广东省深圳市龙岗区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·龙岗期末）如图，我们将食品夹的两边抽象为两条直线与，它们相交于点O，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七下·龙岗期末）“窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船．”这是杜甫眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七下·龙岗期末）下列手机中的图标是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
4．（2024七下·龙岗期末）下列计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2024七下·龙岗期末）下列图形中，由，能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024七下·龙岗期末）如图，点E，点F在直线上，，，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024七下·龙岗期末）下列命题正确的是( )
A．两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等．
B．如果，那么．
C．任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次．
D．“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”是随机事件．
8．（2024七下·龙岗期末）如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
9．（2024七下·龙岗期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 (n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”
…
则中，第三项系数为( )
A．45 B．50 C．55 D．60
10．（2024七下·龙岗期末）在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，相关信息请见下表，则下列说法正确的是( )
信息窗 1．溶质质量溶剂质量溶液质量． 2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液．
A．当温度为时，甲物质和乙物质的溶解度都小于
B．当温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高而增大
C．当时，向水中添加乙，则乙溶液一定能达到饱和状态
D．甲、乙两种物质的溶解度始终都不一样
11．（2024七下·龙岗期末）计算： ．
12．（2024七下·龙岗期末）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是 ．
13．（2024七下·龙岗期末）用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则 度．
14．（2024七下·龙岗期末）“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料(氢)已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏(Schwarzschild)半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体----黑洞．施瓦氏半径(单位：米)的计算公式是．，其中牛 米千克，为万有引力常数；M表示星球的质量(单位：千克)； 米/秒，为光在真空中的速度．已知某恒星质量M为千克，则该恒星的施瓦氏半径为 米．
15．（2024七下·龙岗期末）如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则 秒．
16．（2024七下·龙岗期末）计算：
（1）；
（2）．
17．（2024七下·龙岗期末）先化简，再求值：，其中，．
18．（2024七下·龙岗期末）如图，，
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
19．（2024七下·龙岗期末）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）．
（1）小明如果踩在图中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ．
（2）若小明在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，踩中地雷的概率是 ．
（3）为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是应踩在A区域外的小方格上？并说明理由．
20．（2024七下·龙岗期末）2024深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登梧桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门—万花屏—好汉坡—大梧桐—深外高中站”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去．小明步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示．根据图回答下列问题：
（1）图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为 ，因变量为 ；
（2）他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 千米/时；
（3）小明在景点好汉坡处逗留的时间是 小时；
（4）图2中点A表示 ．
21．（2024七下·龙岗期末）【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用．
【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．
【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置．
（1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：
证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，，
∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，
∴ ， ，
∴ ．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
（2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为 ．
（3）【拓展应用】
“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)．
22．（2024七下·龙岗期末）【背景材料】
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．已知，，，老师将和按如图1所示的位置摆放(点E、A、B在同一条直线上)，发现．接下来让同学们以小组为单位开展进一步的探究．
（1）【初步探究】志远小组在老师基础上进行探究，他们保持不动，将按如图2位置摆放，发现仍然成立，请你帮他们完成证明；
（2）【深入探究】勤学小组剪了两个大小不同的等腰和等腰，，，将两个等腰三角形按如图3位置摆放，请问当和的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由；
（3）【拓展应用】创新小组保持老师提供的不动，另剪一个等腰直角△ABC按如图4位置摆放，，，若与关于沿着过点D的某条直线对称，与交于点F，当点在的斜边上时，连接，请证明为等腰三角形．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵直线与相交于点O
∴∠1与∠2为对顶角，
∴∠1=∠2，
∵，
∴.
故答案为：A．
【分析】根据对顶角的性质"对顶角相等"即可求解．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵0＜0.00004＜1，小数点向左移动5位，
∴，
故答案为：D．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义可求解.
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图标不是轴对称图形，此选项不符合题意；
B、图标不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、图标是轴对称图形，此选项符合题意；
D、图标不是轴对称图形，此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．根据轴对称图形的定义依次判断即可求解.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. ；
C. ；
D. ．
故答案为：B．
【分析】利用合并同类项、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法逐项判定即可。
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、D中的和不是同位角，也不是内错角，不能判定，故A、D不符合题意；
B、由能判定，不能判定，故B不符合题意；
C、和的对顶角相等，由同位角相等，两直线平行推出，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
A、添加，可得到，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意．
B、添加，可得到，不能判定，故本选项符合题意．
C、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意．
D、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意．
故答案为：B
【分析】根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；事件的分类；利用频率估计概率；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两个三角形有两边及两边的夹角对应相等，则这两个三角形全等，如果这个角是其中的一边的对角就不能判定三角形全等，命题错误，此选项不符合题意；
B、如果，那么≠b，命题错误，此选项不符合题意；
C、任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次，频率一般不会等于概率，因此不能用概率替代频率计算正面朝上的次数，命题错误，此选项不符合题意；
D、“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”，不一定发生，也不一定不发生，是随机事件，命题正确，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的判定、绝对值的意义、频率与概率、事件的分类依次判断各选项即可求解．
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，
由尺规作图痕迹可知，垂直平分，
，
，
又，
的周长，
故选：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD，再结合已知及三角形周长公式进行等量代换推理即可．
9．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得，的第三项系数为，
的第三项系数为，
的第三项系数为，
的第三项系数为，
，
的第三项系数为，
故选：A．
【分析】根据题意由简单的展开式第三项系数的规律逐步推理，观察发现数据规律，即可推理得出复杂展开式对应系数.
10．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
11．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一共有4本数学名著，每一本名著被抽到的概率相同，
∴从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是，
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
13．【答案】104
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠3＋∠2＝180°，
∵∠1＝∠3，∠1＝76°，
∴∠3＝76°，
∴∠2＝180°-76°=104°，
故答案为：104．
【分析】
根据对顶角的性质可得∠3=∠1=76°，由于，根据平行线的性质可得∠3+∠2 = 180°，等量代换，将∠3 = 76° 代入上述等式，即可求解。
14．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【解析】【解答】解：(米)
故答案为：．
【分析】根据题意将数值代入施瓦氏半径的计算公式即可计算出的值，再用科学记数法表示出来即可．
15．【答案】或
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①当点F在延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，．
∵，，
∴当时，．
∵，
∴，解得．
②当点F在之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，．
∵，，
∴当时，．
∵，，
∴，解得．
综上，或．
故填：或.
【分析】根据点F位置不同进行分类并画出大致草图，①当点在延长线上时，②当点在线段上时，根据题中角度推理结合全等对应角找出等量关系，即先证明，由分析得建立等量关系，用含的式子表示出和，解之即可.
16．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】整式的混合运算
17．【答案】解：
当，时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
18．【答案】（1）证明：∵，∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，∴，
又∵是的平分线，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度
19．【答案】（1）
（2）
（3）解：小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域内的小方格上踩中地雷的概率，小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域外的小方格上踩中地雷的概率，
∵，
故为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在A区域外的小方格上．
【知识点】概率公式
【解析】【解答】（1）解：根据题意，总共有个小方格，其中藏着10颗地雷，
故踩中地雷的概率，
故答案为：．
（2）解：在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，其中藏着2颗地雷，
故踩中地雷的概率，
故答案为：．
【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）根据概率公式计算即可；
（3）分别计算出小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域内的小方格上踩中地雷的概率和小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域外的小方格上踩中地雷的概率，再比较即可.
20．【答案】（1）小明的游览时间；小明步行的路程
（2）4
（3）0.35
（4）小明游览时间为时，步行的路程为
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）由题意可知：自变量为小明的游览时间，因变量为小明步行的路程．故答案为：小明的游览时间，小明步行的路程；
（2）由图象可知：从万花屏到好汉坡，路程为：，时间为：
∴他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是
故答案为：4；
（3）由图象可知：从好汉坡到大梧桐的路程为：，∴从好汉坡到大梧桐的运动时间为：，
∴在景点好汉坡处逗留的时间是，
故答案为：0.35；
（4）由图象可知：小明游览时间为时，步行的路程为．故答案为：小明游览时间为时，步行的路程为．
【分析】（1）根据题意由图2横纵坐标物理量即可得到；
（2）根据题意结合图1与图2分析每个数据对应含义，即可计算出从万花屏到好汉坡的路程和时间，从而得解；
（3）同理，先根据好汉坡到大梧桐的路程，继而算出时间，从而计算其行走的时间推理计算得出其逗留时间；
（4）根据其横纵坐标结合题意说明即可．
21．【答案】解：（1），，；（2）5；（3）到的距离和最小的点在线段上，∵点A与点C关于对称，∴到的距离和最小的点是线段和的交点，∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点，故连接交于点G，点G即为所求作的点，
（1）；；
（2）5
（3）解：到的距离和最小的点在线段上，
∵点A与点C关于对称，
∴到的距离和最小的点是线段和的交点，
∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点，
故连接交于点G，点G即为所求作的点，
【知识点】两点之间线段最短；三角形三边关系；等边三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，，∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，
∴，，
∴．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
故答案为：，，；
（2）∵是的平分线，
∴可在上找到点E关于直线对称的对称点，
作出点，连接，则，
过点B作，
由垂线段最短可知，当点B、P、三点共线，且垂直时，有最小值，
即的最小值是的长度，
∵等边三角形每条边上的高相等，
∴的最小值为：，
故答案为：5；
【分析】（1）根据题意及几何图形逐步推演其证明过程填空即可；
（2）根据轴对称最值分析和垂线段最短原理，先作出对称点分析最值，后利用等边三角形每条边上的高相等求解该最值；
（3）同理，根据轴对称及两点间线段最短，分析并找出符合题意的点，即连接交于点G，分析可得．
22．【答案】解：（1）证明：∵，∴，∴．在和中，∴，∴；（2）当时，仍成立．理由：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，（3）如图，在等腰直角三角形和中，，，，∵与关于沿着过点D的某条直线对称，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴为等腰三角形．
（1）证明：∵，
∴，
∴．
在和中
，
∴，
∴；
（2）解：当时，仍成立．
理由：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（3）证明：如图，在等腰直角三角形和中，，，，
∵与关于沿着过点D的某条直线对称，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）根据题意及几何直观，为证目标线段相等，只需证与目标及条件相近的两三角形全等，由全等判定定理及条件分析即得；
（2）由（1）同理分析，在全等的两组对应边基础上，只需保证其夹角相等即可构成全等，此时目标线段仍相等；
（3）同理为推出目标△CDF的角度，在已知条件下进行角度推理，结合几何直观，可先证明，利用全等性质逐步从已知条件推出目标的各个角度数．
广东省深圳市龙岗区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·龙岗期末）如图，我们将食品夹的两边抽象为两条直线与，它们相交于点O，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵直线与相交于点O
∴∠1与∠2为对顶角，
∴∠1=∠2，
∵，
∴.
故答案为：A．
【分析】根据对顶角的性质"对顶角相等"即可求解．
2．（2024七下·龙岗期末）“窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船．”这是杜甫眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵0＜0.00004＜1，小数点向左移动5位，
∴，
故答案为：D．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义可求解.
3．（2024七下·龙岗期末）下列手机中的图标是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图标不是轴对称图形，此选项不符合题意；
B、图标不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、图标是轴对称图形，此选项符合题意；
D、图标不是轴对称图形，此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．根据轴对称图形的定义依次判断即可求解.
4．（2024七下·龙岗期末）下列计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. ；
C. ；
D. ．
故答案为：B．
【分析】利用合并同类项、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法逐项判定即可。
5．（2024七下·龙岗期末）下列图形中，由，能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、D中的和不是同位角，也不是内错角，不能判定，故A、D不符合题意；
B、由能判定，不能判定，故B不符合题意；
C、和的对顶角相等，由同位角相等，两直线平行推出，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
6．（2024七下·龙岗期末）如图，点E，点F在直线上，，，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
A、添加，可得到，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意．
B、添加，可得到，不能判定，故本选项符合题意．
C、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意．
D、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意．
故答案为：B
【分析】根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．（2024七下·龙岗期末）下列命题正确的是( )
A．两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等．
B．如果，那么．
C．任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次．
D．“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”是随机事件．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；事件的分类；利用频率估计概率；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两个三角形有两边及两边的夹角对应相等，则这两个三角形全等，如果这个角是其中的一边的对角就不能判定三角形全等，命题错误，此选项不符合题意；
B、如果，那么≠b，命题错误，此选项不符合题意；
C、任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次，频率一般不会等于概率，因此不能用概率替代频率计算正面朝上的次数，命题错误，此选项不符合题意；
D、“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”，不一定发生，也不一定不发生，是随机事件，命题正确，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的判定、绝对值的意义、频率与概率、事件的分类依次判断各选项即可求解．
8．（2024七下·龙岗期末）如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，
由尺规作图痕迹可知，垂直平分，
，
，
又，
的周长，
故选：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD，再结合已知及三角形周长公式进行等量代换推理即可．
9．（2024七下·龙岗期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 (n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”
…
则中，第三项系数为( )
A．45 B．50 C．55 D．60
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得，的第三项系数为，
的第三项系数为，
的第三项系数为，
的第三项系数为，
，
的第三项系数为，
故选：A．
【分析】根据题意由简单的展开式第三项系数的规律逐步推理，观察发现数据规律，即可推理得出复杂展开式对应系数.
10．（2024七下·龙岗期末）在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，相关信息请见下表，则下列说法正确的是( )
信息窗 1．溶质质量溶剂质量溶液质量． 2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液．
A．当温度为时，甲物质和乙物质的溶解度都小于
B．当温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高而增大
C．当时，向水中添加乙，则乙溶液一定能达到饱和状态
D．甲、乙两种物质的溶解度始终都不一样
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
11．（2024七下·龙岗期末）计算： ．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
12．（2024七下·龙岗期末）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一共有4本数学名著，每一本名著被抽到的概率相同，
∴从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是，
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
13．（2024七下·龙岗期末）用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则 度．
【答案】104
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠3＋∠2＝180°，
∵∠1＝∠3，∠1＝76°，
∴∠3＝76°，
∴∠2＝180°-76°=104°，
故答案为：104．
【分析】
根据对顶角的性质可得∠3=∠1=76°，由于，根据平行线的性质可得∠3+∠2 = 180°，等量代换，将∠3 = 76° 代入上述等式，即可求解。
14．（2024七下·龙岗期末）“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料(氢)已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏(Schwarzschild)半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体----黑洞．施瓦氏半径(单位：米)的计算公式是．，其中牛 米千克，为万有引力常数；M表示星球的质量(单位：千克)； 米/秒，为光在真空中的速度．已知某恒星质量M为千克，则该恒星的施瓦氏半径为 米．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【解析】【解答】解：(米)
故答案为：．
【分析】根据题意将数值代入施瓦氏半径的计算公式即可计算出的值，再用科学记数法表示出来即可．
15．（2024七下·龙岗期末）如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则 秒．
【答案】或
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①当点F在延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，．
∵，，
∴当时，．
∵，
∴，解得．
②当点F在之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，．
∵，，
∴当时，．
∵，，
∴，解得．
综上，或．
故填：或.
【分析】根据点F位置不同进行分类并画出大致草图，①当点在延长线上时，②当点在线段上时，根据题中角度推理结合全等对应角找出等量关系，即先证明，由分析得建立等量关系，用含的式子表示出和，解之即可.
16．（2024七下·龙岗期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】整式的混合运算
17．（2024七下·龙岗期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
当，时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
18．（2024七下·龙岗期末）如图，，
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，∴，
又∵是的平分线，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度
19．（2024七下·龙岗期末）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）．
（1）小明如果踩在图中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ．
（2）若小明在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，踩中地雷的概率是 ．
（3）为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是应踩在A区域外的小方格上？并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）解：小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域内的小方格上踩中地雷的概率，小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域外的小方格上踩中地雷的概率，
∵，
故为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在A区域外的小方格上．
【知识点】概率公式
【解析】【解答】（1）解：根据题意，总共有个小方格，其中藏着10颗地雷，
故踩中地雷的概率，
故答案为：．
（2）解：在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，其中藏着2颗地雷，
故踩中地雷的概率，
故答案为：．
【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）根据概率公式计算即可；
（3）分别计算出小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域内的小方格上踩中地雷的概率和小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域外的小方格上踩中地雷的概率，再比较即可.
20．（2024七下·龙岗期末）2024深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登梧桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门—万花屏—好汉坡—大梧桐—深外高中站”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去．小明步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示．根据图回答下列问题：
（1）图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为 ，因变量为 ；
（2）他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 千米/时；
（3）小明在景点好汉坡处逗留的时间是 小时；
（4）图2中点A表示 ．
【答案】（1）小明的游览时间；小明步行的路程
（2）4
（3）0.35
（4）小明游览时间为时，步行的路程为
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）由题意可知：自变量为小明的游览时间，因变量为小明步行的路程．故答案为：小明的游览时间，小明步行的路程；
（2）由图象可知：从万花屏到好汉坡，路程为：，时间为：
∴他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是
故答案为：4；
（3）由图象可知：从好汉坡到大梧桐的路程为：，∴从好汉坡到大梧桐的运动时间为：，
∴在景点好汉坡处逗留的时间是，
故答案为：0.35；
（4）由图象可知：小明游览时间为时，步行的路程为．故答案为：小明游览时间为时，步行的路程为．
【分析】（1）根据题意由图2横纵坐标物理量即可得到；
（2）根据题意结合图1与图2分析每个数据对应含义，即可计算出从万花屏到好汉坡的路程和时间，从而得解；
（3）同理，先根据好汉坡到大梧桐的路程，继而算出时间，从而计算其行走的时间推理计算得出其逗留时间；
（4）根据其横纵坐标结合题意说明即可．
21．（2024七下·龙岗期末）【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用．
【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．
【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置．
（1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：
证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，，
∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，
∴ ， ，
∴ ．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
（2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为 ．
（3）【拓展应用】
“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)．
【答案】解：（1），，；（2）5；（3）到的距离和最小的点在线段上，∵点A与点C关于对称，∴到的距离和最小的点是线段和的交点，∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点，故连接交于点G，点G即为所求作的点，
（1）；；
（2）5
（3）解：到的距离和最小的点在线段上，
∵点A与点C关于对称，
∴到的距离和最小的点是线段和的交点，
∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点，
故连接交于点G，点G即为所求作的点，
【知识点】两点之间线段最短；三角形三边关系；等边三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，，∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，
∴，，
∴．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
故答案为：，，；
（2）∵是的平分线，
∴可在上找到点E关于直线对称的对称点，
作出点，连接，则，
过点B作，
由垂线段最短可知，当点B、P、三点共线，且垂直时，有最小值，
即的最小值是的长度，
∵等边三角形每条边上的高相等，
∴的最小值为：，
故答案为：5；
【分析】（1）根据题意及几何图形逐步推演其证明过程填空即可；
（2）根据轴对称最值分析和垂线段最短原理，先作出对称点分析最值，后利用等边三角形每条边上的高相等求解该最值；
（3）同理，根据轴对称及两点间线段最短，分析并找出符合题意的点，即连接交于点G，分析可得．
22．（2024七下·龙岗期末）【背景材料】
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．已知，，，老师将和按如图1所示的位置摆放(点E、A、B在同一条直线上)，发现．接下来让同学们以小组为单位开展进一步的探究．
（1）【初步探究】志远小组在老师基础上进行探究，他们保持不动，将按如图2位置摆放，发现仍然成立，请你帮他们完成证明；
（2）【深入探究】勤学小组剪了两个大小不同的等腰和等腰，，，将两个等腰三角形按如图3位置摆放，请问当和的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由；
（3）【拓展应用】创新小组保持老师提供的不动，另剪一个等腰直角△ABC按如图4位置摆放，，，若与关于沿着过点D的某条直线对称，与交于点F，当点在的斜边上时，连接，请证明为等腰三角形．
【答案】解：（1）证明：∵，∴，∴．在和中，∴，∴；（2）当时，仍成立．理由：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，（3）如图，在等腰直角三角形和中，，，，∵与关于沿着过点D的某条直线对称，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴为等腰三角形．
（1）证明：∵，
∴，
∴．
在和中
，
∴，
∴；
（2）解：当时，仍成立．
理由：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（3）证明：如图，在等腰直角三角形和中，，，，
∵与关于沿着过点D的某条直线对称，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）根据题意及几何直观，为证目标线段相等，只需证与目标及条件相近的两三角形全等，由全等判定定理及条件分析即得；
（2）由（1）同理分析，在全等的两组对应边基础上，只需保证其夹角相等即可构成全等，此时目标线段仍相等；
（3）同理为推出目标△CDF的角度，在已知条件下进行角度推理，结合几何直观，可先证明，利用全等性质逐步从已知条件推出目标的各个角度数．
