安徽省马鞍山市2025届高三第二次教学质量监测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，满足，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
5.在三棱柱中，截去三棱锥后，剩余的部分是( )
A. 五棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱台
6.数列满足，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数是定义在上的奇函数，则，的值可能是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过焦点且与交于，两点，若直线的斜率为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二项式的展开式中各项系数之和为，则( )
A. 展开式中共有项 B. 展开式中二项式系数的和为
C. 展开式中常数项为 D. 展开式中系数最大的项是第项
10.点是半径为的圆内一定点，且，过点作圆的两条互相垂直的弦，，则( )
A. 为定值 B. 的取值范围是
C. 为定值 D. 四边形面积的最大值为
11.已知在三棱柱中，底面，，，且，记，则( )
A. 存在，使得
B. 三棱柱的侧面积随的增大而减小
C. 三棱柱的体积随的增大而减小
D. 三棱锥外接球表面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.马鞍山市某月连续四天的最低气温如下表所示：
第天
最低气温单位
由最小二乘法得到经验回归方程，则的值为 ．
13.如图，一个圆环分成，，，四个区域，用种颜色全部用完对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为 用数字作答
14.在中，点、分别为边、的中点，且，，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
两个箱子里面各有除颜色外完全相同的黑球和白球若干个，现设计一个抽球游戏，规则如下：先从第一个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得分，抽中白球得分，且抽中黑球的概率为；再从第二个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得分，抽中白球得分，且抽中黑球的概率为记一次游戏后，得分总和为分
求的分布列和数学期望；
若有人玩该游戏各一次，求恰有人游戏得分不低于分的概率．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，侧棱与底面所成的角为，且，．
求；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，点和是中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆上的两点．
求椭圆的标准方程；
若为椭圆上任意一点，以点为圆心，为半径的圆与圆的公共弦为证明：的面积为定值，并求出该定值．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若有两个零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
将数列中不同的两项与交换位置，其余项不变得到的数列称为的“对换数列”，若时，，则称为一个逆序对，例如：数列，，的逆序对有：，将数列中逆序对的个数称为的逆序数，记为，记．
写出数列，，，，，的所有逆序对；
求数列的所有“对换数列”的逆序数之和；
定义：将数列的所有项重新排列后得到的数列称为的一个“重排数列”若是数列的一个“重排数列”，是数列的一个“对换数列”，证明：．
注：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由题知，可能取的值为，，，
，，
，，
的分布列为：
故．
由知，得分不低于分和低于分的概率均为
故人玩该游戏各一次恰有人游戏得分不低于分的概率为．
16.因为平面，平面
所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为平面，所以在平面上的射影为，
所以为直线与底面所成的角，
因为与底面所成的角为，所以，又，
所以，设，
因为，，，
所以，，又，故，
则，
因为因为平面，平面
所以，所以，
所以，
解得或舍去，
故．
以为坐标原点，、分别为、轴的正方向，过作垂直于平面的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
设平面的法向量为，
令，得，，
则为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
令，可得，，
得为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.设椭圆的方程为，
由题意知：，，解得，
所以椭圆的方程为．
设，则，且圆的方程为，
即圆的方程为
因为圆的方程为，
将圆的方程与圆的方程作差得，
所以的方程为，
点到直线的距离
，
又因为，所以的面积为为定值．
18.的定义域为，
若，则，则在单调递减；
若，则由得
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
若，由知，至多有一个零点
若，由知，当时，取得最小值，最小值为．
当时，由于，故只有一个零点；
当时，因为单调递增，单调递增，所以单调递增，
所以，，故没有零点；
当时，由于，即，
又，
故在有一个零点
设正整数满足，则，
故在有一个零点
综上，的取值范围为．
19.，，，；
因为交换与后共产生个逆序数，，
所以
；
由可知，，
因为是将中与两项交换所得，
故之前的项及之后的项逆序数不变，
对于与之间的项，
只有满足的数才会发生逆序数的变化，
设这样的数有个，由于这个数对与的顺序同时发生变化，
产生个逆序数，又与交换产生个逆序数，
则共产生个逆序数，设，
则，
则．
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