2024-2025 学年福建省厦门一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某运动物体的位移 (单位：米)关于时间 (单位：秒)的函数关系式为 = 4 2 + ，则该物体在 = 1 秒时的
瞬时速度为( )
A. 9 米/秒 B. 8 米/秒 C. 7 米/秒 D. 6 米/秒
2.曲线 = 在点 处切线的斜率为 1，则 的坐标为( )
A. ( 1, 1) B. ( 1,1 1 ) C. (1, 1) D. (1,2 1)
3.假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小
孩中恰好有两个女孩的概率为( )
A. 1 B. 3 C. 18 7 6 D.
1
4
4 1 5.随机变量 的概率分布规律为 ( = ) = ( +1) ( = 1,2,3,4)，其中 是常数，则 ( 2 < < 2 )的值为( )
A. 23 B.
3 4 5
4 C. 5 D. 6
5.已知斜率为 3的直线过抛物线 ： 2 = 4 的焦点 ，且从上到下与 依次交于 、 两点， = ，则
=( )
A. 43 B. 2 C.
5
2 D. 3
6.已知 3 名教师和 4 名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少
种不同的排法？( )
A. 144 B. 288 C. 576 D. 720
7 ( . 2 )( + 2 )
5的展开式中 3 3的系数为( )
A. 12 B. 40 C. 60 D. 100
8.已知函数 ( ) = ( ) + ( > 0)，若对于任意的 > 1 使得不等式 ( ) ≥ 0 成立，则实数
的取值范围( )
A. (0, 2] B. (0, ] C. [ 2, + ∞) D. [ , + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下运算正确的是( )
A. (2 )′ = 2 2 B. ( 2 ) 1′ = 2
C. ( 2 )′ = 2 2 D. ( )′ =
第 1页，共 8页
10.若 ( ) = 13， ( ) =
1
2， ( | ) =
3
4，则下列说法正确的是( )
A. ( ) = 14 B.事件 与 相互独立
C. ( ∪ ) = 712 D. ( | ) =
3
8
11.已知数列{ }满足 =
1
，
ln(1+ )
是数列{ }的前 项和， = ，下列命题正确的是( )
A. +1 +1 < ln < B.数列{ }是递减数列
C. 2025 1 > 2025 > 2024 D. 2 ≤ < 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = ( 2) 的单调递增区间是______．
13.如图， ⊥平面 ， ⊥ ， // ， // ， = = =
2 = 2 = 2 1， 为 的中点， 为 上一点，若 = 3 ，则点 到平面
的距离为______．
14.现有 5 根绳子，共有 10 个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视
为结束.则这 5 根绳子恰好能围成 1 个圈的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
3
已知函数 ( ) = 22 4 +
2 在 = 1 处取得极大值．
(1)求 的值；
(2)求 ( ) 1在区间[ , 8]上的最大值．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥ ， = = 1， = 2， 是棱 的中点，
在棱 上，且 //平面 ，平面 ⊥平面 ．
(1)求证： 是棱 的中点；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
第 2页，共 8页
17.(本小题 15 分)
3
在直角坐标平面内，设 是圆 ： 2 + 2 = 4 上的动点，过 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 = 2 ，
动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 (3,0)的动直线 交 于 ， 两点，求△ 面积的最大值．
18.(本小题 17 分)
假设一架坠毁的飞机掉在三个可能区域中的任何一个是等可能的.如果飞机坠落在区域 中( = 1,2,3)，则由
3 2 1
于地理环境的影响，经过快速检查后发现其残骸的概率为 1 = 5， 2 = 3， 3 = 2．
(1)求快速检查三个区域后发现这架坠毁飞机残骸的概率；
(2)现快速检查区域 1，2 之后未发现残骸，求飞机坠落在区域 3 的条件概率．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = , ( ) = 22 + (1 ) ．
(Ⅰ)求函数 ( )在 = 处的切线方程；
(Ⅱ)(ⅰ)若函数 ( ) ( )在(0, + ∞)为递减函数，求 的值；
(ⅱ)在( )成立的条件下，若 1 + 2 > 2( 1 ≠ 2)且 2 ( 1) + 2 ( 2) = 2 ( 1) + 2 ( 2) + ( ∈ )，求 的最
大值．
第 3页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(1, + ∞)
13. 23
14.128315
15.解：易知 ( )的定义域为(0, + ∞)，
2 2 2
可得 ′( ) = 3 4 + = 3 4 + = (3 )( ) ，
令 ′( ) = 0，
解得 = 或 = 3，
当 = 1 时，
1
当 0 < < 3时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
1
当3 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以当 = 1 时， ( )取得极小值，不符合题意；
当3 = 1，即 = 3 时，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
第 4页，共 8页
当 1 < < 3 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 3 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以函数 ( )在 = 1 处取极大值，在 = 3 处取极小值，符合题意；
则 = 3；
(2)由(1) 3得 ( ) = 2
2 12 + 9 ，
可得 ′( ) = 3( 1)( 3) ，
此时 ( )在( ∞,1)，(3, + ∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，
1
因为 ∈ [ , 8]，
所以 ( )在( 1 , 1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,8)上单调递增，
当 = 1 3 21时， ( )取得极大值，极大值 (1) = 2 12 = 2，
3
又 (8) = 2 × 64 12 × 8 + 9 8 = 27 2，
因为 (8) > (1)．
1
所以 ( )在区间[ , 8]上的最大值为 27 2．
16.(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，又 是 的中点，则 / / 且 = 12 ，
由 在棱 上，底面 为矩形，则 / / ，故 GF/ / ，
由 //平面 ， 平面 且平面 ∩平面 = ，则 // ，
所以 = = 1为平行四边形，故 2 =
1
2 ，
所以 是 的中点；
(2)解：平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又底面 为矩形，建立如下图示的空间直角坐标系，
第 5页，共 8页
则 (0,0,0), (1,0,0), (1,2,0), (0,2,0), (0,0,1), (1,1,0), (0,0, 12 )，
1
所以 = (1, 1,0), = (0, 2, 2 )，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= = 0
则 1 ，令 = 1，则 = (1,1,4)， = 2 + 2 = 0
显然平面 的一个法向量可以为 = (0,1,0)，
可得 = 1 × 0 + 1 × 1 + 4 × 0 = 1，| | = 12 + 12 + 42 = 3 2，| | = 1，
所以 cos < ， >= 1| | | | = 3 2×1 =
2
6 ．
所以平面 与平面 夹角的余弦值 2．
6
17.解：(1)设 ( , )， ( 0, 0)，
则 2 20 + 0 = 4，过 作 轴的垂线，垂足为 ，则 ( 0, 0)，
因为 = 32
，则( 0 , ) =
3
2 (0, 0)，
则 =
3 2 3 4
2 0，整理得 0 = 3 ，代入 2 2 2 20 + 0 = 4 中得 + 3 = 4， = 0 0 =
2 2
整理得 4 +
3 = 1，
2 2
所以曲线 的方程为 4 + 3 = 1．
(2)依题意知道，直线 不垂直于 轴，
则设其方程为 = + 3，
= + 3
由消去 ，得 2 2 ，
4 +
3 = 1
并整理得(3 2 + 4) 2 + 18 + 15 = 0，
= 182 2 60(3 2 + 4) = 48(3 2 5) > 0，
第 6页，共 8页
解得 2 > 53，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
+ = 18 则 1 2 3 2+4， 1 =
15
2 3 2+4，
2
则 △ =
1
2 | ||
3
1 2| = 2 ( 1 + 2)
2 4 = 6 3 3 51 2 3 2+4 ，
令 = 3 2 5，则 > 0，且 3 2 = 2 + 5, △ =
6 3 6 3 6 3
2+9 = 9 ≤ = 3， + 9 2
9
当且仅当 = ，即 = 3 时取等号，
所以△ 面积的最大值为 3．
18. 1解：(1)根据题意，飞机坠落在区域 1，2，3 的概率均为3，
所以快速检查三个区域后发现这架坠毁飞机残骸的概率为，
= 1 1 1 1 3 1 2 1 1 533 1 + 3 2 + 3 3 = 3 × 5 + 3 × 3 + 3 × 2 = 90；
(2)设事件 表示飞机坠落在区域 3，事件 表示检查区域 1，2 未发现残骸，
则 ( ) = 1 2 1 1 1 263 × 5 + 3 × 3 + 3 × 1 = 45， ( | ) = 1，
1
( | ) = ( ) = ( | ) ( )
1× 15
利用贝叶斯定理可得 3 ( ) ( ) = 26 = 26，
45
15
所以快速检查区域 1，2 之后未发现残骸，飞机坠落在区域 3 的概率为26．
19.解：( )因为 ′( ) = + 1，所以 ′( ) = 2．
函数 ( )在 = 处即过( , )点的切线方程： = 2( )，
故所求的切线方程为：2 = 0．
( )( ) 设 ( ) = ( ) ( ) = 2
2 + ( 1) ，
则 ′( ) = + , ′′( ) = 1 ，
当 ≤ 0 时， ′′( ) > 0， ′( )在(0, + ∞)为增函数．
当 > 1 时， ′( ) > ′(1) = 0， ( )在(0, + ∞)为增函数与 ′( )在(0, + ∞)为减函数矛盾；
当 > 0 时， ∈ (0, 1 )时， ′( )在(0, + ∞)增函数，
∈ ( 1 , + ∞)时，
′′( ) < 0， ′( )在(0, + ∞)减函数，
′( ) 1 = ( ) = ln
1
1 + = 1 ．
第 7页，共 8页
因为 ( )在(0, + ∞)为减函数，所以 1 ≤ 0 成立．
1
记 ( ) = 1 ，则 ′( ) = 1 ，
因为 > 1 时， ′( ) > 0， < 1 时， ( ) < 0，所以 ( ) ≥ (1) = 0，
又 ( ) = 1 ≤ 0，所以 = 1．
( )由( ) 1成立的条件，即 = 1，则 ( ) = ( ) ( ) = 2
2．
因为 2 ( 1) + 2 ( 2) = 2 ( 1) + 2 ( 2) + ( ∈ )，(不妨设 1 < 2).
所以2 = ( 1) + ( 2) ( 1) ( 2) = ( 1) + ( 2)，
又 ( )在(0, + ∞)为减函数，而 1 + 2 > 2( 1 ≠ 2)，
所以只有 2 > 1 > 1 和 2 > 1 ≥ 1 > 0 两种情况．
当 2 > 1 > 1 时， ( 2) < ( 1)，所以2 = ( 1) + ( 2) < 2 ( 1) < 2 (1) = 1，
当 2 > 1 ≥ 1 > 0 时，所以 ( 2) < (2 1).
2 = ( 1) + ( 2) < ( 1) + (2 1)，记 ( ) = ( ) + (2 )(0 < ≤ 1)，
′( ) = ( ) (2 ) = 2 2 + ln(2 )，
′( ) = 2 + 1 1 2 + 2 = (2 ) 2 ≥ 2 2 = 0，
所以 ′( ) = 2 2 + ln(2 )在(0,1]为递增函数，
又 ′( ) ≤ ′(1) = 0， ( ) = ( ) + (2 )在(0,1]为递减函数，
所以 1 = 2 (1) ≤ (1) ≤ ( ) < ( ) = ( ) + (2 )，
又 → 0 时， ( ) → 0, (2 ) → (2) = 2 2 2 < 12，
因为 ∈ ，所以 = 2．
第 8页，共 8页
