4.1整式 练习
一、单选题
1．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第n个代数式是（ ）
A． B． C． D．
2．一个面包售价为m元，一瓶饮料售价为n元，买2个面包和3瓶饮料一共需要（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
3．已知整式，其中为自然数，为正整数，、均为整数，若．下列说法正确的个数有（ ）
①满足条件的整式共有12个；
②所有满足条件的多项式中，没有三项式和四项式；
③当或时，所有满足条件的整式的和为4．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．某商店出售一种商品，其原价为a元，现有如下两种调价方案：一种是先提价，在此基础上又降价；另一种先降价，在此基础上又提价．则调价后的结果下列说法正确的是（ ）
A．都没有恢复原价 B．都恢复了原价
C．第一种方案恢复了原价，第二种方案没有恢复原价 D．第一种方案没有恢复原价，第二种方案恢复了原价
5．如图，用相同的三角形按一定规律排排列成下列图形，其中图案①有1个三角形，图案②有5个三角形，图案③有9个三角形……按此规律，则图案⑧中三角形个数为（ ）
A．21 B．22 C．23 D．29
6．下列代数式不是整式的是（ ）
A． B． C．8 D．
7．按照一定规律排列的多项式：．则第个多项式是（ ）
A． B． C． D．
8．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2025个图案中的“”的个数是（ ）
A．6072 B．6075 C．6076 D．6080
9．用小棒摆图形，如图，第1个图用6根小棒，第2个图用10根小棒，第3个图用14根小棒，……，按这样的规律摆下去，第（ ）个图用146根小棒．
A．36 B．37 C．38 D．39
10．任何一个循环小数都可以化为分数，例如：，，，．若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．1202年前数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，偶数的个数为（ ）
A．676 B．675 C．674 D．1350
12．下列选项正确的是（ ）
A．是二次三项式 B．的系数是
C．单项式的系数是1，次数是0 D．的次数是
二、填空题
13．多项式的次数是 ．
14．如图，图①中有5个小圆点，图②中有8个小圆点，图③中有13个小圆点，…根据这个规律，图⑨中小圆点有 个．
15．式子，，，，，，中，多项式有 个．
16．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第n个数记为，则＝ ．
三、解答题
17．下列式子中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中．
18．观察下列单项式：
第1个单项式：．
第2个单项式：．
第3个单项式：．
第4个单项式：．
……
(1)第5个单项式为______．
(2)第n个单项式为______（用含有n的式子表示）．
(3)前3个（第1个到第3个）单项式中字母a，b的所有指数之和为，求前10个（第1个到第10个）单项式中字母a，b的所有指数之和．
19．对于多项式．
(1)若此多项式是关于x的三次三项式，求m的值；
(2)若此关于x的多项式不含常数项，求k的值．
20．用代数式表示：
(1)的平方与的倍的差；
(2)的倍的三分之一与的一半的差；
(3)比除以的商的倍小的数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D A D A A C A B
题号 11 12
答案 B A
1．D
【分析】从系数，指数两个角度去探索各自遵循的基本规律，解答即可．
本题考查了规律探索，熟练掌握从系数，指数两个角度去探索各自遵循的基本规律时解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，，
，，
故第n个单项式是，
故选：D．
2．A
【分析】本题考查列代数式，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解．
求用买2个面包和3瓶饮料所用的钱数，用2个面包的总价+3瓶饮料的单价即可．
【详解】解：∵买2个单价为元/个的面包需元，买3瓶单价为元/瓶的饮料需元，
买2个面包和3瓶饮料一共需要元．
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了整式的相关知识点，分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别求解并逐项分析即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴当时，，此时或，
∵为正整数，
∴，即整式为，共1个，
当时，，此时，
若，则，整式为，
若，则，整式为或，
若，则，整式为或，共5个；
当时，，此时，
若，则，整式为，
若，则，
∴，或，，
整式为，，，，共5个；
当时，，此时，
∵为正整数，
∴，，整式为，共个，
∴满足条件的整式共有种，故①正确；
所有满足条件的多项式中，没有三项式和四项式，故②正确；
当时，所有多项式的和为之和，为，
当时，当时，和为，当时，和为，当时，和为，
当时，和为，总计为，故③正确；
综上所述，正确的有①②③，共个，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出两种情况的价格比较即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
第一种方案费用为：，
第二种方案费用为：，
即都没有恢复原价．
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出是解题的关键．仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解．
【详解】解：∵第①个图案三角形个数为，
第②图案三角形个数为，
第③个图案三角形个数为，
第④个图案三角形个数为，
…，
则第⑧个图案三角形个数为=29，
故选：D．
6．A
【分析】本题主要考查了整式的概念，整式为单项式和多项式的统称，单项式是只有一个项的整式，由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式．
判断一个代数式是否为整式，关键看分母是否含有字母，如果分母含有字母则不是整式．据此逐选项判断即可．
【详解】解：A、，其分母含有字母x，根据整式的定义，它不是整式．
B、是由单项式与单项式组成的多项式，属于整式．
C数字8是单独的一个数，属于单项式，所以是整式．
D、是整式，
故选：A．
7．A
【分析】本题主要考查了多项式规律探究，理解题意、发现相关规律是解题的关键．
根据所给的多项式的项数、次数即可找到规律，然后运用规律求解即可．
【详解】解：由题意可知：所给的多项式为二项式，第一项a的系数都为连续奇数，指数为1；第二项b的系数为1，b的指数为连续正整数，
故在第个多项式中：a的为，指数为1，b的系数为1，指数为，即．
故选：A．
8．C
【分析】
本题主要考查了图形的变化规律，发现规律是关键．第一个有4个“”，第二个有个“”，第三个有个“”，第四个有个“”， ，利用这个规律即可求解．
【详解】
解：第一个有4个“”，
第二个有个“”，
第三个有个“”，
第四个有个“”，，
则第2025个图形有个“”．
故选：C．
9．A
【分析】本题主要考查数与形结合的规律，根据图形变化规律发现每多1个四边形就多4根小棒是解本题的关键．根据图形变化规律发现发现每多1个四边形就多1根小棒，归纳列出代数式，进而列方程即可解答．
【详解】解：第一个图中小棒数为6根，
第二个图中小棒数为根，
第三个图中小棒数为根，
第四个图中小棒数为根，
第五个图中小棒数为根，
则第n个图中小棒数为：根，
由题意得：，
解得：，
故选：A．
10．B
【分析】本题主要考查了循环小数化为分数，正确理解题意是解题关键．根据题意，找到循环小数化分数的规律：循环小数化分数，循环节是几位，分母就是几个9，循环节前面有几位，分母后面就有几个0；分子是循环节减去循环节前面的数．据此即可获得答案．
【详解】解：根据题意，可知，
∴，．
故选：B．
11．B
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，根据题意发现这列数按奇数，奇数，偶数循环出现是解题的关键．
根据所给各数，发现这列数按“奇数，奇数，偶数”循环出现，据此求解即可．
【详解】解：由题知：这列数按“奇数，奇数，偶数”循环出现，
又∵，
∴这一列数的前2025个数中，偶数的个数为675．
故选：B．
12．A
【分析】本题考查了多项式、单项式的相关概念，根据多项式以及单项式的相关概念逐项分析即可得解．
【详解】解：A、是二次三项式，故原说法正确，符合题意；
B、的系数是，故原说法错误，不符合题意；
C、单项式的系数是1，次数是1，故原说法错误，不符合题意；
D、的次数是，故原说法错误，不符合题意；
故选：A．
13．3
【分析】本题主要考查多项式的次数的概念，确定多项式中各单项式的次数是解答此题的关键．根据多项式次数的定义进行求解即可．
【详解】解：多项式中，的次数是2，的次数是3，的次数是0，
多项式的次数是3．
故答案为：3．
14．
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察图形可知，图n的小圆点个数为4加上n的平方，据此可得答案．
【详解】解：图①中有个小圆点，
图②中有个小圆点，
图③中有个小圆点，
……，
以此类推，可知图n中小圆点有个，
∴图⑨中小圆点有，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了多项式的概念，根据多项式的定义逐个判断即可，正确理解几个单项式的和叫作多项式是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，，，是多项式，共个，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，根据题意，依次得出，，，…，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知
，
，
，
，
…，
所以．
当时，．
当时，，
所以．
故答案为：．
17．单项式：；多项式：
【分析】本题主要考查了单项式、多项式及整式的定义．根据单项式、多项式及整式的概念来分类：单项式：数与字母的乘积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．（1）数字与字母的乘积的形式叫做单项式；（2）单个字母也是单项式；（3）单个数字是单项式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．据此解答即可．
【详解】解：单项式：；
多项式：．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数规律探索等知识点，准确发现其规律是解决此题的关键．
(1)观察单项式的系数和次数的规律，可以发现系数是序号的2倍，字母的次数不变，字母的次数是序号的2倍减1即可得解；
(2)由(1)的规律即可得解；
(3)根据规律计算前10个单项式中字母的所有指数之和即可得解．
【详解】（1）解：第1个单项式：，
第2个单项式：，
第3个单项式：，
第4个单项式：，
……
观察单项式的系数和次数的规律，可以发现系数是序号的2倍，字母的次数不变，字母的次数是序号的2倍减1，
∴第5个单项式为，
故答案为：；
（2）解：由(1)的规律知，第n个单项式为，
故答案为：；
（3）根据规律，前10个单项式中字母的所有指数之和为．
19．(1)
(2)1
【分析】本题考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的次数、项数、项是解题的关键．
（1）此多项式是三次三项式，可得，，，即可求出m的值；
（2）此多项式不含常数项，可得，即可求出k的值．
【详解】（1）解：多项式是关于x的三次三项式，
，，，
，，
m的值为．
（2）解：关于x的多项式不含常数项，
，
．
k的值为1．
20．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）根据题意列出代数式，同时注意书写规范即可；
（）根据题意列出代数式，同时注意书写规范即可；
（）根据题意列出代数式，同时注意书写规范即可；
本题考查了列代数式，代数式书写规范，理解题意，准确列出代数式是解题的关键．
【详解】（1）解：由的平方与的倍的差得：；
（2）解：由的倍的三分之一与的一半的差得：；
（3）解：由比除以的商的倍小的数得：．
