3.2圆的对称性 练习
一、单选题
1．已知为O的直径，为圆上（异于）的一点，连接，若点到直线与点到直线的距离相等且均为，则该圆的周长与面积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的直径，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C．到、的距离相等 D．
4．如图，是的直径，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的弦，延长相交于点．已知的度数为，的度数为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的直径，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将一个半径为的圆形纸片连续对折三次之后，用剪刀沿虚线剪开，则展开后得到的多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，内接于，，是的半径，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，⊙O中，点、、在圆上，且弧长等于弧长的2倍，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上结论都不对
11．如图，是的直径．、是的三等分点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知锐角如图，①在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；②分别以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③连接．根据以上作图过程及所作图形，若，则的度数为 °．
14．如图，，是的直径，弦，则与的大小关系是 ．
15．如图，的弦、相交于点，，为，则 °．
16．如图，已知的直径为，点是半圆上一个三等分点，则 ．
三、解答题
17．如图，已知是半圆的直径，半径垂直于弦，垂足为点，联结，．
(1)求的度数；
(2)求的值．
18．如图，已知梯形，，，以点为圆心、为半径画弧，与分别交于点，且．
(1)如果设，，求的长；
(2)求的值；
(3)如果是弧的中点，求的值．
19．有这样一道尺规作图题：如图，点A，B，C在上，连接，．求作：的中点D．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹并说明理由）
20．如图，在扇形中，点、在上，，点、分别在半径、上，，连接、．
(1)求证：；
(2)设点为的中点，连接、、，线段交于点、交于点．如果，求证：四边形是矩形．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D A B C D B C
题号 11 12
答案 C A
1．A
【分析】本题主要考查弧、弦、圆心角的关系，圆的周长和面积，连接，过点作于点，于点，由点到直线与点到直线的距离相等得，再判断，求出，进一步可得出该圆的周长与面积之比．
【详解】解：连接，过点作于点，于点，如图，
，
∵，
∴，
∴,
∴点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴该圆的周长与面积之比为，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查圆心角与弧的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到，根据角的和差即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵是直径，
∴．
故选：C
3．B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴O到、的距离相等，
所以A、C、D选项正确，
不能证明是等边三角形，不一定成立，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得到，再结合平角定义求解，即可解题．
【详解】解：，是的直径，
，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了圆周角定理以及圆心角、弧、弦之间的关系，熟练掌握圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半是解题的关键．连，根据圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半即可得解．
【详解】证明：如图，连接，
∵的度数为，的度数为，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得到，利用平角的定义求出，再利用即可求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了图形的折叠，多边形的内角和公式，圆的有关概念，根据题意得虚线所对的圆弧对的圆心角为，求出边数，然后用多边形的内角和公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：根据题意得虚线所对的圆弧对的圆心角为，
∴展开后得到的多边形为正八边形，
∴展开后得到的多边形的内角和为，
故选：．
8．D
【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．
由已知条件，可设，则，，，于是可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
可设，则，，
，
，
，
，
故选：．
9．B
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，掌握在同圆中等弧对等圆心角是解题的关键．由可得，再结合图形和即可解答．
【详解】解：，
，
又，，
，
解得：．
故选：B．
10．C
【分析】本题主要考查了弧和弦的关系、三角形三边关系等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题关键．取的中点，连接，易得，进而可得，在中，根据三角形三边关系可得，即可获得答案．
【详解】解：如下图，取的中点，连接，
∵弧长等于弧长的2倍，
∴，
∴，
在中，根据三角形三边关系可得，
∴．
故选：C．
11．C
【分析】本题主要考查了邻补角的概念，弧、弦、圆心角的关系定理等知识点，先求出，再运用“等弧所对的圆心角相等”即可得解，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系定理并能灵活运用是解决此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵C、D是上的三等分点，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
12．A
【分析】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质以及旋转的性质，解题的关键是由圆的性质“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等”知道，以及正确求出的度数．由等腰三角形的性质“等边对等角”以及三角形的内角和定理，可以求出，由旋转的性质可知，由“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等”可知，从而求解．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴．
∵弦绕圆心顺时针旋转得到弦，
∴，
∴．
故选A．
13．
【分析】本题考查了尺规作图以及圆的基本性质，解题的关键是根据等弧或等弦所对的圆心角相等得到是等边三角形．连接，根据作图，结合已知可得是等边三角形，进而根据作图可得，即可得到，即可求解．
【详解】解：如图，连接，由作图可知：，
又
是等边三角形，
，
由作图可知：，
，
故答案为：．
14．相等
【分析】本题考查了平行线性质，等腰三角形性质，弧、弦、圆心角之间的关系，解题的关键在于熟练掌握相关知识．连接，利用等腰三角形性质和平行线性质得到，再结合弧、弦、圆心角之间的关系求解，即可解题．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
，
故答案为：相等．
15．
【分析】本题考查了圆心角圆周角之间的关系，以及三角形的外角性质，熟练掌握基本性质是解题关键；
先通过得到，再通过为得到，进而再通过三角形的外角性质可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵为，
∴，
∵根据三角形的外角性质可知，
∴，
故答案为：100．
16．
【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定和性质，连接，可得，即得为等边三角形，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵点是半圆上一个三等分点，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵直径为，
∴，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
（1）连接，根据垂径定理可得，从而可得，进而可得，然后利用圆心角、弧、弦的关系可得∠；
（2）设，在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】（1）解：连接，
∵半径垂直于弦，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在中，．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点分别作，垂足为点，过点作，交的延长线于点，可证四边形是矩形，，在中，，，同理， ，在中，，由此即可求解；
（2）由（1）设，则，则，， 所以，则，由此即可求解；
（3）连接，延长交于点，则，由（2）可设，在中，，，，同理，，，，所以，由此即可求解．
【详解】（1）解：过点分别作，垂足为点，过点作，交的延长线于点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
同理， ，
在中，．
（2）解：由（1）设，则，
在中，，
∴，
∴，
∵点为圆心，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：连接，延长交于点，
∵，
∴，
∵是弧的中点，
∴，
由（2）可设，
在中，，
∴，，
同理，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的计算，圆的基础知识，掌握以上知识的综合，数形结合分析是关键．
19．见解析．
【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、圆心角、弧、弦的关系，作线段的垂直平分线，交弧于点D，则点D即为所求．
【详解】解：如图，点D即为所求．
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先证出，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先证出，从而可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，同理可得，根据平行线的判定可得，然后根据矩形的判定即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∴，
由圆的性质得：，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由题意，画出图形如下：
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）已得：，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一、矩形的判定等知识，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题关键．
