河北省文安县第一中学 2025 届高三下学期 3 月高考模拟
数学试卷（五）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ , 2sin + 3cos ≥ 4”的否定是( )
A. ∈ , 2sin + 3cos ≥ 4 B. ∈ , 2sin + 3cos < 4
C. ∈ , 2sin + 3cos < 4 D.以上说法均错误
2.已知 为纯虚数，记 2, 2 , | |2构成的集合为 ，则 中元素的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.已知 sin( + ) = 12 , tan + 3tan = 0, , ∈ 0, π ，则 =( )
A. π2 B.
π
2 C.
π π
6 D. 6
4.如图， , 分别是正八面体(8 个面均为正三角形)棱 , 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
( )
A. 13 B.
3
3 C.
2 6
3 D. 3
5.设点 ( 1,0), (4,0), (0,3), 为圆 2 + 2 2 = 0 上一点，则 + + 的最小值为
( )
A. 6 B. 4 C. 8 D. 10
6 3 1 1.某省参加数学竞赛的学生中物理组合占4，历史组合占4，假定历史组合参赛学生获奖的概率为4，物理组
1
合参赛学生获奖的概率为3，现从全部参赛学生中抽取 3 名，已知这 3 名学生均获奖，则这 3 名学生中既有
物理组合学生又有历史组合学生的概率为( )
A. 425 B.
12 13 3
25 C. 25 D. 5
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7
2 2
.已知 是椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点， , 分别是 的右、上顶点， 是 上一点，且 和
是全等的三角形( 为坐标原点)，则 的离心率的平方为( )
A. 5 1 B. 5 22 2 C.
5 3 5 2
2 D. 2
8.当 1 时，关于 的不等式e +ln e ln ln > 1 恒成立，则 的取值范围是( )
A. e, + ∞ B. (1, + ∞) C. e, + ∞ D. 1e , + ∞
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 ln > ln , ∈ ，则下列说法正确的是( )
2 2
A. ≤ B. + 3 3 < + C. > D. ln > ln
10.“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察
发现某港口的潮汐涨落规律为 = cos( + ) + (其中 > 0, > 0,0 < < π, (单位:m)为港口水深，
(单位: h)为时间，0 ≤ ≤ 24).若某轮船当水深大于 13m 时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列
说法正确的是( )
时间 1 4 7 10 13 16 19 22
水深 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5
A. = 2.5
B. = 5π6
C.该轮船 9 点可以进出港口
D.该轮船从 0 点到 12 点，在港口可停留的时间最长不超过 4 小时
11.平面内到定点 (1,1)、 轴、 轴的距离之和等于 4 的点的轨迹是如图所示的曲线 ，它由 4 部分组成，
每部分都是双曲线上的一段，设 ( , )是该曲线上一点，则下列说法正确的是( )
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A. 75 ≤ ≤
7
3
B.当 , 都是整数时， 称为格点，则 上有 2 个格点
C. + 的最大值为 6 2 2
D. 在第一象限对应的双曲线的离心率为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
3
12. 2 1 + 1 的展开式中的常数项为 (用数字作答)．
13.设 是等差数列 的前 项和， 1, 3, 9成等比数列，等比数列 的首项为 1，公比 为正整数，
, 均不是常数列，若 6 1+ 2+
是整数，则 = ．
3
14.如图，在 中，∠ = 90 , ∠ = 30 ，点 在以 为直径的半圆( 外)内及边界上运动，若
= + ，记 2 + 的最大值与最小值分别为 , ，则 + = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
记 的内角 , , 的对边分别为 , , 3 cos 2 ，已知 2 = ．cos 2
(1)求证： + = 3 ；
(2)若 = 2，求 面积的最大值．
16.(本小题 15 分)
记 为数列 的前 项和，已知 1 = 1, 2 = 4 2 1 2, 2 1 = 3 2 2．
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，求 2 ．
17.(本小题 15 分)
π
如图，圆台 1的轴截面为等腰梯形 1 1，上、下底面半径分别为 2，4，圆台母线与底面所成角为3 ,
是下底面圆周上一点(异于点 , ).
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(1)已知 = 4，若线段 上存在一点 ，使得 1 //平面 1 ，试确定点 的位置，并求直线 1 与平面 1
的距离；
(2) π若平面 1 与平面 1的夹角为4，求 ．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)过点 3 2, 2
2 3
，离心率为 3 ，直线 : = + 4 与 的左支交
于 , 两点，与 轴交于点 ．
(1)求 的方程；
(2) 为坐标原点，设 , △ 的面积分别为 1, 2，若 2 = 5 1，求 的方程；
(3)若 上存在点 ，过点 可以作 的两条切线，且两条切线互相垂直，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
随着时代的进步、科技的发展，“网购”已发展成为一种新的购物潮流，足不出户就可以在网上买到自己
想要的东西.某网店为了解网民在该网店的购物情况，从某天交易成功的所有订单中随机抽取了 100 份，按
购物金额(单位：千元)进行统计，并将其分成以下六组：[0,0.5), [0.5,1), [1,1.5), [1.5,2), [2,2.5), [2.5,3]，得到
如下频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
(1)若该网店平均每天有 100 个订单，试计算样本平均数与中位数，并估计该网店一年的总销售额(一年按
365 天计算)；
(2)2024 年“双十一”期间，该网店在 , 两件畅销商品的页面均设置了一个“限时抢红包”的环节，每人
在每个页面最多只能抢到一个红包，其中每个红包由 2 ≤ ≤ 10, ∈ 百元现金券组成，该现金券可以
在购物时直接抵减相应金额.现甲参加了这两件商品的“限时抢红包”活动，设甲在 , 商品页面抢到红包的
7sinπ π sin
π
概率分别为 4 2 , 4 ，且这两次红包是否抢到互不影响.分别记甲抢到的红包总数量为 ，红包总金额为
百元．
( )求 的分布列及数学期望 ( )；
( )求 的数学期望 ( )取最大值时正整数 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 11
13.2，4
14.72或 3.5
15. (1) 3 cos = 2 3 cos 解： 证明：因为 2 ，所以1+cos = 即 + cos = 3 cos ，cos 2
2+ 2 2 2 2 2
则由余弦定理得 + × 2 = 3 ×
+
2 ，
2+ 2 2 2 2+ +
2
整理得 2 2 = = 3 即 + = 3 ．
(2)若 = 2，则由(1)得 + = 6 ≥ 2 ≤ 9，当且仅当 = = 3 时等号成立，
2 2 2 2 2 2
又由余弦定理得 cos = + = + 4 ( + ) 2 4 162 2 = 2 = 1，
= 1 1 1
2
所以 面积为 2 2 sin = 2 × 1 cos = 2 × 1
16 1
1 = 2 ×
16
2
+ 32 = 8 64 ≤ 8 × 9 64 = 2 2，当且仅当 = = 3 时等号成立，
所以 面积的最大值为 2 2．
16.解：(1) 1 = 1, 2 = 4 2 1 2, 2 1 = 3 2 2，
所以当 = 1 时， 2 = 2 1 = 4 1 2 1 = 1，
且 2 = 2 2 1 = 4 2 1 3 2 2 = 2 1，
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2 +1 = 2 +1 2 = 3 2 +2 4 2 1 = 3 2 +1 4 2 2 +1 = 2 2 ，
所以 2 +1 = 2 2 1，所以数列 2 1 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，
所以 2 1 = 1 2 1 = 2 1，所以 12 = 2 1 = 2 ，
22 1, 为偶数
所以 = 1 ；
2 2 , 为奇数
22 1, 为偶数
(2)由(1) = 1 ,
2 2 , 为奇数
所以 2 = 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + . . . + (2 1) 2 1 + 2 2 = 1 + 3 3 + . . . + (2 1) 2 1 + 2 2 +
4 4 + . . . + 2 2
= 1+ 3 × 2 + . . . + (2 1) × 2 1 + 2 × 1 + 4 × 21 + . . . + 2 × 2 1
= 20 + 3 × 2 + . . . + (2 1) × 2 1 + 1 × 21 + 2 × 22 + . . . + × 2 = +
则 2 = 21 + 3 × 22 + . . . + (2 1) × 2 , 2 = 1 × 22 + 2 × 23 + . . . + × 2 +1，
所以 0 1 2 1 = 2 + 2 2 + 2 + . . . + 2 (2 1) × 2
1
= 1 + 2 × 2 1 2 1 2 (2 1) × 2 = (3 2 )2 3，
= 21 + 22 + 23 + . . . + 2 × 2 +1 =
2 1 2
1 2 × 2
+1 = (1 ) 2 +1 2，
所以 = (2 3)2 + 3， = ( 1) 2 +1 + 2，
所以 = + = (2 3)2 + 3 + ( 1) 2 +12 + 2 = (4 5) 2 + 5．
17.解：(1)取 中点为 ，连接 , 1 ，则由题意可得 // ，
由题意可知 = 1 1 = 4 且 // 1 1，
所以四边形 1 1是平行四边形，故 1 // 1 ，
又 , 1 平面 1 ， , 1 平面 1 ，
所以 //平面 1 ， 1 //平面 1 ，又 ∩ 1 = ，
所以平面 1 //平面 1 ，
又 1 平面 1 ，所以 1 //平面 1 ，所以 为 中点；
由上可知直线 1 与平面 1 的距离即为点 到平面 1 的距离，设为 ，
4 2 π
由题意圆台母线长为 = π = 4， = (4 2)tan = 2 3cos3 3
，
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如图，取 中点 ，以 为原点， , , 1分别为 , , 建立如图所示空间直角坐标系 ，
则此时 (0, 4,0), 1 0, 2,2 3 , 2 3, 2,0 ，
所以 = (0,4,0), 1 = 2 3, 0, 2 3 , 1 = 0, 2, 2 3 ，
⊥
设平面 1 的一个法向量为 = ( , , )，则 1
,
1 ⊥
1 = 2 3 2 3 = 0即 1
，取 = 1，则 = 1, 3, 1 ，
= 2 2 3 = 0
= = 4 3 4 15所以 = 5 ．
12 2+ 3 +12
(2)空间直角坐标系 中， (0, 4,0), (4,0,0), 1 0,2,2 3 , 1 0,0,2 3 ，
设 4cos , 4sin , 0 , ∈ 0,2π π 3π，且 ≠ 2或 2，
则由圆台结构性质可知 = (4,0,0)是平面 1的一个法向量， 1 = 0,6,2 3 , = 4cos , 4sin + 4,0 ，
设平面 1 的一个法向量为 = ( , , )
1 ⊥ ，所以 ,
⊥
1 = 6 + 2 3 = 0 = 3 = sin +1所以 , 1, 3 ，取 ，则 ， = 4 cos + 4sin + 4 = 0 cos
4×sin +1 2
则 cos , = = cos = 2 sin +1 2 ，化简得 cos = 4，
4 sin +1
2
cos +1+3
sin +1
所以 cos =± 2
3 4
，解得 sin = 5 , cos =± 5，
2 2
所以 = ± 16 , 32 , 0 = ± 16 + 32 16 55 5 ，所以 5 5 = 5 ．
2 2
18. 18 2 2 解：(1)由题设 2 2 2 2 2 2 2 = 1 且 = 3， = + ，则 = 12, = 4，所以 : 12 4 = 1；
(2)由 : = + 4 恒过(0,4)，即 (0,4)，若 ( 1, 1), ( 2, 2)且 1, 2 < 0，故 > 0，
又 2 = 5
1
1，所以2 | 2| | | = 5 ×
1
2 | 1| | |，则 2 = 5 1，
联立 : = + 4 与 2 3 2 = 12，则(3 2 1) 2 + 24 + 60 = 0，
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24 60 4 所以 2 121 + 2 = 1 3 2 < 0， 1 2 = 3 2 1 > 0，则 1 = 1 3 2，且 1 = 3 2 1，
12 16 2
所以 23 2 1 = (1 3 2)2，且 3 1 > 0，可得 3(3
2 1) = 4 2，则 = 155 (负值舍)，
综上，直线 : = 155 + 4，即 : 15 5 + 20 = 0；
(3)由题设，易知两条切线的斜率一定存在，设切线为 = + ，
联立 2 3 2 = 12，可得 2 3( + )2 = 12，所以(3 2 1) 2 + 6 + 3 2 + 12 = 0，
则 = 36 2 2 4(3 2 1)(3 2 + 12) = 0，得 =± 12 2 4，则切线为 = ± 12 2 4，
而 ( 2 , + 4)在切线上，则 + 4 = ± 12 4，
所以( + 4 )2 = 12 2 4，则( 2 12) 2 2 ( 2 + 4) + ( + 4) + 4 = 0，
( +4)2+4
若 1, 2为过 点的两条切线的斜率，根据垂直关系有 1 2 = 2 = 1， 12
所以( 2 + 1) 2 + 8 + 8 = 0，根据点的存在性知 = 64 2 32( 2 + 1) ≥ 0，
所以 2 ≥ 1，可得 ∈ ( ∞, 1] ∪ [1, + ∞)．
19.解：(1)平均数 = 0.25 × 0.05 + 0.75 × 0.15 + 1.25 × 0.15 + 1.75 × 0.25 + 2.25 × 0.3 + 2.75 × 0.1 = 1.7
0.05 + 0.15 + 0.15 = 0.35 < 0.5,0.05 + 0.15 + 0.15 + 0.25 = 0.55 > 0.5
设中位数为 则 在 1.5 2 中，
则 0.05 + 0.15 + 0.15 + ( 1.5) × 0.5 = 0.5 ∴ = 1.8
总销售额为 365 × 1.7 = 620.5(千元)
(2)( ) 可取 0，1，2
π 2sin
π
sin
π
π 2sin
π πsinπ 7sin2 π
( = 0) = 1 + 2 4 1
4 = 1 + 2
+
4 3 16 2
7sinπ π 2π π
( = 2) =
π sin 7sin πsin
4 2
4 = 2 16 4 3
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πsinπ 2sinπ ππ 7sin2
( = 1) = 1 ( = 0) ( = 2) = + 3 2
2 8 2
2sinπ π
∴ ( ) = 0 × ( = 0) + 1 × ( = 1) + 2 × ( = 2) = 2
所以 的分布列为
π 2sin
π
πsin
π 7sin2π
( = 0) = 1 + 2
3 +
4 16 2
πsinπ 2sinπ 7sin2π
( = 1) = π2 3 + 2
8 2 ，
7sin2π πsinπ
( = 2) = 16 2 4 3 ，
2sinπ π
∴ ( ) == 2
( ) 可取 0, , 2
且 ( = 0) = ( = 0), ( = ) = ( = 1), ( = 2 ) = ( = 2)
则 ( ) = 0 + × ( = ) + 2 × ( = 2 ) = 2sin π π
∵ 2 ≤ ≤ 10 ∴ π π π10 ≤ ≤ 2
( ) = 2sin , ∈ π , π令 10 2
∴ ′( ) = 2cos 1
π π
当 ′10 ≤ ≤ 3时， ( ) ≥ 0, ( )单调递增
π π
当 ′3 ≤ ≤ 2时， ( ) ≤ 0, ( )单调递减
∴ ( ) πmax = 3
即 = 3 时， ( )取最大值．
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