湖北省宜荆荆恩2025届高三4月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，，命题，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.已知，，均为单位向量若，则与夹角的大小是( )
A. B. C. D.
4.已知，函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.运动会期间，校园广播站安排甲、乙、丙、丁个人参加当天米，米和跳高三个比赛项目的现场报道，每人选一个比赛项目，且每个比赛项目至少安排一人进行现场报道，甲不在跳高项目的安排方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知函数，，在公共定义域内，下列结论正确的是( )
A. 恒成立 B. 恒成立
C. 恒成立 D. 恒成立
7.已知随机变量，均服从两点分布，若，，且，则( )
A. B. C. D.
8.设是函数的一个零点，记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知抛物线的焦点为，圆，圆上存在动点，过作圆的切线，也与抛物线相切于点，抛物线上任意一点到直线与直线的距离分别为，若点的坐标为，则( )
A.
B.
C. 的最小值为
D. 圆上的点到直线的最大距离为
11.已知正方体的棱长为，点满足，其中，，，下列正确的是( )
A. 当时，则异面直线与所成角的正切值范围是
B. 当，时，则的最小值为
C. 当时，线段的长度最小值为
D. 当时，记点的轨迹为平面，则截此正方体所得截面面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记为等差数列的前项和，若，，则 ．
13.已知椭圆的左右焦点分为，，过的直线与椭圆交于，两点．若，则椭圆的离心率 ．
14.已知是定义在上的单调递减函数，且对，均有，若不等式在恒成立，则实数的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
宜昌马拉松比赛于年月日在宜昌城区举行，主管部门为提升服务质量，随机采访了名参赛人员，得到下表：
满意度 性别 合计
女性 男性
比较满意
非常满意
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异
用频率估计概率，现随机采访名女性参赛人员与名男性参赛人员，设表示这人中对该部门服务质量非常满意的人数，求的分布列和数学期望．
附：，．
16.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且．
求的标准方程
过的直线交双曲线于，两点两点均位于轴下方，在左，在右，线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求．
17.本小题分
如图所示，在中，，平分，且．
若，求的长度
求的取值范围
若，求为何值时，最短．
18.本小题分
如图，已知四边形为直角梯形，，，，以所在直线为轴将四边形旋转到四边形，连接，，且，，，四点共面．
证明：多面体是三棱台
若，求直线与平面所成角的正弦值
若，二面角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”已知函数
当，时
(ⅰ)判断的奇偶性，并求在的极值
(ⅱ)设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，，，，求证：
当，时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，，，若，证明：．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.解：完善二联表为：
满意度 性别 合计
女性 男性
比较满意
非常满意
合计
零假设 依据小概率值的独立性检验，
认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价没有差异，
，
故依据小概率值的独立性检验，
能认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异．
由于女性对服务非常满意的概率为，
男性对服务非常满意的概率为，故 ，
，
，
，
故 的分布列为：
故 ．
16.解：因为且，所以焦点，即，
故，解得，即，
所以双曲线．
根据题意过的直线斜率为显然不满足题意，
故设过的直线为，
由
，且，
设，，则由韦达定理有
，，
因为，所以，
即点和点到直线的距离相等，
则有，解得，
所以，
所以．
17.解：因为，所以，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为平分，所以，
又，所以，
因为，且，所以．
所以．
由，
得，
又，，整理得，
因为，所以
由余弦定理得，
因为，所以，又，
则，
故BC，
记，
则，
所以其中
故当时，取得最小值，
此时，
又由知，
而，则，
故，即当时，最短．
18.解：因为四边形为直角梯形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
因为，平面，，所以平面平面 ，
又在梯形中，延长，交于点，
，平面，平面，同理平面，
又平面平面，，
故直线，，相交于点，，
故由可知：多面体是三棱台
设，则，
又，，
由，得．
又，，、面，面，
过点作交于点，故，，两两互相垂直．
分别以，，为轴、轴、轴建系．
则，，，
故，，，
设平面的一个法向量为，
由
取，得，，得，
设直线与平面所成角为，
则，，
又因为平面平面，
故直线与平面所成角的正弦值为
取的中点，连接，，
因为，所以，即为等腰三角形，
故，同理，，
故就是二面角的平面角，
故，
解得，故B，即，
又因为，故为正三角形，
分别以，，为轴、轴、轴建系．
则，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
由
取，得，，得
平面的一个法向量为，
由
取，得，，得
设平面与平面的夹角为，
则，，
又由图像可知，平面与平面的夹角为锐角，
故平面与平面的夹角的余弦值为
19.解：当，时，，，
因为，故是偶函数，
由，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故在的极小值为，无极大值；
由得，令，则，
对满足方程的有，所以，
设是的任意正实根，则，
则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角，
因为，
所以在第二或第四象限变化时，变化如下，
所以满足的正根都为函数的极值点，
由题可知，，，为方程的全部正实根，
且满足，，
所以，
因为，，，
则，由，可得，
故得证；
由题意得，当，时，，
设对应的切点为，，，
对应的切点为，，，
由于，所以，，
由余弦函数的周期性，只要考虑的情形，
又结合余弦函数的图象，只需考虑，情形，
则，
，
其中，得到，
又，，
即，，
当时，，，
令，则，
，
在上单调递减，
又，所以，
所以，此时，则，
故，得证．
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