2.3确定二次函数的表达式 练习
一、单选题
1．科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：
温度 … 0 2 4 …
植物每天高度增长量 … 41 49 49 41 25 …
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的二次函数，则下列说法：
①该植物在时，每天高度增长量最大；
②该植物在时，每天高度增长量仍能保持在以上；
③该植物与大多数植物不同，以上的环境下高度几乎不增长．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．已知二次函数的自变量与因变量的几组对应值如下表：
… 1 …
… …
则下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标为
B．当时，的值随值的增大而增大
C．图象的对称轴是直线
D．图象经过第一、二、三象限
3．已知抛物线（是常数，且）与轴正半轴交于点，当时，；当时，．则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，经过、的二次函数的图像交轴于点，经过的一次函数的图像交轴于点．若，则函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知二次函数的图象经过点，把该二次函数的图象关于x轴对称后得到新二次函数的图象，则新二次函数有（ ）
A．最大值－3 B．最小值－3 C．最小値3 D．最大值3
6．二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表：
x … 0 …
y … 4 0 0 4 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大
C．当时， D．二次函数的最小值是
7．二次函数（、、为常数，）的与的部分对应值如下表：
… 0 2 3 4 …
… 2 2 5 10 …
有如下结论：①这个函数的图像开口向下；②；③这个函数的最大值为10；④图象的对称轴为直线，其中不正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点，，，分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为2．开动脑筋想一想，经过点的“蛋圆”切线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，当时，y的值为，那么当时，y的值为（ ）
A． B． C． D．12
10．如图，在的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数的图象经过其中的3个格点，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
11．已知二次函数的图象经过点，，则下列说法：当时，随的增大而减小；若点，在该函数的图象上，则；该函数图象的对称轴是直线；该函数的图象有最低点．正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．二次函数的图象经过，其中m、n为常数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知二次函数和中，函数，与自变量x的部分对应值分别如表1，表2：
表1 表2
x 1 2 3 x 1 2 3
m n
则 ．（填“”“”或“”）
14．已知抛物线，，，，四点都在该抛物线上，且，则的取值范围为 ．
15．已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则 ．
16．二次函数（其中a，b，c为常数，且）的图象过点，其中m为常数，且，则方程的解为 ．
三、解答题
17．已知抛物线（a，b为常数）经过点，．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点B向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值．
(3)点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标的取值范围．
18．设二次函数（为常数，）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 …
… 1 …
(1)若，，
①求二次函数的解析式，并写出函数图象的顶点坐标；
②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而增大；
(2)当，时，求的取值范围．
19．如图，为助力乡付振兴，某乡镇帮助农户在一个坡度为的斜坡上点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计），为坡地进行浇灌，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为x轴，所在的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)若该装置浇灌的最远点为上的点C处，求点C距出水口的水平距离．
20．已知二次函数解析式为．
(1)若该二次函数的图象经过点，且开口向下，求该二次函数的解析式；
(2)若将该二次函数的图象向上平移两个单位，平移后的函数图象与轴仅有一个交点，试确定平移前的二次函数图象的顶点坐标；
(3)该二次函数图象上有两点，，若对于，，都有，求的取值范围；
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D A B C B A C A
题号 11 12
答案 A D
1．C
【分析】设二次函数的解析式为，选择三个点的坐标代入求得解析式，根据解析式，抛物线的性质，判断解答即可．
【详解】解：设二次函数的解析式为，根据题意，得
，
解得，
故抛物线的解析式为，
由，得时，y取得最大值50即该植物在时，每天高度增长量最大；
故①错误；
当时，，
故该植物在时，每天高度增长量仍能保持在以上；
故②正确；
当时，，
故该植物与大多数植物不同，以上的环境下高度几乎不增长．
故③正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的最值，求函数值，配方法的应用，熟练掌握待定系数法，抛物线的最值是解题的关键．
2．C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求二次根式解析式，熟练掌握二次根式的图象与性质是解题的关键．先将，，代入抛物线解析式求出解析式，利用二次函数的性质即可判断选项A、B、C，画出草图即可判断选项D．
【详解】解：将，，代入抛物线解析式，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴顶点坐标为，对称轴为直线，
故选项A错误，选项C正确；
∵对称轴为直线，开口向上，
∴当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小，
故选项B错误；
根据题意画出草图如图：
故图象过第一、二、四象限，
故选项D错误；
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，首先把二次函数的解析式整理成顶点坐标式，可得：，所以可知抛物线的对称轴是，根据二次函数的对称性可得：当时，，又因为当时，，可知当时，，从而可得关于的方程，解方程即可求出的值．
【详解】解：把整理，
可得：，
抛物线的对称轴是，
当时，；
根据抛物线的对称性可得：当时，，
又当时，，
当时，，
，
解得：．
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式，设，，设，把代入可求出，则，设，把，代入，可求出，则，进而求出，即可求解．
【详解】解：设，，
∵二次函数的图像经过、，
∴设，
把代入，
得，
解得，
∴
∵经过的一次函数的图像经过，，
设，
则，
解得，
∴，
∴，
当时，；当时，，解得，
且，即，
故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，关于坐标轴对称的点的特征，
先求出二次函数的关系式，再确定关于x轴对称的二次函数的关系式，则答案可得．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴二次函数的关系式为，顶点坐标为，
∴顶点坐标关于x轴对称点的坐标为，
∴新二次函数的关系式为，
当时，新二次函数有最小值．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．
【详解】解：将点，，代入到二次函数中，得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为．
A、，抛物线开口向上，A不正确；
B、，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，B不正确；
C、∵抛物线线与轴交于点，，且抛物线开口向上，
∴当时，，故C正确；
D、，二次函数的最小值是，D不正确；
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等知识点，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
先利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】解：将，，代入，
得： ，解得：，
∴，故②错误；
∵，
∴这个函数的图象开口向上，没有最大值，故①③错误；
∵
∴对称轴为，故④正确；
综上所述，其中结论不正确的个数是3个．
故选：B．
8．A
【分析】本题主要考查了二次函数的定义及性质，一次函数的定义，一元二次方程的判别式等知识，解题的关键是熟练准确掌握以上定义和性质．
因为经过点D的“蛋圆”切线过D点，所以本题可设它的解析式为．根据图象可求出抛物线的解析式，因为相切，所以它们的交点只有一个，进而可根据一元二次方程的有关知识解决问题．
【详解】解：∵点的坐标为，半圆半径为2，
∴，，
∵点的坐标为，
∴假设抛物线解析式为，直线解析式为，
将，代入抛物线解析式得，
解得
∴抛物线解析式为，
联立得
整理得，
∴当时，直线和“蛋圆”相切，
解得，
∴直线解析式为
故选：A．
9．C
【分析】将时，代入中即可求出m的值，再将代入求出的函数中进行计算即可．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是首先利用待定系数法求出函数解析式．
【详解】解：当时，y的值为，代入函数解析式，得：
，
解得，
所以，
将代入中得
故选：C
10．A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口越小，值越大，分和两种情况 建立平面直角坐标系，利用待定系数法，求出a值即可．
【详解】解：二次函数的开口越小，值越大，分以下两种情况：
当，如图，建立平面直角坐标系，
∴二次函数的图象经过其中的3个格点，则只能过，，或，，，或，，，
当时，过，，三点的抛物线的开口最小，
设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：；
当时，如图，建立平面直角坐标系，
二次函数的图象经过、、三点，
设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：；
综上，的最大值为．
故选：A．
11．A
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，解决本题的关键是把点，的坐标代入二次函数，利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后再根据二次函数的图象与性质进行判断．
【详解】解：把点，的坐标代入二次函数，
可得：，
解方程组可得：，
二次函数的解析式为，
二次函数中，
抛物线开口向上，
二次函数的对称轴为，
在对称轴的左侧随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
故正确；
点，在该函数的图象上，
当时，可得：，
当时，可得：，
，
故错误；
二次函数的对称轴为，
故错误；
二次函数中，
抛物线开口向上，
函数图象有最低点，
故正确．
正确的有．
故选：A ．
12．D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解．
【详解】解：把代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴，
故选：D．
13．
【分析】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的图象上点的坐标特征．
利用待定系数法求得系数的值，即可得到结论．
【详解】解：∵二次函数过点，
，
解得：，
过点，
，
解得：，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．先求出二次函数的解析式，令，则，根据根与系数的关系求出，，求出，根据，得出求出m的取值范围即可．
【详解】解：把，代入得：
，
解得：，
∴，
令，则，
∴，
∵，在抛物线上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得：，
综上分析可知：．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，利用顶点式求出二次函数的解析式，即可得到a和c的值，然后代入计算解题．
【详解】解：设抛物线的解析式为，把和代入得：
，解得，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，待定系数法求出二次函数的解析式，进而确定一元二次方程，进行求解即可．
【详解】解：把，代入，得：
，解得：，
∴方程化为：，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：．
17．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据二次函数的顶点坐标公式计算解题即可；
（3）求出和时x的值，然后根据二次函数的增减性结合图象解题即可．
【详解】（1）解：把，代入，
得解得
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴解得
（3）令，则，解得．
令，则，解得．
∵点C在抛物线上，且在第一象限，
∴由图象可得，的取值范围是或．
18．(1)①二次函数的解析式为，该函数图象的顶点坐标为；②当时，随的增大而增大；
(2)．
【分析】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图象性质，不等式的性质，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键．
（1）①将，代入，列得二元一次方程组，求解即可；
②根据二次函数的性质求解即可；
（2）将代入，求得，将代入，求得，再将代入，据此求解即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴将，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴该函数图象的顶点坐标为；
②∵函数图象的顶点坐标为，且，
∴当时，随的增大而增大；
（2）解：∵，∴将代入，
得，
∴，
将代入
，得，
解得，即，
将代入，
得，
即．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的实际运用，熟练掌握待定系数法求解析式和函数的交点问题是解题的关键，
（1）根据坡比，求出的长，从而得到点，点坐标，再由题意设抛物线的表达式为，代入即可求得抛物线的解析式；
（2）设直线的解析式为，由点，点坐标求得直线的解析式，再由点是直线和抛物线的交点，联立方程并求解，即可求出点坐标．
【详解】（1）解：，
，
设，则．
，
，
解得，
，
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
由条件可设抛物线的表达式为，
将代入，可得，
解得，
水柱所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将点，点代入得：，
解得，
直线的解析式为．
联立，
得，
解得，
点C的横坐标为，
点C距出水口的水平距离为．
20．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数的解析式、图像平移、顶点坐标以及函数值的比较．需要掌握二次函数的开口方向、顶点坐标公式、图像平移规律及函数增减性的应用．
（1）直接利用待定系数法代入点坐标求参数即可写出函数解析式；
（2）先确定平移后的函数表达式，根据平移后的函数图像与轴仅有一个交点即可求原函数顶点坐标；
（3）由题意分当时，抛物线开口向上以及当时，抛物线开口向下两种情况进行思考．
【详解】（1）解：把代入得：，
即，解得：或者，
抛物线开口向下，
，
二次函数解析式为；
（2）将该二次函数的图象向上平移两个单位后得到的函数解析式为，
平移后的函数图像与轴仅有一个交点，
，
，
，
，
∴解析式为，
，
顶点坐标为；
（3）①当时，抛物线开口向上，对称轴为，
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小，
则比更加远离对称轴，
，，
离对称轴最近的距离为1，
应离对称轴更近即对称轴在与之间，
离对称轴最远的距离为或，
由题意可得：，
；
②当时，抛物线开口向下，对称轴为，
当时，随的增大而减小，
，
，
对于，，始终都有；
综上所述，或．
