2024-2025 学年江西师范大学附属中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等差数列 的公差为 2，且 1 + 5 + 9 = 15，则 2 + 6 + 10 =( )
A. 17 B. 19 C. 21 D. 23
2.已知函数 ( ) = ( )( 2022)( 2021)( 2020)，且 ′(2022) = 4，则实数 =( )
A. 2024 B. 2023 C. 2023 D. 2024
3.已知函数 ( ) = +1 + ( 为自然常数)，记 = ( 2.1)， = (1)， = (1.2)，则 ， ， 的大小关
系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
24
2
.设 1, 2为双曲线曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，过 1直线 与 第一象限相交于点 ，
1 =
7
1 2 且直线 倾斜角的余弦值为8， 的离心率为( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 3
5.已知等差数列 满足 3 + 5 = 22，前 8 项和 8 = 100；公比为正数的等比数列 满足 4 2 = 12，
3 = 8，设 = ， 为数列 的前 项和，则当 < 2024 时， 的最大值是( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6.已知函数 ( ) = 2 ln 2，若对任意的 1、 2 ∈ (0, + ∞)，当 1 < 2时，都有2 1 + 2 < 2 2 + 1 ，
则实数 的取值范围为( )
A. 1 12e , + ∞ B. [1, + ∞) C. e , + ∞ D. [2, + ∞)
7 = e 1 1.曲线 在 1, 1 处的切线与曲线 = ln + 相切于点 2, 2 ，若 1 < 2且 + = 1，则2 1 2 1
实数 的值为( )
A. 2e B. 2 C. 2 1e e2 D. e
8.已知数列 满足 1 = 3, 2 = 15，且 +2 2 +1 + = 8
4034
，若[ ]表示不超过 的最大整数，则 +1
4034
+ +
4034
=( )2 2024
A. 2016 B. 2017 C. 4032 D. 4034
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列命题正确的有( )
A.已知函数 ( )在 上可导，若 ′(1) = 2，则 lim 1+2Δ (1) = 2
Δ →0 Δ
B. ( ) = ln(2 + 1) ′ = 1 = 1已知函数 ，若 0 ，则 0 2
C. cos
′
=
sin +cos
2
D.设函数 ( )的导函数为 ′( )，且 ( ) = 2 + 3 ′(2) + ln ，则 ′(2) = 94
10.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数
分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点
个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列 ，正方形数构成数列 ，则下列说法正
确的是( )
1 1 1 1
A. + + + + =1 2 3 +1
B. 1225 既是三角形数，又是正方形数
1 1 1 1 33
C. + +1 2
+ + <
3 20
D. ，总存在 ，使得 = + 成立
11 .已知函数 ( ) = e ，直线 : = ( + 1)，则下列说法不正确的有( )
A. (2) < (3)
B.若 ( ) = < 1有两个不等实根，则 e
C.若有且仅有 2 3 2个整数 0，使得点 0, 0 在直线 的上方，则实数 的取值范围为 4e3 , 3e2
D.当 ≥ 12 e时，在 轴右侧，直线 恒在曲线 ( )上方
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.已知 ， ， ∈ ，且 ≥ 1， ≥ 2， ≥ 3，则方程 + + = 10 的解的组数为 ．
13.已知 ， 1 2为正实数，直线 = 2 与曲线 = ln( + )相切，则 + 的最小值是 ．
14 3 1 1.已知数列{ }，{ }中， 1 = 2， +1 = 2
2
， 1 = 1， =
2 +1
= ，若对 ∈
使得 3 2 > +
2 1 2 2
1
+ +
1
恒成立，则实数 的取值范围为 ．4 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
(1) ( ) = 2 3 3 23 2 + + 1，求函数 ( )在区间[0,2]上的最大值和最小值．
(2)已知 ( ) = ln + 2 3 ，求 ( )的极值
16.(本小题 15 分)
高血脂症是指脂肪代谢或者运转异常使人体血液中的血脂含量超过正常范围，表现为血中胆固醇或甘油三
酯过高或高密度脂蛋白过低，现代医学称“血脂异常”.高血脂症是常见病、多发病，更是导致心脑血管疾
病的元凶.最新的调查显示，中国成人高血脂的患病率为 41.1%，大概每五位成人中就有两位是高血脂患者.
改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血脂水平下降，高血脂发病率降低，
控制高血脂的发展．
(1)某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康
在脚下”徒步走活动.下表为开展活动起 5 个季度社区高血脂患者的血脂情况统计．
季度 1 2 3 4 5
血脂明显降低(或治愈)人数 /人100150210270320
已知血脂明显降低(或治愈)人数 与季度变量 (季度变量 依次为 1,2,3,4,5, )具有线性相关关系，试求出
与 的经验回归方程，并预测第 6 季度血脂明显降低(或治愈)者大约有多少人？
(2)社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组去参加徒步走比赛.若比赛分为初赛和决赛，其中初
赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛. 3已知甲组在每轮比赛中获胜的概率均为4；乙组在第一轮和第二轮
2 3 2 5
比赛中获胜的概率分别为3和4；丙组在第一轮和第二轮获胜的概率分别为3和6 .设进入决赛的组数为 ，求
的分布列与数学期望．
附：经验回归方程 = + 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = =1 = =1 2 2 2
，
=1 =1
=
17.(本小题 15 分)
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已知数列 满足 1 = 2，数列 的前 项和为 ， +1 = 2 + 2．
(1)求 的通项公式；
(2) = 2 +1设 ，数列 的前 项和为 .若不等式( 1)
< + 对一切 ∈ N 2 1 恒成立，求实数 的取
值范围．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln + 2 + ( + 2) ， ∈ ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2) < 0 2当 时，若关于 的不等式 ( ) + 1 恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
若有穷数列 1, 2 ( 是正整数)，满足 1 = , 2 = 1, …, = 1即 = +1( 是正整数，且1 ≤ ≤ )，
就称该数列为“对称数列”．
(1)已知数列 是项数为 7 的对称数列，且 1, 2, 3, 4成等差数列， 1 = 2, 4 = 11，试写出 的每一项；
(2)已知 是项数为 2 1( ≥ 1)的对称数列，且 , +1 2 1构成首项为 50，公差为 4 的等差数列，
数列 的前 2 1 项和为 2 1，则当 为何值时， 2 1取到最大值？最大值为多少？
(3)对于给定的正整数 > 1，试写出所有项数为 2 1 的对称数列，使得 1,2, 22…2 1成为数列中的连续项；
当 > 2000 时，并分别求出所有对称数列的前 2024 项和 2024．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.15
13.8
14.( ∞, 23 ] ∪ [1, + ∞)
15. 2 3解：(1)由题意可知 ( ) = 3 23 2 + + 1，
所以 ′( ) = 2 2 3 + 1 = (2 1)( 1)，
令 ′( ) = 0 1，解得 1 = 2， 2 = 1，
列表有
1
0, 1 1
2 2
, 1 (1,2]
2 1
′( ) + +
0 0
( )
递增极大值递减极小值递增
1 1
由上可知 ( )在 0, 2 上单调递增，在 2 , 1 上单调递减，在(1,2]上单调递增，
1 29 7 7
又 (0) = 1, 2 = 24， (1) = 6 , (2) = 3，
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7
所以 ( )最小值为 1，最大值为3．
(2) 1 (2 1)( 1)函数 ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = + 2 3 = ，令
′( ) = 0，得 = 12或 = 1，
当 ∈ 0, 1 时， ′2 ( ) > 0，函数 ( )单调递增，
当 ∈ 12 , 1 时，
′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，
所以 ( )在 = 1 1 1 1 32处取得极大值 2 = ln 2+ 4 2 = ln
1 5
2 4，所以 ( )在 = 1 处取得极小值 (1) = ln1 +
1 3 = 2．
16.解：(1) = 1+2+3+4+55 = 3， =
100+150+210+270+320
5 = 210．
5 =1 = 1 × 100 + 2 × 150 + 3 × 210 + 4 × 270 + 5 × 320 = 3710，
5 2 2 2 2 2 2 =1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 55，
5
所以 = =1 5 = 3710 3150
5 2 2 55 45
= 56，
=1 5
所以 = = 210 56 × 3 = 42，
所以 = 56 + 42，
当 = 6 时， = 56 × 6 + 42 = 378，
所以第 6 季度血脂明显降低(或治愈)者大约有 378 人．
(2)由题知 的可能取值为 0，1，2，3．
9 1 5
依题意，甲组、乙组、丙组进入决赛的概率分别为16，2，9，
所以 ( = 0) = 7 1 4 716 × 2 × 9 = 72，
( = 1) = 916 × 1
1
2 1
5 9 1 5
9 + 1 16 × 2 × 1 9 + 1
9
16 × 1
1 × 52 9 =
11
32，
( = 3) = 916 ×
1 × 52 9 =
5
32，
( = 2) = 1 ( = 0) ( = 1) ( = 3) = 2972．
所以随机变量 的分布列为：
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0 1 2 3
7 11 29 5
72 32 72 32
( ) = 0 × 7 + 1 × 11 + 2 × 29所以 72 32 72+ 3 ×
5 = 23332 144．
17.解：(1)由 +1 = 2 + 2，可得当 ≥ 2 时， = 2 1 + 2，
两式相减可得： +1 = 2 ，
当 = 1 时，可得 2 = 2 1 + 2，
所以 2 = 1 + 2 = 4，也满足 2 = 2 1，
所以数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，其通项公式为 1 = 2 × 2 = 2 ．
(2)由(1) = 2 +1可知，则 =
2 +1
2
，
3 5 2 1 2 +1
则 = 21 + 22 + + 2 1 + 2 ，
1 = 3 + 5 + + 2 1 2 +12 22 23 2 + 2 +1，
1 1
1 3 1 1 1 2 +1 3 4 +1 2 +1 5 2 +5
两式作差得2 = 2+ 2 ×
2
22 + 23 + + 2 2 +1 = 2 + 2 × 1 1 2 +1
= 2 2 +1，
2
则 = 5
2 +5
2 ，
由不等式( 1) < + 5 2 1 ( 1) < 5 2 对一切 ∈ N 恒成立，
5
可得 为奇数时， < 5 2 恒成立，
由 5 5 5 52 单调递增，可得最小值为 2 =
5
2，即有 <
5 5
2，可得 > 2；
为偶数时， < 5 52 恒成立，
5 5 5 5 = 15 < 15由 2 单调递增，可得最小值为 4 4，即有 4，
5
综上可得： 2 < <
15
4．
18.解：(1) ( ) = ln + 2 + ( + 2) ，
2
′( ) = 1 + 2 + + 2 = 2 +( +2) +1 ( > 0)，
当 0 时， ′( ) > 0， ( )在(0, + ∞)上是单调增函数；
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1 1
< 0 ′( ) = ( +1)(2 +1)
2 ( + )( + )当 时， = 2 ，
当 ∈ (0, 1 ′ )时， ( ) > 0，当 ∈ (
1
, + ∞)时，
′( ) < 0，
1
所以 ( )在 0, 上单调递增，在 上单调递减．
综上，当 0 时， ( )在(0, + ∞)上是单调增函数；
1
当 < 0 时， ( )在 0, 上单调递增，在 上单调递减；
(2)由(1)可得，当 < 0 时， ( )max = (
1
) = ln (
1 1 +2
) + = ln (
1
)
1
1．
( ) 2 + 1 ln ( 1 ) 1 1 2由不等式 恒成立，得 + 1 恒成立，
即 ln ( 1 1 ) + 在 < 0 时恒成立．
= 1 ( ) = ln ( > 0) ′( ) = 1 1 = 1 令 ， ，则 ，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
所以 ( )的最大值为 (1) = 1，得 1，所以实数 的取值范围是[ 1, + ∞)．
19.(1)设 的公差为 ，则 4 = 1 + 3 = 2 + 3 = 11，
解得 = 3，
数列 为 2,5,8,11,8,5,2；
(2)因为 , +1 2 1构成首项为 50，公差为 4 的等差数列，
+ + + = 50 + ( 1)×( 4)所以 +2 2 1 2 = 2
2 + 52 ，
所以 2 1 = 2 + +1 + + 2 1 = 4 2 + 104 50 = 4( 13)2 + 4 × 132 50，
所以当 = 13 时 2 1取得最大值，且 2 1 max = 128．
(3)因为 1，2，22， ，2 1成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为 2 1，
所以这样的对称数列有：
①1，2，22， ，2 2，2 1，2 2， ，22，2，1；
②2 1，2 2， ，22，2，1，2，22， ，2 2，2 1；
因为 > 2000，
2024
对于①，当 ≥ 2024 时 = 1 + 2 + 22 + + 220232024 =
1 2 2024
1 2 = 2 1；
当 2000 < < 2024 时 2024 = 1 + 2 + 22 + + 2 1 + 2 2 + 2 3 + + 22 2025
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1 2 22 2025= 1 2
2024
1 2 + 1 2 = 2
1 + 2 1 22 2025，
2024
所以 = 2 1, ≥ 20242024 2 1 + 2 1 22 2025
；
, 2000 < < 2024
2024 2024
对于②，当 ≥ 2024 时 = 2 1 + 2 22024 + + 2 2024 =
2 1 2
1 2 = 2
2 2024；
当 2000 < < 2024 时 2024 = 2 1 + 2 2 + + 22 + 21 + 1 + 2 + 22 + + 22024
1 2 2 1 22024 = + = 2 1 2 + 22025 1 2 1 2 = 2
3 + 22025 ，
2 2 2024, ≥ 2024
所以 2024 = 2 3 + 22025
．
, 2000 < < 2024
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