得答案.
16．（2024九下·浙江模拟）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ．
【答案】或
【知识点】分段函数；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∵
如图所示，画出该函数的函数图象：
可知：当或时，，则；
∴的值是或
故答案为：或
【分析】根据新定义运算法则求出=2， ，则，再根据新定义运算法则得，画出该函数的图象，即可求解
17．（2024九下·浙江模拟）（1）计算：
（2）解方程：
【答案】解：（1）
（2）
将方程两边都乘以(x+2)(x-2)约去分母：
x2 4x 12=( x + 2 )( x 2 )
去括号，得
x2 4x 12=x2 4
移项，合并同类项，得
4x=8
解得x= 2
检验，当x= 2时，原方程的分母为0，
∴x=-2是原方程增根，原分式方程无解.
【知识点】分式的加减法；解分式方程
【解析】【分析】（1）先利用同分母分式减法法则“同分母分式的减法，分子相减，分母不变”计算，进而再将分子利用平方差公式分解因式后约分化简即可；
（2）方程两边同时乘以(x+2)(x-2)约去分母化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验得出原方程根的情况.
18．（2024九下·浙江模拟）观察下列等式，并完成下列问题：
第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：；
……
（1）请你写出第5个等式：__________；
（2）第n（，且n为整数）个等式可表示为__________；
（3）运用上述结论，计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）解：由（2）得，
．
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（1）解：根据题意得第5个等式为，
故答案为：；
（2）解：第n（，且n为整数）个等式可表示为：，
故答案为：；
【分析】（1）模仿题干给出的等式直接写出结果即可；
（2）观察题中所给等式，发现规律为等式的左边是（n+1）的平方，右边是n与n+2的乘积加上1，根据这一规律，可得结论；
（3）利用（2）中规律变形为 ( 2023 × 2025 + 1 ) ( 2021 × 2023 + 1 ) ，再逆用乘法分配律求解即可．
（1）解：根据题意得第5个等式为，
故答案为：；
（2）解：第n（，且n为整数）个等式可表示为：，
故答案为：；
（3）解：由（2）得，
．
19．（2024九下·浙江模拟）用尺规“三等分任意角”是数学史上一个著名难题，它已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的，但对于特定度数的已知角，如角，角等，是可以用尺规进行三等分的，请你完成下面的作图题：
如图，已知，点C是上一点，求作射线、，使得射线与将三等分．（按下列步骤完成，保留作图痕迹）
①分别以O、C为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点D，在下方交于点F，连接；
②作直线交于点G；
③以G为圆心，长为半径画弧，交线段于点E（点E不与点C重合）；
④作射线、，则射线、即为所求射线．
【答案】解：如图所示，
，
为等边三角形，
，
，
为的直径，
，
又，
平分（等腰三角形三线合一），
，
，
即射线三等分．
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】首先根据题干给出的作图步骤作出图形；由作图过程得OD=OC=CD，由三边相等的三角形是等边三角形得△COD为等边三角形，由等边三角形的每一个内角都是60° 及角的构成可求出∠AOD=30°，然后根据直径所对的圆周角是直角得∠CEO=90°，从而根据等边三角形的三线合一性质证明即可．
20．（2024九下·浙江模拟）为弘扬学生爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动，现从七年级和八年段参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，下面给出了部分信息：
七年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99；
八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89．
七、八年级学生成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 85.2 86 b 62.1
八年级 85.2 a 91 85.3
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________，________；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共840名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生共有多少人？
【答案】（1），86，40
（2）八年级成绩较好，理由：因为七年级、八年级的平均数相同，而八年级学生成绩的中位数比七年级的高，所以八年级成绩较好；
（3）解：（人），
答：估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生大约共有294人．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，八年级组有：（人），
组有：（人），
把被抽取八年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87，88，故中位数；
在被抽取的七年级20名学生的数学竞赛成绩中，86分出现的次数最多，故众数；
，故．
故答案为：，86，40；
【分析】（1）分别根据众数的定义，可求得b，再由中位数的定义求得a，求出八年级C组的百分比，用“1”分别减去其它组所占百分比可得的值；
（2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论，理由合理即可；
（3）用总人数乘七、八年级不低于90分人数所占百分比即可．
21．（2024九下·浙江模拟）云南鲜花饼远近闻名，为了更好地服务好顾客，昆明某鲜花店新购进了两种新款鲜花饼，相关信息如下表：
种别 玫瑰鲜花饼 茉莉鲜花饼
进价（元/盒） 30 45
备注 ①用不超过1950元购进两种鲜花饼共50盒；②茉莉鲜花饼不少于20盒；
（1）已知茉莉鲜花饼的标价是玫瑰鲜花饼标价的倍，若顾客用750元购买两种鲜花饼，能单独购买茉莉鲜花饼的数量恰好比单独购买玫瑰鲜花饼的数量少5盒，请求出玫瑰鲜花饼、茉莉鲜花饼两种鲜花饼的标价；
（2）为了让利给消费者，商店老板便调整了销售方案，茉莉鲜花饼按照标价8折销售，玫瑰鲜花饼价格不变，那么商店应如何进货才能获得最大利润？
【答案】（1）解：设玫瑰鲜花饼的标价为元/盒，则茉莉鲜花饼的标价为元/盒，
由题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴，
答：玫瑰鲜花饼的标价为50元/盒，茉莉鲜花饼的标价为75元/盒．
（2）解：设购进玫瑰鲜花饼盒，则购进茉莉鲜花饼盒．商店利润为元．
由题意得：，
根据题意得：，解得，
∵，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，，
此时，，
答：购进玫瑰鲜花饼30盒，则购进茉莉鲜花饼20盒，商店利润最大，最大利润为900元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设玫瑰鲜花饼的标价为元/盒，则茉莉鲜花饼的标价为元/盒，根据表格的数据即可列出分式方程，进而即可求解；
（2）设购进玫瑰鲜花饼盒，则购进茉莉鲜花饼盒．商店利润为元，根据题意即可得到w与a的函数关系式，再运用一次函数的性质结合题意即可求解。
22．（2024九下·浙江模拟）“彼此让一让，路宽心更宽”，斑马线前礼让行人是城市文明的一种具体体现，也是司机理应履行的一项法定义务，我市在锦惠路人民医院等路段设立了“礼让行人”交通标识．某数学小组在老师的指导下对某路口的交通情况进行了如下探究．
问题情景：如图，某无红绿灯的路口有一行人从点处出发，通过斑马线时，正好有一辆位于车道中间的小汽车从点（小汽车前沿中点）沿该车道中间直线匀速朝斑马线驶去．已知行人的速度是，小汽车的速度为，每个车道宽，双向车道中间有宽的隔离带．若小汽车与行人通过同一路口的时间差在内（不包含），则存在交通安全隐患，此时要求小汽车“礼让行人”．
问题思考与解决：
（1）若，
①计算此时小汽车到斑马线的距离；
②若在点时小汽车司机发现行人后，立即减速慢行，结果在行人到达点时，小汽车前沿离行人还有，此时司机停车“礼让行人”，求小汽车在这一段的平均速度．
（2）若小汽车刚好不需要“礼让行人”，求的度数．
（参考数据：，，）
【答案】（1）解：①由题可知：，，，
在中，，即，
∴；
②设小汽车在这一段的平均速度为，
由题意得：，
解得：，
经检验：是该分式方程的解且符合题意，
∴小汽车在这一段的平均速度为；
（2）解：设，，由题意得：或，
解得：或，
在中，或，
又∵，，
∴的度数为或．
【知识点】分式方程的实际应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）①根据题意得出，在Rt△ABC中，由∠BAC的正切函数即可求出BC的长；
②设小汽车在这一段的平均速度为，根据路程除以速度等于时间分别表示出行人从点A到点C所用时间及小汽车从点B到距离点C处1米时所用时间，由二者所用之间一样，列出方程，求解即可；
（2）设，根据，由路程除以速度等于时间分别表示出行人从点A到点C所用时间及小汽车从点B到距离点C处时所用时间，由二者所用之间相差5秒，列出方程求解，进一步得出的值，根据，，得出的度数即可．
（1）解：①由题可知：，，，
在中，，即，
∴；
②设小汽车在这一段的平均速度为，
由题意得：，
解得：，
经检验：是该分式方程的解且符合题意，
∴小汽车在这一段的平均速度为；
（2）解：设，，
由题意得：或，
解得：或，
在中，或，
又∵，，
∴的度数为或．
23．（2024九下·浙江模拟）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点B和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条形的点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当时，，
，
当时，
，
将B、C点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：过E点作轴交于点G，
设，则，
当时，的面积有最大值4，此时．
（3）解：存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
抛物线的对称轴为直线，
设，
①当为平行四边形的对角线时，，
解得
②当为平行四边形的对角线时，，
③当为平行四边形的对角线时，，
解得，
综上所述：P点坐标为或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据直线解析式先求出B、C点坐标，再用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）过E点作轴交于点G，设，，则，可得，即可求出最终结果．
（3）设， ，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式列出关于n的方程，求n的值，即可求P点坐标．
24．（2024九下·浙江模拟）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，延长至点Q，连接，，
（1）求证：是的切线；
（2）若点P是上的一点，连接．
①求的值；
②若为的角平分线，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
．
，
，
，
，
为的直径，
，
，
是的切线；
（2）解：①如图，连接，
是的中点，
，
，
为的直径，
，
，
，
．
，
设的半径为，则，
解得，
经检验，是方程的解，
，
，
，
，
．
②如图，过点作交于点，
，
，是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】切线的判定；同角三角函数的关系；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
2024年浙江中考数学模拟卷临考安心卷
1．（2024九下·浙江模拟）若收入2元记为，则支出3元记为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九下·浙江模拟）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·浙江模拟）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．明天会下雨
B．抛出一枚硬币恰好正面朝上
C．从装有8个白球的袋子中，摸出红球
D．367人中至少2人生日在同一天
4．（2024九下·浙江模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·浙江模拟）下图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九下·浙江模拟）根据下面栗栗和小齐的对话，判断小齐买平板电脑的预算是（ ）
栗栗：小齐，你之前提到的平板电脑买了没？ 小齐：还没，它的售价比我的预算多元呢！ 栗栗：这台平板电脑现在正在打7折呢！ 小齐：是嘛，太好了，这样比我的预算还要少元！
A．元 B．元 C．元 D．元
7．（2024九下·浙江模拟）如图，△ABC内接于⊙O，且OB⊥OC，则∠A的度数是（ ）
A．90° B．50° C．45° D．30°
8．（2024九下·浙江模拟）若关于x的一元一次不等式结 的解集为 ；且关于 的分式方程 有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7 B．－14 C．28 D．－56
9．（2024九下·浙江模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．顶点为，把这条抛物线向上平移至顶点落在轴上，则两条抛物线、对称轴和轴围成的图形（图中阴影部分）的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024九下·浙江模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形与正方形，点O为对角线的中点，过点O，分别交，于点M，N，若，，连．则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024九下·浙江模拟）某种商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m袋，用式子表示在这个月内销售这种商品的收入 ．
12．（2024九下·浙江模拟）分解因式：3a2﹣12= ．
13．（2024九下·浙江模拟）某校共有1200名学生．为了解学生的立定跳远成绩分布情况，随机抽取100名学生的立定跳远成绩，画出如图所示条形统计图，根据所学的统计知识可估计该校立定跳远成绩优秀的学生人数是 ．
14．（2024九下·浙江模拟）已知二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为 ．
15．（2024九下·浙江模拟）如图，，以为直径作半圆，弦，将上方的图形沿向下折叠，使弧与直径恰好相切于点，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（2024九下·浙江模拟）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ．
17．（2024九下·浙江模拟）（1）计算：
（2）解方程：
18．（2024九下·浙江模拟）观察下列等式，并完成下列问题：
第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：；
……
（1）请你写出第5个等式：__________；
（2）第n（，且n为整数）个等式可表示为__________；
（3）运用上述结论，计算：．
19．（2024九下·浙江模拟）用尺规“三等分任意角”是数学史上一个著名难题，它已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的，但对于特定度数的已知角，如角，角等，是可以用尺规进行三等分的，请你完成下面的作图题：
如图，已知，点C是上一点，求作射线、，使得射线与将三等分．（按下列步骤完成，保留作图痕迹）
①分别以O、C为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点D，在下方交于点F，连接；
②作直线交于点G；
③以G为圆心，长为半径画弧，交线段于点E（点E不与点C重合）；
④作射线、，则射线、即为所求射线．
20．（2024九下·浙江模拟）为弘扬学生爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动，现从七年级和八年段参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，下面给出了部分信息：
七年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99；
八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89．
七、八年级学生成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 85.2 86 b 62.1
八年级 85.2 a 91 85.3
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________，________；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共840名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生共有多少人？
21．（2024九下·浙江模拟）云南鲜花饼远近闻名，为了更好地服务好顾客，昆明某鲜花店新购进了两种新款鲜花饼，相关信息如下表：
种别 玫瑰鲜花饼 茉莉鲜花饼
进价（元/盒） 30 45
备注 ①用不超过1950元购进两种鲜花饼共50盒；②茉莉鲜花饼不少于20盒；
（1）已知茉莉鲜花饼的标价是玫瑰鲜花饼标价的倍，若顾客用750元购买两种鲜花饼，能单独购买茉莉鲜花饼的数量恰好比单独购买玫瑰鲜花饼的数量少5盒，请求出玫瑰鲜花饼、茉莉鲜花饼两种鲜花饼的标价；
（2）为了让利给消费者，商店老板便调整了销售方案，茉莉鲜花饼按照标价8折销售，玫瑰鲜花饼价格不变，那么商店应如何进货才能获得最大利润？
22．（2024九下·浙江模拟）“彼此让一让，路宽心更宽”，斑马线前礼让行人是城市文明的一种具体体现，也是司机理应履行的一项法定义务，我市在锦惠路人民医院等路段设立了“礼让行人”交通标识．某数学小组在老师的指导下对某路口的交通情况进行了如下探究．
问题情景：如图，某无红绿灯的路口有一行人从点处出发，通过斑马线时，正好有一辆位于车道中间的小汽车从点（小汽车前沿中点）沿该车道中间直线匀速朝斑马线驶去．已知行人的速度是，小汽车的速度为，每个车道宽，双向车道中间有宽的隔离带．若小汽车与行人通过同一路口的时间差在内（不包含），则存在交通安全隐患，此时要求小汽车“礼让行人”．
问题思考与解决：
（1）若，
①计算此时小汽车到斑马线的距离；
②若在点时小汽车司机发现行人后，立即减速慢行，结果在行人到达点时，小汽车前沿离行人还有，此时司机停车“礼让行人”，求小汽车在这一段的平均速度．
（2）若小汽车刚好不需要“礼让行人”，求的度数．
（参考数据：，，）
23．（2024九下·浙江模拟）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点B和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条形的点P坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2024九下·浙江模拟）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，延长至点Q，连接，，
（1）求证：是的切线；
（2）若点P是上的一点，连接．
①求的值；
②若为的角平分线，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：收入2元记为，故支出3元记为．
故选：C．
【分析】根据相反意义的量收入记为+，则支出记为．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确；
B、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误；
C、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；
D、图形不是中心对称轴图形，也不是轴对称图形，此选项错误；
故答案为：A．
【分析】轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形旋转180度后与原图重合，根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项中的图形逐一判断即可.
3．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、∵ 因为天气变化是不确定的，既有可能下雨，也可能不下雨 ，∴“明天会下雨”，是随机事件，不符合题意；
B、∵ 因为硬币抛出后正面朝上或反面朝上的概率各为50% ，∴“抛一枚硬币正面朝上”，是随机事件，不符合题意；
C、∵ 因为袋子里只有白球，不可能摸出红球 ，∴“从只装有8个白球的袋子中摸出红球”，是不可能事件，符合题意；
D、∵ 因为一年最多有366天（闰年），所以367人中至少有2人生日在同一天 ，∴“367人中至少2人生日在同一天”，是必然事件，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可一一判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，即可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
5．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条虚线，
故答案为：．
【分析】根据三视图的特点，能看到的棱是实线，看不见的棱是虚线，即可解答.
6．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设小齐买平板电脑的预算是x元，则电脑原售价为(x+1000)元，
由题意得：
解得：
故答案为：C.
【分析】设小齐买平板电脑的预算是x元，则电脑原售价为(x+1000)元，则打折后的售价为0.7(x+1000)元或(x-500)元，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等，建立方程，求解即可.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OB⊥OC，
故答案为：C．
【分析】由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得答案.
8．【答案】A
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 ，解得x≤7，
∴不等式组整理的 ，
由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y a＋3y 4＝y 2，即3y 2＝a，
解得：y＝ ，
由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，
1×7＝7，
故答案为：A.
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：如图连接、．
与轴交于，两点，与轴交于点，
∴顶点的坐标为，
平移后顶点的坐标为，
∴抛物线向上平移了1个单位．
．
故答案为：B．
【分析】根据函数图象平移性质可得抛物线向上平移了1个单位，则，结合平行四边形性质即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图，连接，过作交于，
∵，
∴，
∵，
∴∠GCO=∠EAO，
∵O为AC的中点，
∴AO=CO，
∴△GCO≌△EAO（SAS）
∴OG=EO，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，设，
∴，，，，
∴，，
∵正方形，
∴，，
∴，
由题意可设，
由等面积法可得：
，
解得：，（负根舍去），
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】如图，连接GE，过H作HQ∥MN交EF于Q，首先用SAS证△GCO≌△EAO，由全等三角形的对应边相等得OG=EO，再用AAS证明△MGO≌△NEO，得GM=EN；利用两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形QNMH是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得，，设，则，，，，利用勾股定理得，则，由等腰直角三角形性质得，由题意可设，由等面积法可得：，再利用面积公式可得答案．
11．【答案】4.8m元
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m袋，
∴在这个月内销售这种商品的收入为元．
故答案为：4.8m元.
【分析】根据总价等于单价乘以销售量列式计算即可. 其中，单价为每袋商品的价格，数量为一个月内销售的袋数 .
12．【答案】3（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a2﹣12=3（a+2）（a﹣2）．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
13．【答案】288
【知识点】条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：根据题意得：
（人，
即该校立定跳远成绩优秀的学生人数大约是288人．
故答案为：288．
【分析】根据条形图信息，用总人数乘以优秀所占百分比即可估计该校立定跳远成绩优秀的学生人数.
14．【答案】(﹣3，1)
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1，
∴﹣b=1，
∴b=-1，
∴该二次函数解析式为y=a(x+3)2+1(a≠0)，
∴该函数图象的顶点坐标为(﹣3，1)．
故答案为：(﹣3，1)．
【分析】根据二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k），即可求解．
15．【答案】
【知识点】垂径定理；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥CD于点E，交CD于F，连接OC、OD，则由垂径定理得CF=DF，
由折叠的性质得，
．
故答案为：．
【分析】过点O作OE⊥CD于点E，交CD于F，连接OC、OD，则由垂径定理得CF=DF，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得OC=OD，由等腰三角形的三线合一得∠COF=∠DOF，由∠COF的余弦函数及特殊锐角三角函数值推出∠COF=60°，则∠COD=120°，由勾股定理算出CF的长，从而可得CD的长，然后根据S阴影=S扇形OCD-S△OCD，列式计算可得答案.
16．【答案】或
【知识点】分段函数；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∵
如图所示，画出该函数的函数图象：
可知：当或时，，则；
∴的值是或
故答案为：或
【分析】根据新定义运算法则求出=2， ，则，再根据新定义运算法则得，画出该函数的图象，即可求解
17．【答案】解：（1）
（2）
将方程两边都乘以(x+2)(x-2)约去分母：
x2 4x 12=( x + 2 )( x 2 )
去括号，得
x2 4x 12=x2 4
移项，合并同类项，得
4x=8
解得x= 2
检验，当x= 2时，原方程的分母为0，
∴x=-2是原方程增根，原分式方程无解.
【知识点】分式的加减法；解分式方程
【解析】【分析】（1）先利用同分母分式减法法则“同分母分式的减法，分子相减，分母不变”计算，进而再将分子利用平方差公式分解因式后约分化简即可；
（2）方程两边同时乘以(x+2)(x-2)约去分母化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验得出原方程根的情况.
18．【答案】（1）
（2）
（3）解：由（2）得，
．
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（1）解：根据题意得第5个等式为，
故答案为：；
（2）解：第n（，且n为整数）个等式可表示为：，
故答案为：；
【分析】（1）模仿题干给出的等式直接写出结果即可；
（2）观察题中所给等式，发现规律为等式的左边是（n+1）的平方，右边是n与n+2的乘积加上1，根据这一规律，可得结论；
（3）利用（2）中规律变形为 ( 2023 × 2025 + 1 ) ( 2021 × 2023 + 1 ) ，再逆用乘法分配律求解即可．
（1）解：根据题意得第5个等式为，
故答案为：；
（2）解：第n（，且n为整数）个等式可表示为：，
故答案为：；
（3）解：由（2）得，
．
19．【答案】解：如图所示，
，
为等边三角形，
，
，
为的直径，
，
又，
平分（等腰三角形三线合一），
，
，
即射线三等分．
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】首先根据题干给出的作图步骤作出图形；由作图过程得OD=OC=CD，由三边相等的三角形是等边三角形得△COD为等边三角形，由等边三角形的每一个内角都是60° 及角的构成可求出∠AOD=30°，然后根据直径所对的圆周角是直角得∠CEO=90°，从而根据等边三角形的三线合一性质证明即可．
20．【答案】（1），86，40
（2）八年级成绩较好，理由：因为七年级、八年级的平均数相同，而八年级学生成绩的中位数比七年级的高，所以八年级成绩较好；
（3）解：（人），
答：估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生大约共有294人．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，八年级组有：（人），
组有：（人），
把被抽取八年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87，88，故中位数；
在被抽取的七年级20名学生的数学竞赛成绩中，86分出现的次数最多，故众数；
，故．
故答案为：，86，40；
【分析】（1）分别根据众数的定义，可求得b，再由中位数的定义求得a，求出八年级C组的百分比，用“1”分别减去其它组所占百分比可得的值；
（2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论，理由合理即可；
（3）用总人数乘七、八年级不低于90分人数所占百分比即可．
21．【答案】（1）解：设玫瑰鲜花饼的标价为元/盒，则茉莉鲜花饼的标价为元/盒，
由题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴，
答：玫瑰鲜花饼的标价为50元/盒，茉莉鲜花饼的标价为75元/盒．
（2）解：设购进玫瑰鲜花饼盒，则购进茉莉鲜花饼盒．商店利润为元．
由题意得：，
根据题意得：，解得，
∵，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，，
此时，，
答：购进玫瑰鲜花饼30盒，则购进茉莉鲜花饼20盒，商店利润最大，最大利润为900元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设玫瑰鲜花饼的标价为元/盒，则茉莉鲜花饼的标价为元/盒，根据表格的数据即可列出分式方程，进而即可求解；
（2）设购进玫瑰鲜花饼盒，则购进茉莉鲜花饼盒．商店利润为元，根据题意即可得到w与a的函数关系式，再运用一次函数的性质结合题意即可求解。
22．【答案】（1）解：①由题可知：，，，
在中，，即，
∴；
②设小汽车在这一段的平均速度为，
由题意得：，
解得：，
经检验：是该分式方程的解且符合题意，
∴小汽车在这一段的平均速度为；
（2）解：设，，由题意得：或，
解得：或，
在中，或，
又∵，，
∴的度数为或．
【知识点】分式方程的实际应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）①根据题意得出，在Rt△ABC中，由∠BAC的正切函数即可求出BC的长；
②设小汽车在这一段的平均速度为，根据路程除以速度等于时间分别表示出行人从点A到点C所用时间及小汽车从点B到距离点C处1米时所用时间，由二者所用之间一样，列出方程，求解即可；
（2）设，根据，由路程除以速度等于时间分别表示出行人从点A到点C所用时间及小汽车从点B到距离点C处时所用时间，由二者所用之间相差5秒，列出方程求解，进一步得出的值，根据，，得出的度数即可．
（1）解：①由题可知：，，，
在中，，即，
∴；
②设小汽车在这一段的平均速度为，
由题意得：，
解得：，
经检验：是该分式方程的解且符合题意，
∴小汽车在这一段的平均速度为；
（2）解：设，，
由题意得：或，
解得：或，
在中，或，
又∵，，
∴的度数为或．
23．【答案】（1）解：当时，，
，
当时，
，
将B、C点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：过E点作轴交于点G，
设，则，
当时，的面积有最大值4，此时．
（3）解：存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
抛物线的对称轴为直线，
设，
①当为平行四边形的对角线时，，
解得
②当为平行四边形的对角线时，，
③当为平行四边形的对角线时，，
解得，
综上所述：P点坐标为或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据直线解析式先求出B、C点坐标，再用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）过E点作轴交于点G，设，，则，可得，即可求出最终结果．
（3）设， ，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式列出关于n的方程，求n的值，即可求P点坐标．
24．【答案】（1）证明：如图，连接，
．
，
，
，
，
为的直径，
，
，
是的切线；
（2）解：①如图，连接，
是的中点，
，
，
为的直径，
，
，
，
．
，
设的半径为，则，
解得，
经检验，是方程的解，
，
，
，
，
．
②如图，过点作交于点，
，
，是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】切线的判定；同角三角函数的关系；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
