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第五章
万有引力与宇宙航行
第25讲 万有引力定律及应用 相对论
基础梳理·易错辨析
一、开普勒三定律
1．
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在________的一个焦点上
椭圆
椭圆
面积
三次方
二次方
二、万有引力定律及应用
1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与___________________成正比，与_______________________成反比。
2．公式：F＝_____________，其中G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。公式中的r是两个物体之间的_______。
3．适用条件：适用于两个_______或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。
两物体质量的乘积
两物体间距离的二次方
距离
质点
三、天体或卫星运动问题分析
1．将天体或卫星的运动看成___________运动，其所需向心力由___________提供。
2．表达式
匀速圆周
万有引力
四、宇宙速度
1．第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫_______速度，其数值为_______km/s。
(2)第一宇宙速度是人造卫星在___________附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。
(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小_______速度，也是人造卫星的最大_______速度。
环绕
7.9
地球表面
发射
环绕
2．第二宇宙速度(脱离速度)
使物体挣脱_______引力束缚的最小发射速度，其数值为_________ km/s。
3．第三宇宙速度(逃逸速度)
使物体挣脱_______引力束缚的最小发射速度，其数值为_________ km/s。
地球
11.2
太阳
16.7
五、相对论时空观与牛顿力学的局限性
1．相对论时空观
(1)爱因斯坦的两个假设：①在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是_______的。
②真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是_______的。
(2)爱因斯坦假设的结果
相同
相同
①时间延缓效应
如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这
个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝____________。
②长度收缩效应
如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运
动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝____________。
2．牛顿力学的成就与局限性
牛顿力学适用于宏观物体，低速运动。
1．只有天体之间才存在万有引力。( )
3．牛顿发现了万有引力定律并第一个测出了地球的质量。( )
4．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。( )
×
√
×
×
5．人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。( )
6．探月卫星的发射速度必须大于第三宇宙速度。( )
7．牛顿总结了前人的科研成果，在此基础上，经过研究得出了万有引力定律。( )
8．牛顿利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量。( )
√
×
√
×
核心考点·重点突破
1
开普勒定律的应用
(基础考点·自主探究)
1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
【跟踪训练】
(开普勒第一定律和第二定律的应用)如图所示，是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是小行星依次经过的三个位置，F1、F2为椭圆的两个焦点。小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，小行星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2。已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功。下列判断正确的是( )
A．太阳位于焦点F1处
B．S1>S2
C．在M和N处，小行星的动能EkM>EkN
D．在N和P处，小行星的加速度aN>aP
1
[答案] B
(开普勒第三定律的应用)2023年4月12日，水星抵达今年第一次东大距的位置。由于水星是地内行星，平时都在太阳附近难以观察，从地球看出去，水星和太阳的最大夹角θ(也称距角，即“大距”)时，观测时机最佳，如图所示。若将水星与地球的公转均视为圆周运动，地球公转周期约为水星公转周期的4倍，则水星东大距时的距角θ的正弦值sin θ为( )
2
[答案] B
2
万有引力定律及重力加速度的理解
(能力考点·深度研析)
1．万有引力与重力的关系
(1)地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(2)万有引力与重力的定量关系：
2．不同位置处重力加速度的比较
考向1 地球外部某点和地球内部某点加速度的计算
假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
[答案] A
考向2 万有引力与重力的关系
[答案] D
考向3 挖补法求解万有引力
有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半径为0.5R的小球体，如图所示，引力常量为G，则剩余部分对m的万有引力为( )
[答案] A
【跟踪训练】
3
A．0.2 m B．1 m
C．4 m D．6 m
[答案] B
3
万有引力定律的应用
(能力考点·深度研析)
1．解答人造地球卫星运行问题的策略
(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
(2)两种关系
2．天体质量和密度的计算
3．行星(或卫星)运行参数的确定
四字结论：越高越慢
4．人造卫星运行轨道
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，其中一种同步卫星的轨道是赤道轨道。如图所示。
考向1 天体质量和密度的计算
[答案] BD
反思提升
估算天体质量和密度时应注意的问题
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。
考向2 行星(或卫星)运行参数的确定
(多选)(2022·辽宁高考)如图所示，行星绕太阳
的公转可以看作匀速圆周运动，在地面上容易测得
地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金
星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为
αm、βm，则( )
A．水星的公转周期比金星的大
B．水星的公转向心加速度比金星的大
C．水星与金星的公转轨道半径之比为sin αm∶sin βm
[答案] BC
【跟踪训练】
(天体质量的计算)(2024·新课标卷)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的( )
A．0.001倍 B．0.1倍
C．10倍 D．1 000倍
[答案] B
4
[解析]
(天体密度的计算)(多选)中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同学想根据平时收集的部分火星资料计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的公式正确的是(引力常量G已知，忽略火星自转的影响)( )
5
[答案] ACD
(人造卫星运行参数的确定)(2024·江西卷)“嫦娥六号”探测器于2024年5月8日进入环月轨道，后续经调整环月轨道高度和倾角，实施月球背面软着陆。当探测器的轨道半径从r1调整到r2时(两轨道均可视为圆形轨道)，其动能和周期从Ek1、T1分别变为Ek2、T2。下列选项正确的是( )
6
[答案] A
[解析]
4
宇宙速度的理解和计算
(能力考点·深度研析)
1．第一宇宙速度的推导
注意：第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
(2025·湖北省联考)中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个多月，于2021年2月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行。已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是( )
A．若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9 km/s
B．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，小于11.2 km/s
[答案] C
【跟踪训练】
7
[答案] BD
[解析]
5
相对论时空观和牛顿力学的局限性
(基础考点·自主探究)
1．对光速不变原理的理解
不管光源与观察者的相对运动如何，在任一惯性系中的观察者所观测到的真空中的光速都是相等的。
2．相对论时空观的“两个效应”的理解
(1)时间延缓效应的理解
日常生活中的时间延缓效应可以忽略，但在运动速度接近光速时，时间延缓效应则变得特别重要。
(2)长度收缩效应的理解
①在垂直于运动方向不发生长度收缩效应现象。
②我们平常观察不到长度收缩效应，是因为我们生活在比光速低得多的低速世界里，长度收缩效应极不明显。
【跟踪训练】
(对光速不变原理的理解)如图所示，强强乘速度为0.9c(c为真空中的光速)的宇宙飞船追赶正前方的壮壮，壮壮的飞行速度为0.5c，强强向壮壮发出一束光进行联络，则壮壮观测到该光束的传播速度为( )
A．0.4c B．0.5c
C．0.9c D．1.0c
[答案] D
8
[解析] 根据光速不变原理知，在一切惯性系中，光在真空中的传播速度都等于c，故选项D正确。
(两个效应)(多选)一枚火箭静止于地面时长为30 m，两个完全相同的时钟分别放在火箭内和地面上。火箭以速度v飞行，光速为c，下列判断正确的是( )
A．若v＝0.5c，火箭上的观察者测得火箭的长度仍为30 m
B．若v＝0.5c，地面上的观察者测得火箭的长度仍为30 m
C．若v＝0.5c，火箭上的观察者认为地面上的时钟走得快
D．若v＝0.5c，地面上的观察者认为火箭上的时钟走得慢
[答案] AD
9
素养提升
卫星或天体的追及和相遇问题
1．问题简述：天体运动中的“相遇”是指两天体运行过程中相距最近，如图甲所示，而图乙时刻，地球和行星相距最远。
2．解题关键：从图甲开始分析两天体转过的角度或圈数。
3．卫星或天体相距最近或相距最远的条件
(2023·浙江1月选考)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表：
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为( )
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
[答案] B
【跟踪训练】
如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为( )
10
[答案] C提能训练 [25]
基础巩固练
题组一 开普勒定律的应用
1．北京冬奥开幕式24节气倒计时惊艳全球，如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是( )
A．夏至时地球的运行速度最大
B．从冬至到春分的运行时间为公转周期的
C．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，则＝k，地球和火星对应的k值是不同的
D．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上
[答案] D
[解析] 根据开普勒第二定律可知，地球与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积相等，根据S＝r·vΔt，可知地球在近日点的运行速度最大，在远日点的运行速度最小，故夏至时地球的运行速度最小，A错误；根据对称性可知，地球从冬至到夏至的运行时间为公转周期的，由于从冬至到春分地球的运行速度大于从春分到夏至地球的运行速度，可知地球从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故地球从冬至到春分的运行时间小于公转周期的，B错误；根据开普勒第三定律可知，所有绕太阳转动的行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方成正比，则有＝k，其中k与中心天体的质量有关，地球和火星都是绕太阳转动，故地球和火星对应的k值相同，C错误；根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，故太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，D正确。
2．2021年2月，我国首次火星探测任务中探测器“天问一号”成功进入周期为T的大椭圆环火轨道。14天后，“天问一号”成功实施近火制动，经过极轨转移轨道(图中未画出)，进入近火点高度(离火星表面的高度)为h、远火点高度为H、周期为T的火星停泊轨道。已知火星半径为R。则大椭圆环火轨道半长轴为( )
A．(H＋h) B．(H＋h＋2R)
C．(H＋h) D．(H＋h＋2R)
[答案] B
[解析] 根据开普勒第三定律可得＝，解得a＝(H＋h＋2R)，故选B。
题组二 重力与万有引力的关系
3．质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( )
A．m B．m
C．m D．m
[答案] B
[解析] 着陆器向下做匀减速运动时的加速度大小a＝＝。在天体表面附近，有mg＝G，则＝×2，整理得g火＝0.4g，由牛顿第二定律知，F－mg火＝ma，解得制动力F＝m，B项正确。
4．(2025·广东广州高三期中)人类社会的快速进步使得碳排放量不断增加，这导致温室效应加剧，地球南北两极的生态环境遭到一定的破坏。一头质量为m的北极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和馆内的重力差为ΔF。已知地球自转周期为T。根据以上信息，可求出地球的半径为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 设地球的质量为m地，北极熊在赤道上时，万有引力的一部分提供向心力，即－mg＝m2R，北极熊在北极时，有＝mg′，根据题意，有ΔF＝m2R，得R＝，A正确，B、C、D错误。
题组三 天体质量和密度的计算
5．(2024·山东卷)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] “鹊桥二号”中继星(在24小时椭圆轨道运行)地球同步卫星＝k，＝k′＝―→＝，D正确。
6．(多选)宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。不考虑月球自转的影响，则下列表述正确的是( )
A．月球表面的自由落体加速度g月＝
B．月球的质量M＝
C．月球的密度ρ＝
D．月球的密度ρ＝
[答案] ABD
[解析] 月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝g月t2，则月球表面的自由落体加速度g月＝，故A正确；不考虑月球自转的影响，有G＝mg月，得月球的质量M＝，故B正确；月球的密度ρ＝＝＝，故C错误，D正确。
题组四 人造卫星(或行星)运行参数的确定
7．(2025·八省联考云南卷)神舟十九号载人飞船与中国空间站完成自主交会对接后形成一个组合体。该组合体在距地面高约400 km(高于近地轨道高度)的轨道上运行，其轨道可近似视为圆。已知地球同步卫星位于地面上方高度约36 000 km处，则该组合体( )
A．运行速度大于7.9 km/s，运行周期小于地球同步卫星的周期
B．运行速度大于7.9 km/s，运行周期大于地球同步卫星的周期
C．运行速度小于7.9 km/s，运行周期小于地球同步卫星的周期
D．运行速度小于7.9 km/s，运行周期大于地球同步卫星的周期
[答案] C
[解析] 根据G＝m＝mr，可得v＝，T＝2π，组合体的轨道半径大于地球半径，可知组合体的运行速度小于7.9 km/s；组合体轨道半径小于同步卫星的轨道半径，可知组合体的运行周期小于地球同步卫星的周期。故选C。
8．(2023·广东卷)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是( )
A．周期为2t1－t0
B．半径为
C．角速度的大小为
D．加速度的大小为
[答案] B
[解析] 由题图(b)可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期T＝t1－t0，则P的公转周期为t1－t0，故A错误；行星P绕恒星Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得＝mr，解得P的公转半径r＝＝，故B正确；P的角速度ω＝＝，故C错误；P的加速度大小a＝ω2r＝2·＝，故D错误。
题组五 宇宙速度
9．星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度。星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1。已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的。不计其他星球的影响。则该星球的第二宇宙速度为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 由题意可知，此星球上的重力加速度为g，此星球的第一宇宙速度有m·g＝m，又v2＝v1，解得v2＝，故选A。
10．经典的“黑洞”理论认为，当恒星收缩到一定程度时，会变成密度非常大的天体，这种天体的逃逸速度非常大，大到光从旁边经过时都不能逃逸，也就是其第二宇宙速度大于等于光速，此时该天体就变成了一个黑洞。若太阳演变成一个黑洞后的密度为ρ、半径为R，设光速为c，第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，引力常量为G，则ρR2的最小值是( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 设太阳演变成一个黑洞后的质量为M，对于太阳表面一个质量为m的物体，根据万有引力提供向心力，有G＝m，可得太阳的第一宇宙速度为v＝，第二宇宙速度大于等于光速，又第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，则c≤v，又根据太阳演变成一个黑洞后的质量M＝ρ·πR3，联立解得ρR2≥，故B正确。
11．(2023·北京卷)2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720 km，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是( )
A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1°
B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9 km/s
C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离
[答案] A
[解析] 因为“夸父一号”轨道要始终保持被太阳光照射到，则在一年之内转过360°，即轨道平面平均每天约转动1°，故A正确；第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9 km/s，故B错误；根据G＝ma，可知“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误；“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题中信息不能求解地球与太阳的距离，故D错误。故选A。
题组六 天体中的追及相遇问题
12．A、B两颗卫星均在赤道平面内绕地球做匀速圆周运动，已知卫星A的周期为TA，某时刻两卫星相距最近，至少再经过时间t＝TA时，它们再一次相距最近。若卫星A、B的轨道半径分别为rA、rB，且rA
C．6.6 D．6.9
[答案] C
[解析] 某时刻两卫星相距最近，至少再经过时间t＝TA时，它们再一次相距最近，有－＝1，解得＝17，则＝≈6.6，故选C。
能力提升练
13．某行星周围的卫星绕其做圆周运动的轨道半径r与运动周期T的关系如图所示。行星的半径为R0，引力常量为G，图中a、b为已知量。下列说法正确的是( )
A．绕该行星表面运行卫星的周期为
B．该行星的质量为
C．该行星的密度为
D．该行星表面的重力加速度为
[答案] C
[解析] 根据开普勒第三定律有＝k，且k＝，可得T＝，A错误；由万有引力提供向心力得G＝mr，得＝，可得＝，解得M＝，B错误；由ρ＝，且V＝πR，可得ρ＝＝＝，C正确；由G＝mg得g＝＝＝，D错误。
14．(多选)(2024·河北卷)2024年3月20日，“鹊桥二号”中继星成功发射升空，为“嫦娥六号”在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。“鹊桥二号”采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道(如图)，近月点A距月心约为2.0×103 km，远月点B距月心约为1.8×104 km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是( )
A．“鹊桥二号”从C经B到D的运动时间为12 h
B．“鹊桥二号”在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1
C．“鹊桥二号”在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线
D．“鹊桥二号”在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s
[答案] BD
[解析] 由开普勒第二定律可知，“鹊桥二号”在近月点的速度大于在远月点的速度，因此“鹊桥二号”从C经B到D的时间应大于“鹊桥二号”运行的半个周期，即大于12 h，A错误；“鹊桥二号”在A、B两点的加速度由万有引力产生，则由牛顿第二定律有G＝ma，得a＝G，则＝＝，B正确；“鹊桥二号”在C、D两点的速度方向沿轨迹的切线方向，即“鹊桥二号”在C、D两点的速度方向与C、D连线垂直，C错误；“鹊桥二号”为月球的卫星，没有脱离地球的束缚，因此其发射速度介于第一宇宙速度与第二宇宙速度之间，D正确。
15．(多选)(2024·广东卷)如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面时以60 m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1 000 kg，背罩质量为50 kg，该行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小g取10 m/s2。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有( )
A．该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2
B．该行星的第一宇宙速度为7.9 km/s
C．“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为80 m/s2
D．“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30 kW
[答案] AC
[解析] 在星球表面有G＝mg，可得g＝，故g行＝·g＝4 m/s2，故A正确；在星球表面上空，根据万有引力提供向心力有G＝m，可得星球的第一宇宙速度v＝，故该行星的第一宇宙速度v行＝v地＝v地＝×7.9 km/s，故B错误；“背罩分离”前，探测器及其保护背罩整体做匀速直线运动，对整体受力分析，有F绳＝(m＋m′)g行，对探测器受力分析，根据平衡条件可得探测器与保护背罩之间的作用力大小F＝mg行＝4 000 N，“背罩分离”后瞬间，背罩所受的合力大小为F绳－m′g行＝F＝4 000 N，对背罩根据牛顿第二定律有F＝m′a，解得a＝80 m/s2，故C正确；“背罩分离”后瞬间探测器所受重力对其做功的功率P＝mg行v＝1 000×4×60 W＝240 kW，故D错误。
16．(2025·陕西榆林高三校联考阶段练习)2023年8月29日华为Mate60隆重上市，该手机搭载我国自主研发的麒麟9 000s芯片，该手机还有一个最大的亮点就是可以连接天通一号01星实现卫星通信。已知天通一号01星P相对于地球的最大张角为θ，如图所示，已知地球的平均密度为ρ，地球的半径为R，引力常量为G，天通一号01星的运动可看作绕地球做匀速圆周运动，天通一号01星可视为质点，则根据以上数据可以求出( )
A．天通一号01星距地面的高度为h＝R
B．第一宇宙速度的大小为
C．天通一号01星轨道所在处的重力加速度大小为πGρRsin2
D．天通一号01星运行的周期为T＝
[答案] C
[解析] 设天通一号01星距地面的高度为h，如图所示，根据几何关系可得＝sin ，解得h＝，故A错误；设第一宇宙速度大小为v，则有G＝m1，地球的质量为M＝ρ×πR3，两式联立得解v＝R，故B错误；设天通一号01星轨道半径为r，天通一号01星轨道所在处的重力加速度大小为g′，天通一号01星在轨道所在处有G＝mg′，地球表面物体有G＝m1g，地球的质量为M＝ρ×πR3，又＝sin ，联立解得g′＝πGρRsin2，故C正确；天通一号01星做匀速圆周运动有G＝mr2，地球的质量为M＝ρ×πR3，根据几何关系＝sin ，联立解得周期T＝，故D错误。故选C。
17．(2025·海南海口月考)2024年4月25日20时59分，神州十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，执行此次飞行任务的航天员乘组由叶光富、李职、李广苏三名航天员组成，叶光富担任指令长。有一检测仪器置于压力传感器上，在地面仪器静止时测得仪器对平台的压力为F0，地面的重力加速度为g，地球半径为R；现运载火箭点火后以加速度a＝竖直向上做匀加速直线运动，到某高处时发现压力传感器的示数为，已知引力常量为G，并且忽略地球自转。
(1)求压力传感器的示数为时运载火箭离地面的高度h；
(2)若天通一号03星在离地面高度为3h处开始绕地球做匀速圆周运动，运行N圈的时间为t，求地球的密度。
[答案] (1)R (2)
[解析] (1)在地面仪器静止时，有F0＝mg
忽略地球自转，物体在地球表面所受的重力等于万有引力，即mg＝，某高处时，设重力加速度为g1，则mg1＝，运载火箭以加速度a＝竖直向上做匀加速直线运动，传感器的示数为，则仪器受到的支持力为，根据牛顿第二定律得F0－mg1＝ma，联立可得g1＝，h＝R。
(2)天通一号03星在离地面高度为3h处绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得＝m(R＋3h)
运行N圈的时间为t，则T＝，
所以M＝
地球的体积V＝πR3
地球的密度ρ＝＝。
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