4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 同步练习
1．函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如( )
x -2 -1 0 1 2 3 5
2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A.
B.
C.
D.
2．在2h内将某种药物注射进患者的血液中,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是( )
A. B.
C. D.
3．在2h内将某种药物注射进患者的血液中,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量随时间变化的图象是( )
A. B.
C. D.
4．某市一天内的气温（单位：）与时刻t（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与t之间的函数关系用下列图像表示，则下列图像最接近的是( ).
A. B.
C. D.
5．某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示：
横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是( )
A.注入时间在3小时以内（含3小时），采用方案一
B.注入时间恰为4小时，不采用方案三
C.注入时间恰为6小时，采用方案二
D.注入时间恰为10小时，采用方案二
6．在一次数学实验中，采集到如下一组数据：
x 0 1 2 3
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x，y的函数关系与下列各类函数最接近的是（其中a，b为待定系数）( )
A. B. C. D.
7．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长速度越来越缓慢.若要建立适当的函数模型，来反映公司调整后的利润y与产量x的关系，则可选用( )
A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型
8．下列函数中，随着的增大，函数值的增长速度最快的是( )
A. B. C. D.
9．给出下列结论,其中正确的结论是( )
A.函数的最大值为
B.若幂函数的图象经过点,则解析式为
C.函数与函数互为反函数
D.若x,,,则xy的最小值为1
10．三个变量，，随变量x变化的数据如下表：
x 0 5 10 15 20 25 30
5 130 505 1130 2005 3130 4505
5 90 1620 29160 524880 9447840 170061120
5 30 55 80 105 130 155
其中关于x呈指数增长的变量是___________.
11．三个变量，，随自变量x的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
5 135 625 1715 3645 6633
5 29 245 2189 19685 177149
5 6.1 6.61 6.95 7.20 7.40
其中符合对数函数模型的变量是__________，符合指数函数模型的变量是__________，符合幂函数模型的变量是__________.
12．甲、乙、丙三个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，.有以下结论：
①当时，乙总在最前面；
②当时，丙在最前面；当时，丙在最后面；
③若它们一直运动下去，则最终在最前面的是甲.
其中所有正确结论的序号是__________.
13．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：
①当时，甲走在最前面；
②当时，乙走在最前面；
③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.
其中，正确结论的序号为_________（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）.
14．设函数，，（其中），
（1）________；
（2）若函数与的图象有3个交点，则实数a的取值范围为________.
15．茶是中华民族的举国之饮,发于神农,闻于鲁周公,始于唐朝,兴于宋代,中国茶文化起源久远,历史悠久,文化底蕴深厚,是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯,这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示,茶水的口感与水的温度有关.经实验表明,用的水泡制,待茶水温度降至时,饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》,某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间,每隔1min测量一次茶水温度,得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
时间 0 1 2 3 4 5
水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27
设茶水温度从经过后温度变为,现给出以下三种函数模型：
①;
②;
③.
(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型,并根据前3组数据求出该解析式;
(2)根据(1)中所求函数模型,求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）;
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实,求进行实验时的室温约为多少.
16．猴痘是由猴痘病毒所致的一种人畜共患病,既往猴痘疫情主要在非洲地区流行,2022年后逐渐扩散至全球大多数国家和地区,2022年1月至2024年7月31日,全球已经有121个国家报告了猴痘病例103048例,其中死亡229例.2024年8月,世卫组织宣布猴痘疫情构成“国际关注的突发公共卫生事件”.猴痘病毒经过变异之后传染性极强,假设猴痘病毒在特定环境下具有下表传染规律:每隔单位时间数进行一次记录,用表示经过的单位时间数,用表示猴痘感染人数.
x … 2 4 6 8 …
y … 8 64 511 4097 …
（1）请从与(,且)两个函数模型中选择更适合猴痘病毒感染规律的函数模型,并求出该函数模型的解析式;
（2）求至少经过多少个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.（参考数据:,）
参考答案
1．答案：A
解析：由函数的数据可知，
函数，
偶函数满足此性质，可排除B，D；
当时，由函数的数据可知，
函数增长越来越快，可排除C.
故选：A.
2．答案：B
解析：在2h内,血液中的药物含量呈线性增加,则第一段图象为线段,且为增函数,排除A,D,停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,排除C.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B.
故选：B.
3．答案：C
解析：在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加,则第一段图象为线段,且为增函数,排除A,D,
停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.排除B.
能反映血液中药物含量随时间变化的图象是C.
故选：C.
4．答案：D
解析：由题意，从0到4逐渐增大，
从4到8不变，从8到12逐渐增大，
从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，
是常数，该常数为2，只有D满足，
故选：D.
5．答案：D
解析：对A，由图可知，注入时间在3小时以内（含3小时）时，方案一的注入量都大于其他两种方案，故A正确，不符合题意；
对B，当注入时间恰为4小时，由图可知，方案三的注入量都小于其他两个方案，故B正确，不符合题意；
对C，当注入时间恰为6小时，方案二的注入量大于其他两个方案，故C正确，不符合题意；
对D，当注入时间大于8小时，由图可知方案三的注入量最大，故应选择方案三，D错误，符合题意.
故选：D
6．答案：B
解析：根据题表中的数据描点如图所示.由图可知A，C，D均不满足题意，故选B.
7．答案：D
解析：一次函数模型反映的增长速度是不变的，不合题意；二次函数模型在增区间上的增长速度越来越快，不符合题意；指数函数模型增长速度越来越快，不符合题意；对数函数模型增长速度是先快后慢，符合题意，故选D.
8．答案：D
解析：当时，指数函数增长速度最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数的增长速度最快.
9．答案：BC
解析：对于选项A：因为,当且仅当时等号成立,
由指数函数的单调性可知：,
所以函数取最小值,故A错误;
对于选项B：设幂函数为,,
因为幂函数的图象经过点,则,则,
所以函数解析式为,故B正确;
对于选项C：根据指数函数与对数函数的关系可知：函数与函数互为反函数,故C正确;
对于选项D：因为,,
则,当且仅当时取等,
则,解得：,
则,所以有最大值1,故D错误,
故选：BC.
10．答案：
解析：指数型函数呈“爆炸式”增长.
从表格中可以看出，三个变量，，，的值随着x的增加都是越来越大，但是增长速度不同，相比之下，变量的增长速度最快，可知变量关于x呈指数型函数变化.
故答案为：.
11．答案：；；
解析：由题中表格，可知三个变量，，随着x的增大都是越来越大的，其中的增长速度最快，符合指数函数模型，的增长速度最慢，符合对数函数模型，符合幂函数模型.
12．答案：②③
解析：当时，，，；当时，，，，所以当时，乙不总是在最前面，故①不正确.根据三种函数的变化特点，当时，，可知当时，丙在最前面；当时，丙在最后面，故②正确；因为指数函数呈爆炸式增长，所以若它们一直运动下去，最终在最前面的是甲，故③正确.
13．答案：③④⑤
解析：，，，，它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型，函数图像如图：
当时，，，命题①不正确；
当时，，，命题②不正确；
对数型函数的变化是先快后慢，当时，甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面，命题③正确；
结合对数型和指数型函数的图像变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确.
指数型函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，命题⑤正确.
故答案为：③④⑤.
14．答案：1；
解析：由题意，函数，
所以；
当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，可得，
画出函数和的图象，如图所示，
由，可得；又由，可得，
由图象可知，若两个函数的图象有3个交点时，可得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为1；.
15．答案：(1)选模型②,且
(2)
(3)约为10℃
解析：(1)由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢,故模型①③不符合,
选模型②,则,即,可得,
所以且.
(2)令,则.
所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为.
(3)由,即,所以进行实验时的室温约为.
16．答案：（1）,
（2）12个单位时间
解析：（1）若选,
将,和,代入得,解得,
得,代入得,这与题干时差异很大,
所以该函数模型不适合:
若选,
将和,代入得,
解得,得,
代入得得,与表中数据接近,
适合作为拟合猴痘病毒感染规律的函数模型;
（2）设至少需要x个单位时间数,则,
两边同时取底数为10的对数得,
即,
,
又,
,
,的最小值为12,
即至少经过12个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.
